Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пиедложгние 4. Пусть й — фильтрованная алгебра Ли, пол- аая и отделимая, причем 0 = и й . Отображение (а, Ь) Н(а, Ь) ь>о является групповым законом на й, совместимым с топологией на й, относительно которого Π— единичный элемент, а — ив юбратный к а при любом а ~ 0. Отображение (а, Ь) Н(а, Ь) множества йХ0 в й непре- рывно (п'3); так как отображение а — а, очевидно, непре- ,рывно, то достаточно проверить соотношения Н(Н(а, Ь), с) =Н(а, Н(Ь, с)), Н(а, — а) =О, Н (а, О) = Н (О, а) = а, где а, Ь, с — произвольные элементы из й. По формуле (7) из п'3 достаточно показать справедливость этих формул в случае, когда а, Ь, с — переменные, а 9 = 1((а, Ь, с)). Однако ограничение экспоненциального отображения на Й ((а, Ь, с)) является инъекпней в алгебру Магнуса А((а, Ь, с)) и по предложению 3 6 5 6.
Ряд хьусдоРФА 18В имеем ехрН(Н(а, Ь), с) =ехрН(а, Ь).ехрс=ехра.ехрЬ.ехрс, ехрН(а, Н(Ь, с)) = ехра. ехрН(Ь, с) =ехра.ехрЬ.ехрс, ехр Н (а, — а) = ехр а . ехр ( — а) = ехр (а — а) = ехр О, ехр Н(а, 0) = ехра. ехрО =ехра, ехрН(0, а) =ехрО.ехра=ехра. Это доказывает соотношения с (18) до (20). Замечания. 2. Возьмем в качестве й алгебру Ли Х(Х). Групповой закон, вводимый на ней предыдущим предложением, совпадает с групповым законом, определенным в и'2. Иначе говоря, аь-~Ь=Н(а, Ь) для любых а, Ь из Е(Х), (21) т.
е. умножение в группе Хаусдорфа задается рядом Хаусдорфа. 3.' Пусть й — алгебра Ли, наделенная целочисленной фильтрацией, определенной нижним центральным рядом (Ж"й). Предположим, что существует т)1, такое, что $'"'й=(0). В топологии, определенной втой фильтрацией (Ю"й)„>,, алгебра Лн й отделима, полна, а также дискретна. Имеем Р(а„..., а,) =О для любых а„..., а, из й и любого однородного многочлена Ли Р степени т; в частности, Н,,(а, Ь)=0 при с+з)пт и рядН(а, Ь) =- ~ Н,,(а, Ь) состоит лишь из конечного числа ь, ь ненулевых членов.
Групповой закон (а, Ь) . Н(а, Ь) на й является, таким образом, полиномиальным ($2, п'4). Пгадложвниа 5. Пусть К,,— компонента полистепени (т, з) ряда Н(Н+ У, — Н). Тогда К„,, (О, У) = („+,, (аб У)" (У) для любого п ) О. В самом деле, положим К Я, У) = Н(У + У, — Н), К, (Н, У)= = ~ К„,,(У, У). Обозначим через Т. (соотв. Н) левое (соотв.
ь>ь правое) умножение на Н в А((У, У)). Можно записать -и чь Гте ( — 0)ч еиУе = ~~ — У Лг р1 41 мч ьз 0 ~рФр л =,"" — „', ((. - Н)". У ь~0 гл. и. своводные алгевгы ли и, следовательно, еи'г'е и= ~~! — „, (айЦ)в)г. (22) в~о л!ткуда в-! (абЦ)(Ц+ 1')ввоо (1.— )г) ) 1.'К" ' ° 1' ~ ! ! (Г л !вв) ц"р — рц".
Следовательно, суммированием по п получаем (аб Ц). еиег еЮ вЂ” 11еи (23) Кроме того, К!(ц„У) — К(ц, У) и ел<и г>ви1+К!(Ц, У), гак что по предложению 3 К, = — е" — 1 — еи+ге-и 1 Отсюда, далее, выводим (а!1 Ц) К, = Цеи+ "е и — еи+ "е-иЦ (Цеи+! еи+чЦ) е-и вв = (еи'г' — Уеи) е-и по (23) — еийе и — = ~ — „, (ай Ц)в$' по (22) вЭ! ! юв!(~,~"в,!„!). >о Теперь остается применить замечание из $ 2, и' 11. $ Ч. Яходимость ряда Хаусдорфа (вещественный или комплексный случай) В атом параграфе мы будем предполагать, что К вЂ” одно из полей )т или С, наделенное обычным абсолютным значением. Напомним, что нормируемой алгеброй над К называется Зудем далее производить вычисления по модулю идеала ~.А 'в((Ц, Ц) алгебры А((Ц, 11)).
