Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Так как Н (У, — У) = 0 и Н (О, У)=Н (У, 0)=У, то Ь (х, — х) =0 и Ь(0, х) =Ь(х, 0) =х для любого хее О. Остается доказать только тождество ассоциативности Ь(Ь(х, у), г)=Ь(х, Ь(у, г)) для любых х, у, г из 6. (18) Так как Н(Н(У, т'), Вг) = Н (У, Н()г, Ф')) в 1. ((У, Ъ', Я7)) ($6, п'5, предложение 4), то Й (ЙХ1д )=Й (1д,ХЙ) (19) в Р(8Х8Х 8; 8) (и'2) и (19) влечет за собой (!8) согласно (!6) и Мн. Св.
рез., 4.1.5. * Иначе говоря (гл. 111, $1), группа 6, наделенная функцией Хаусдорфа, является группой Ли. „ 1ЕЗ гл. и. своводныв длгпвты ли 1!х+у11(знр(11х11, 11у10, 1( ху 11 (11 х 11 11 у 11, 111!1=1 для любых х, у из А и полная относительно этой нормы. Результаты второго и третьего абзацев $7, п'3, остаются в силе. Положим 1'=(6) и рассмотрим образы е и 1 рядов е(У)= — и 1(0) = ~ ( — 1)" — в Р(А; А). Тогда е~! ь,»! ~( 6 ) ~ а-! -пе ~( — ) ~~ (а (20) (21)е согласно. лемме 2 и' 1.
Поэтому радиус абсолютной сходимости ряда е (соотв. 1) больше или равен ае (соотв. больше или равен 1г (Мн. Св. рез., 4.1.3). При Я) О пусть Ол — — (хен А)!!х1~(Л), и положим 6 =6,е. Ряд е (соотв. 1) определяет аналитическое отображение ед (соотв. 1д) из 0 (соотв. 6,) в А. Положим т~ х" ехрд (х) = 1 + ед (х) = ! — для любого х ен 6, (22)! ! (х — 1)л 1ойд(х) = 1д (х 1) ~~' ( — 1)" для любого х — 1 ы Ое п~! (23) (будем опускать индекс А, если из-за этого не могут возникнуть недоразумения). Для хен Оя и и)1 получим ~ — ~ ~(1 — ~ < )т"а ! -не !с( е) (24) так что ед(Оя) с 6я, 1д(6я) с Оя, если Я(ае. Пввдложение 4. Пусть 11 — веи(ественное число, такое, что О ( )т ~(ае.
Отображение ехрд определяет аналитический изоморфизм Оя на 1 + 6я, причем обратным к нему изоморфизмом является ограничение 1одд на 1 + Оя. 4. Эксиоиеющиалэиое оеобрахсение в полных нормированных ассоииативных алгебрах В этом пункте А — ассоциативная алгебра с единицей, наделенная нормой х!-»)(х11, удовлетворяющей условиям дополнении етнкция мевитсл 199 Имеем е(1(Х)) =1(е(Х)) = Х.
Согласно (20), (21) и Мн. Св. рез., 4.1.5, из этого следует, что ел (1л (х)) = 1л (ел (х)) для любого х еи 6а. Поэтому ехрл(1оялх) = х для любого у ен1 + 6а, 1оял(ехрлх) = х для любого х ен 6а, что н завершает доказательство. Если рассматривать А с операцией коммутирования 1х, у)= =ху — ух, то А превращается в полную нормированную алгебру Ли, ибо !! ху — ух!!(»зпр(!!ху !!, !! ух!!) »с-!! х!! !! у!!.
Из предложения 2 и' 3 следует, что область абсолютной сходимости Й содержит 6 Х 6, так что Й определяет аналитича; скую функцию Ь: 6 Х 6-~ А; тогда Ь(х, у)= ~ Н,„(х, у). (25) и в>о Пгвдложинии 5. Для любых х, у из 6 выполняется равенство ехрлх ° ехрл у = ехрл Ь(х, у). (25) В самом деле, еое"=ен~о т>, так что гпо(1 + е, 1+ с) =(1+ е) ю Н в Й(АХ А; А) (если через гп обозначить умножение в А). Доказываемое предложение следует теперь из предложения 2, леммы 3 и Мн.
Св. рез., 4.1.5. ДОПОЛНЕНИЕ функция Мйбиуса Пусть п — целое число ) 1. Если и делится на квадрат простого числа, то положим р(п) =О. Если п не делится на квадрат никакого простого числа, то положим р(п) =( — 1)", где й— число простых делителей и.
Таким образом определенная функция рл Х'-+( — 1, О, 1) называется функцией Мебиуса. Напомним, что если даны два целых числа п, ~1 и аз~~1, то запись и, !пз означает, что и, делит п,. Пиадложиния. (1) Функция р является единственным отобрасхением М' в Е, таким, что р(1) = 1 и для любого целого и> 1. гл.
и. своводныв ьлгев ы ли (й) Пусть з и 1 — два отображения К" в номмутативную группу, записываемую аддитивно. Для того, чтобы з(п) = ~ 1(И) при любом целом п-в1, необходимо и достаточно, чтобы 1 (и) = ~~~ р (б) з ( — ") при любом целом п ~ 1. (3) а1ч Утверждение единственности в (1) очевидно, нбо из (1) можно определить р(п) индукцней по и.
Покажем, что функция 1ь удовлетворяет (1). В самом деле, пусть и — целое число > 1. Пусть Р— множество простых делителей п н и= Ц р'з1"1— ьБР разложение п на простые множители. Еслн б — делатель и, то 1ь(б) = О, кроме того случая, когда И имеет внд Ц р, где Н— а~н подмножество в Р. Тогда а ч (б) 2.' ( 1)сиан н~г св таз = T Р1( 1)ь=(1 1)смаг — () ~-г 'чч/ ь=о Пусть з н 1 — отображения Х' в некоторую коммутатнвную группу, заппсываемую адднтивно.
