Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Отображение о группы 6 в )с называется функцией порядка, связанной с вещественной фильтрацией (6,), а о(х) — порядком элемента х. Это отображение обладает следующими свойствами: а) Для любых хяО и ая)! соотношения хяО и о(х)эа эквивалентны. В н. Бурбаан б) Для любых х, у из 0 имеют место соотноигения о(х ')=о(х), о(е)=+оо, о (ху) в 1и! (о (х), о (у)). (2) (з) Обратно, пусть о — отображение группы 0 в К удовлетворяющее соотношениям (2) и (3). Для любого аеи и пусть 0 — множество х~О, таких, что о(х)>а.
Тогда (О ) а — вещественная фильтрация на 0 и о — функция порядка, связанная с этой фильтрацией. Для того чтобы фильтрация (О ) была целочисленной, необходимо и достаточно, чтобы о отображала 0 в Е()(+оо, — оо). Для того чтобы она была исчерпывающей (соотв. отделимой), необходимо и достаточно, чтобы о '( — оо)= Д (соотв. о '(+ оо) =(е)). Пусть А — произвольная К-алгебра (соотв. К-алгебра с единицей). Согласно предыдущему, соотношение „хан А 4ф о(х)>а для любых х я А и ая !(" определяет биекцию множества исчерпывающих вещественных фильтраций (А,)„а, совместимых со структурой алгебры (соотв. алгебры с единицей) на А, на множество отображений о: А- м, не принимающих значения — оо и удовлетворяющих аксиомам (4) — (7) (соотв. (4) — (8)), выписанным ниже: о (х+ у) > 1п! (о (х), о (у)) (х, у из А), (4) (х ен А), (А ~ К, хе=-А), о( — х)=о(х) о (Ах) ~ )о (х) (5) (6) о(ху)~)о(х)+ о(у) (х, у из А), п(1)>0.
(7) (8) Замечание. Если о (х) не равно тождественно + оо, то условия (7) и (8) влекут за собой о(!) О. Более того, в (3) выполняется равенство, если о(х) > о(у). в) Для любого а я !1 обозначим через О,+, множество х я О, таких, что о(х) > а. Тогда О,+, = () Ог и, в частности, Оо — пода>а группа в О.
8. Градуированная алгебра, ассоциированная с фильтрованной алгеброй Пусть 6 — коммутативная группа, наделенная вещественной фильтрацией (6,), „. Положим, как и прежде, 6.'= '(,) 6,. (9) а>а Ясно, что 6+ — подгруппа в 6,. Положим пг,(6) = 6 /6, и йт(6) =® яг (6). Назовем градуированной группой, ассоциирован ванной с фильтрованной группой 6, группу дг(6), наделенную естественной градуировкой типа К. Замечание. Если фильтрация (6,) целочисленна, то пг (6)=(0) для нецелых а и аг„(6) =6„/6„, для любого целого числа и.
Определение градуированной группы, ассоциированной с фильь трованной, совпадает поэтому с определением, данным в Комм. алг., гл. 1П, 5 2, и'3. Пусть А — алгебра (соотв. алгебра с единицей) и (А,), вещественная фильтрация, совместимая со структурой алгебры (соотв.
алгебры с единицей) (и'1). Тогда Ая Аа с А а+а, Аа Аг + Аа Аз ~ Аяьз> и билинейное отображение А„Х Аз — А,+, являющееся ограничением умножения в А, определяет посредством факторизации билинейное отображение йт,(А) Хдг (А) — энг,+а(А). Отсюда мы получаем билинейное отображение нг(А) Хйт(А) в дг (А), превращающее группу пг (А) в градуированную алгебру (соотв. алгебру с единицей) типа Я. Если А — ассоциативная алгебра, то такова же и пг(А). 4. Центральные фильтрации на группе Оптвдалвнив 2.
Пусть 6 — группа. Говорят, что вещественная фильтрация (6„) на 6 цгнтральна, если 6 = () 6 и коммутатор а>0 (х, у) =х 'у 'ху элементов х из О„и у из Оа принадлежит О +а. На языке функции порядка о предыдущее определение формулируется в виде соотношений о(х)>0, о((х, у))~)о(х)+о(у) для любых х, у из О. (1О) ГЛ. и. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ !64 Нетрудно вывести отсюда, что о((х, у)) ) о(х), если о(х)~ + аа; если положить х" = у )ху (ср. с А1д., с)зар.