Для любого лЪ1 полл>о л>о лучим «-! (Ц+ ) )" Цв+ 7, Ц!1 Ц.— !— !=! 5 е еешественныя или комплексныя случАя 18Т алгебра А (ие обязательно ассоциативная) над К, наделенная топологией У, обладающей следующими свойствами: 1) У может быть определена при помощи нормы; 2) отображение (х, у) ~ху пространства АХ А в А непрерывно. Нормированной алгеброй над К называется алгебра А над К, в которой введена норма, такая, что 1]ху11((1]х]] 11у11 для любыхх,уизА.
Обозначим через й полную нормируемую алгебру над К. Выберем в й некоторую норму и число М > О, такое, что 1](х, у]11(М11хДу 1] для любых х, у из й. (1) 1. Непрерывные многочлены ео значениями в й Пусть 1 — конечное множество, и пусть Р(й'; й) (соотв. Р(й', й)) — векторное пространство непрерывных многочленоа (соотв. формальных рядов с непрерывными составляющими) на йг со значениями в й. Напомним (Мн. Св. рез., приложение), что Р(й|; й) наделено градуировкой типа Ь)| и что Р(йг; й) отождествляется с пополнением векторного пространства Р (й'; й) относительно топологии, определенной фильтрацией, ассоциированной с этой градуировкой Р(й', й). Более того, Р(д', й) является градуированной алгеброй Ли относительно коммутирования, определенного формулой 11, д](х) = ]1 (х), д(х)] для любых 1, д из Р(й'1 й), хее3'; эта структура алгебры Ли по непрерывности переносится на Р (д', й) и превращает ее в -фильтрованную алгебру Ли„ полную и отделимую.
По предложению 2 из 5 б,п '3, существует единственнык непрерывный гомоморфизм |р|: и ь й алгебры Ли Е(1) в Р(й|; й), отображающий переменную с индексом | для любого | ~1 на рг,, так как рг,ееР(й'; й). Отсюда следует, что йееР(й', й) для любого и ее 1.(1); более точно, если и~1.(1), то й есть не что иное, как полиномиальное отображение (1,)| — ь и((1,)) из 5 2, и'4. С другой стороны, ясно, что |р| совместимо с полиградуировкой 1.(1) и Р(й', й). Если и= ~ и„где и,ее 1.'(1) для ~=и| любого т ее Х', то й= ~ й, где й,~Р„(й', 3). чанг Пусть и = (и|),. — конечное семейство элементов 1 (1), вен 1.(Х) и и|=о ° и (5 6, и'3). Положим й=(й|)1 р Тогда 6 а й = (о о и), (2) гл.
и. своводные ллгев ы ли таз 2. Груауснуиа, олредвленная волной нормированной алгвйрой Ли Пусть Н = Х Н,, ен Е((У, 'г')) — ряд Хаусдорфа (9 6, г, г~О и'4, определение 1). Покажем, что соответствующий формальный ряд й= Х й,, Ф(йХй! 9) (3) г. О~О сходится (Мн. Св. рез., 3.1.1).
Введем следующий формальный ряд т! ~!а[[У, Щ ч 'У, У) = — 1ои (2 — ехр (У + )г')) = (4) = ~' — '(. р(У+У) — 1) = т~! Е и" у' ц'г (6) г,! О,! гг! ' ' О,„! ' ГО "" Гя гньгО~! Отсюда Ч(и,и)= Х ),.,у'у*, г. г~о где ! ге ~l г1! ... гщ! О~! ...
Он! и~ г,+ ... +г =.г (6) г~+ ° ° ° +г г г +г»*! Пусть и и о — два вещественных положительных числа, таких, что и+о < 1ои2; имеем О» ехр(и+о) — 1 < 1; ряды, получающиеся из (5) н (6) подстановкой и вместо У и о вместо т', сходятся, и из предыдущих вычислений следует, что 2 О1,,и'о'= — 1ои(2 — ехр(и+ о)) <+ ОО, (9) г, О~О Пусть г, з)~0, и пусть 1!Н,,,!1 — норма непрерывного много- члена Но. (Мн. Св.
рез., приложение, и'2), Это следует продолжением по непрерывности формулы (7) из п'3 5 6 и (Мн. Св. рез., приложение, и' 6). $ Е ВЕЩЕСТВЕННЫИ НЛН КОМПЛЕКСНЫИ СЛУЧАИ 1аэ Лемма 1. 1! О,,,!!~(М'+' 'т1„,, Пусть т„з,ей( для 1(1(гиг причем в =1; положим т = ~ т,, е= ~ в, и рассмотрим следую(цнй элемент из 1'. (((,(, )г)): 1 г гт-1 х ((Ц ( дг('( (гт')( (О)' )(г(. 1=1 а р — отображение йг в йг+'. (х, у) «(х, ..., х, у, ..., у); поэтому 1!21~~(!111(1(М'+* ' (Мк.