1, р. 66), то х" = х. (х, у), так что о(х") =о(х). (! 1) Это соотношение выражает тот факт, что все подгруппы 6 группы О являются норл4альньши подгруппаии. Подгруппы О образуют фундаментальную систему окрестностей е для некоторой топологии, совместимой со структурой группы 6 (Общ. топ., 1968, гл. 111„$1, и' 2, пример) и называемой топологией, определенной фильтрацией (О ). В этом пункте 6 — группа, наделенная центральной фильтрацией (6 ).
Для любого а~К определим подгруппу 6+ группы О формулой 6,+= !) 6. (12) а>а В частности, 0+ = Оа = О при а~(0. Напомним, что если А и  — подгруппы в О, то (А, В) — подгруппа в 6, порожденная коммутаторами (а, Ь)„где а~А и Ьее В. В этих обозначениях (6., 6,) с= О.+,, (13) (Оа, Оа) С Оа+Га (13') (О, 0,) ~ О+. (14) Согласно формуле (14), 0+ — нормальная подгруппа в О прн любом а~К, а факторгруппа иг,(6) О 1О,+ коммутативна.
Положим йг(0) = Я пг (6) и наделим группу йт (6) грааля дунрОВКОй тИПа К, В КОтОрОй Ига(6) СОСтОИт ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ СтЕ- пени а. При а~(0 имеем пг,(6)=(0). ПРедложение 1. (!). Пусть а, (1 взяты из К. Тогда существует биаддитивное отображение Фаа вга (6) Х ага (6) + ига+а (6)~ переводящее (хО~~, уОвь) в (х, у)Оа+а. (В) Пусть <р — биаддитивное отображение пт(0) Х яг(0) в дг(0), ограничение которого на аг,(0) Х иг„(6) ровно ар для любой пары (и, р).
Тогда ф наделяет пг(6) структурой Е-алгебры Ли. (!) Напомним тождество (хх~, у)=(х, у) (х~, у), (15) 4 $ Ь ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ФИЛЬТРАЦИИ 165 Так как, далее, (у, х)=(х, у), то 1 (у, х) = )(х, у) '. Из (16) и (17) выводим также 1(х, уу') =1(х, у)1(х, у'). (17) (18) Нам нужно проверить, что отображение 1: ОФХОз-ьдг,+з(61 посредством факторизации определяет отображение ф,„: дг,(6)Х Х йгз(6) — аг,+з(б). Согласно (16) н (18), достаточно проверить, что 1(х, у)=0, если х~6,„+ нли же уев ба+, а это следует из (!3'). (й) Так как (х, х)=е, то из (17) вытекает, что 4р является л,-билинейным знакопеременным отображением, Остается поэтому доказать, что если и ~ яг, (О), о гн яг (6) и в ен аг (6), то ф(и, ф(о, в))+4р(о, ф(в, и))+ф(в, ф(и, о))=0.
(19) Пусть х гн б„у гн 0 и г я 6„— элементы, представляющие соответственно классы и, о и в. Мы знаем, что х" и х — элементы из б„сравнимые по модулю 6,+, поэтому х" — представитель и в 6„; так как (у, г) — представитель ф(о, в) в 6 +, то (х", (у, г)) — представитель ф(и, ф(о, в)) в О,+ 4 .
Применяя циклическую перестановку, мы убеждаемся в том, что (у, (г, х)) и (г, (х, у)) представля4от соответственно классы ф(о, ф(в, и)) и ф(в, ф(и, о)) в О,.„з4 . Соотношение (19) вытекает, таким образом, из следующего тождества (А1д., с)зар, 1, р. 66, 1огпш!а (15); см. также упражнение 26 б) гл. 1) (хг, (у, г)). (у', (г, х)). (г", (х, у)) =е.