Св, рез., приложение), Применяя зту оценку к различным членам правой части формулы (9) нз и'4 $4, получим 1~("") 1~ м, Š—.' Х „...',,: (19) тЭ( г,+ ... +г г(+ ''' +гт — 1 г+г >1....,г Рассуждая аналогичным образом, приходим к неравенству й(о",л) !1-= т~( г,!...г, 1!г,!...Ут 1! ° (11) г+...+г г-! т-1 '1+"'+'т-1 .' Г(+'1>1 "" ' -1+* -1>1 откуда, согласно (8), что и доказывает лемму.
Птедложение 1. Формальный ряд Й является сходящимся (Мн. Св. рез., 3.1.1), его область абсолютной сходимости (Мн. Св. рез., 3.1.4) содержит открытое множество Р=((х, у) ~ й Х й.йх1~+1~ у 11 < — 1он 2 ~. Имеем Х = ! «р, где ! есть (т + в)-линейное отображение й'+' в 91 (хн ..., х„ун ..., у,) « (ад (х() « ... а(1 (хг ) «ад (у() « ... «ад (у, ) «ад (х, ~,) « ... ... «ад (х,)) (у,), гл. и. своводныв алгевгы ли 190 В самом деле, пусть и, о — вещественные числа ) О, такие„ что и+ о < — 1оп2; по лемме ! 1 М Е !! Й,, !! и'О < 2 о1,,М'+'и'о* = г,о~о о»~о ™ = — 1од(2 — ехрМ(и+ о)) <+ оо, (12) причем последнее неравенство следует из (9). Обозначим через Ь: Я-» й аналитическую функцию (Мн.
Св. реэ., 3.2.9), определенную при помощи Й, т. е. формулой Ь(х, у) = 2 Й,,(х, у)= ~, Н,,(х, у) для (х, у)в=11, (13т с»>о ' г,о>о Эта функция называется функцией Хаусдорфа алгебры 9 относительно М (или просто функцией Хаусдорфа, если это не может привести к недоразумению). Заметим, что Н,,(У, — О) =0 для. любых г+з)2, так что Ь(х, — Х)=0 прн !!х!!е= 9М 1ОЯ2.
1 (14) Аналогично Ь(0, х) =Ь(х, 0) =х прн !!х!! < — 1оп2. (15) Повдложенив 2. Пусть (2' ( (х, у, г) ~ 6 Х 8 Х 8 !!! х !1+ !! у !1+ !! г !! < м 1ок 9 ~ ° Если (х, у, г) еп й', то (х, у)епй, (Ь(х, у), г)яй, (у, г)яИ, (х, Ь(у, г))яИ (]б) Ь(Ь(х, у), г) =Ь(х, Ь(у, г)). (17) Пусть (х, у, г) евЯ'1 ясно, что (х, у) ~Я и что (у, г) еий. Более того, !!Ь(х, у)!!< х'„!!Й„,!!!!х!1 !!у!!; позтому вследствие (13) !! Ь (х, у) !! < (— — 1од (2 — ехр М (!! х !!+ !! у !!)). г $ Т. ЕЕЩЕСТВЕННЫИ НЛН КОМПЛЕКСНЫЙ СЛУЧАИ 131 Однако М (11 х 11 + 11 у 11) < 1ои — — М 11 г 11; положим и = ехр (М 11 г 11); 3 3 тогда 1~(и( — и М (11 Ь (х, у) 11+ 11 г 11) < — 1он (2 — ехр (1оя' — — М 11 г 11) ) + М11 г 11 ,3 х 2и = — 1оя (2 — с— ) + !оя и = 1оя 2и 3 4и — 3 Аналогично убеждаемся в том, что (х, Ь(у, г))ен й.
Докажем теперь (17). В алгебре Ли 7.((0, У, )У")) выполняется равенство Н(И(0, У), УР) = И(0, НР, 37)) вследствие предложения 4 из и'5 $ б, По формуле (2) из и' 1 получаем, что в Р(йХ 3Х»; 3) выполняется соотношение И ' (И Х 1бв) = Й ' (1бв Х Й). Согласно п. 3.1.9 из Мн. Св. рез., существует число в) О, такое, что формула (17) верна, как только 11х11, 11 у 11 и 11г11(е.
Однако функции (х,у,г) ~Ь(Ь(х, у),г) и (х,у,г)~-в Ь(х, Ь(у,г))— аналитические функции на вв' со значениями в 3 (Мн. Св. рез., 3.2.7). Так как Я' связно и так как оии совпадают в окрестности нуля, то они равны (Мн. Св. рез., 3.2.5). Из полученных результатов вытекает следующее. 1 3 Пусть а — вещественное число, такое, что 0 < а( м 1од —. Пусть О=(хен)И1х11<а), 6=((х, у)еОХ01Ь(х, у)еиО) и пи 0-+ 0 — ограничение Ь на 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