(20) Ч. Т. Д. Алгебра Ли яг(6) над Х, определенная в предложении 1, называется градуированной алгеброй гуи, ассоциироеанной с фильтрованной группой 6. где х, х', р — произвольные элементы из 0 (А1д., сйар. 1, р. 66, 1огпш!е (4 )). Будем обозначать символом 1 (х, у) класс по модулю 6++в элемента (х, у) из подгруппы О,+, где хеи 6, и уенб. Для любого а из 6,+ и х' из 6 имеем а .а" =(а, х')ен 6,+,+з. в частности, 1(х, у) совпадает с классом (х, у) по чотулю Оь+з. Из формулы (15) следует поэтому 1(хх', у) =1(х, у)1(х', у). (16) ГЛ. П. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ у, Пример центральной фильтрации Пусть А — ассоциативная алгебра с единицей, иаделеииаи фильтрацией алгебры с едииицей (А,), такой, что Аь — — А; тогда Аа при любом очиню является двусторонним идеалом в А.
Обозначим через А' мультипликативиую группу обратимых элемеитов из А. Для любого а) 0 обозначим через Г, множество хыА', таких, что х — 1БНАа; положим Г= Ц Г, и Г =Г а>0 при Д~(0. Пгедложеиие 2. Множество à — подгруппа в А* и (Г )— центральная фильтрация на Г. По построению Г = (1 Г„ так что соотношение Г = ПГв а>О Вса следует из А,= П А .
Покажем, что à — подгруппа в А'. вса Имеем 1евГ; пусть х, у — элементы из Г, т. е. х — 1еиА, у — 1~ А . Поскольку А, — двусторонний идеал в А, формулы ху — 1 = (х — 1) (у — 1) + (х — 1) + (у — 1), (21) х ' — 1= — х '(х — 1) (22) влекут за собой ху — 1 еп Аа и х ' — 1 еп Аа, так что ху я Га и х 'еи Г,. Так как Г = () Га, то à — подгруппа в А".
а>а Пусть, наконец, а>0, ~>0, хеиГа и уеГ,. Положим х — 1=4 и у — 1=ц. Тогда (х, у) — 1=х-'у 1($ц — ца). (23) По предположению $еА, и т(яА, откуда $1! — т(ДАЛА +„. Так как Аа+в — двусторонний идеал в А, то (х, у) — 1 ~ А +, так что (х, у)еи Г,+ . Ч. Т.Д. Замечание. Пусть а~)0, ~~~0 и хек Га, у ев Г„. По формулам (21), (22) и (23) имеем х-' — 1 = — — (х — 1) п1об АВ„ ху — 1 = — (х — 1) + (у — 1) п1об А,+, (Х, у) — 1ии1(Х вЂ” 1), (у — 1)1 ПЮЙА +В+1,ма. В1. Докажем, например, (26). Если х — 1=5 и у — 1=ц, то по (23) имеем (х, у)-1 — К, ц) =((х-' — 1)+ (у ' — 1) +(х-' — 1)(у-' — 1)) Ц, 11). з ь центелльные еильттлции !ат В то же время К, ц]яА,~з, (к ' — 1)~А„(у-' — 1)яАз, откуда и следует (26).
Пусть 0 — группа и р: 0-ьà — гомоморфизм. Для любого вещественного а положим 0 =р '(Г„). Так как (Г,) — центральная фильтрация на Г, то понятно, что (0,) — центральная фильтрация на С. Птвдложннив 3. (!) Для любого аеи К существует единственный гомоморфизм групп йь: пг (6) -ь пг„(А), отображающий класс элемента вен С ло модулю 6+ на класс элемента р(а) — 1 ло модулю А+. (й) Пусть д — гомоморфизм йт(6) в пг(А), ограничение которого на пг,(6) равно й, для любого а.
Тогда д — инъективный„ гомоморфизм Х-алгебр Ди. (1) Пусть а> О. По предположению для любого а из 6„ верно р (а) — 1 ен А; обозначим через рь (а) класс элемента р(а) — 1 по модулю Аь. Так как Аы ~ А~ь, то соотношение (25) влечет за собой р„(аЬ)=р„(а)+р„(Ь). Далее, а~О,+, тогда и только тогда, когда р(а) — ! ы А,+,; следовательно, Оь+ — ядро гомоморфизма р, подгруппы О, в цг (А). При факторизации р, определяет„следовательйо, инъективный гомоморфизм й,„: цг (6)- йт,(А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