Пусть п ен (ч". Если справед- ливо (2), то р(б) зЯ =~ Н(б) ~, 1(б) = ~~'„И(б)1(б) = а1й а1а д Ь1ч =Хг(б) Х И(0=1(п). а1ь Обратно, если верно (3), то ~(И)=~~~ ~~',р(б) ( — )=~ (б),') (б)= (), а1ч а1а ь1а ь" ы- что и требовалось доказать, Формула (3) называется 4ормулоб обращения Мебиуса. УПРАЖНЕНИЯ 1) Предположим, что К вЂ” поле характеристики О, Пусть Š— биалгебра конечного ранга над К, являющаяся кокоммутативной. Доказать, что Р (Е) = (0) (применить теорему 1 из и' 6).
2) Пусть Š— биалгебра, такая, что Р (Е) = (0), и (Е„)я>о — фильтрация нз Е, совместимая со струхтурой биалгебры. Индукцией по и показать, что Е+ =(0) для любого л' ьО, и вывестн отсюда, что Е+ =(О), т.е. что Е= 4'. 3) Пусть С вЂ” моиоид, з Е К[О) — его алгебра (А!у., с!гзр. Ш, р. 19). а) Показать, что Е обладает единственной структурой биалгебры, такой, что с(6) =68 д для любого у~ О; эта структура совместима со структурой алгебры на Е н превращает Е в кокоммутзтивную бналгебру, коедииицей которой является отображение е, такое, что е (у) 1 для любого у еи О.
б) Показать, что любой примитивный влемент биалгебры Е равен нулю. Вывести отсюда, что если О чь (с), то Е не обладает фильтрацией, совместимой со структурой бналгебры (прймеиить упражнение 2). в) Пусть К вЂ” целостное кольцо. Показать, что ненулевыми злемеитами х еи Е, обладающими тцм свойством, что с (х) = х 8 х, являются элементы из О, н только онн. Показать, что Е обладает инверсией ! (см. А!6., сйар. Ш, р.
!98, ехегс. 4) тогда и только тогда, когда Π— группа, и что в этом случае 1(у) = = 6 для любого у гм О. 4) Пусть Š— кокоммутативнаи бизлгебра и Π— множество у гм Е, таких, что с (л) = ! и с (д) 6!9 у. Показатгь что С замкнуто относительно умножения и является группой тогда и только тогда, когда Е обладает инверсией, Показать, что если К вЂ” поле, то элементы из О линейно независимы пад К. 6) Пусть Š— бинлгебра, а Е' Нощ (Е, К) — дуальное к ней пространство, наделенное структурой алгебры, луальной к структуре коалгебры на Е (А!у„сЬар.
П1, р. 141). Пустын — ядро гомоморфнзма и ь — з. и (1) алгебры Е' на К; оио является идеалом в Е'. Показать, что если и ем пР н х ен Р (Е), то «(х) О. Если же К вЂ” поле, то показать, что Р(Е) является ортогональным дополнением к пг в Е+, вывести отсюда, что б!т Р (Е) ~ гПт щ/щ, причем в случае когда Е коиечномерна над К, имеет место равенство. 6) Пусть Š— биалгебра и и зи Е' Нот (Е, К) (см. упражнение 6). Пусть элемент уы Е таков, что е(у) 1 н с(у) =6[96.
Показать, что отображение и ь-ь и (6) является гомоморфизмом алгебры Е' в К и что отображение у-ь уу является эидоморфизмом коалгебры Е; показатгь что этот эндоморфиам являетси автоморфнвмом, если Е обладает инверсией. 7) Предположим, что К вЂ” поле.
Пусть Š— биалгебрз, удовлетворяющая следующим условиям: (!) Е кокоммутативна; (П) Е обладает инверсией (А(у., с!гар. Ш, р, 198, ехегс. 4); (!!!) Р (Е) (0); ([г) Е коиечиомерна над К. 202 ГЛ. 11. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ Обозначим через Е' К-алгебру, дуальную к коалгебре Е. Обозначим также через 0 множество элементов л гн Е, таких, что в(н) 1 н с (и) из йп это. группа (см.
упражнение 4). а) Пусть нгн 6 и тя — ядро гомоморфизма иь-ми(я) алгебры Е' в К, Показать, что и ш (свести к случаю, когда л 1, и использовать упражл я кение 6, затем применить упражнение 5). б) Предположим, что К алгебраически замкнуто. Показать, что един- ственными максимальными идеалами в Е' являются идеалы шл1 вывести отсюда, что нх пересечение равно 0 и что Е' можно отождествить. с произведением К, а Š— с бналгеброй К[О) конечной группы сг (см. о упражнение 3). 8) Показать, что обертывающая бналгебра алгебры Ли 8 обладает не- которои инверсией 1 и что 1(л) = — х для любого к щи (д). 9) Пусть К является ()-алгеброй.
Пусть 8 — алгебра Ли, обладающая К-базисом, (à — ее обертывающая биалгебра. наделенная канонической филь- трацией (У„)ад,э. Пусть лщ(1+ и и — целое число ~1. Показать, что х. принадлежит (1+ тогда н только тогда, когда с+ (л) принадлежит. ~. 1 ((Г+81и+). 1+1 а 1>1 1О) Предположим, что К вЂ” произвольная Я-алгебра, Пусть Š— коком- мутативная К-бналгебра, обладающая фильтрацией, совместимой со структу- рой биалгебры. Показать, что морфизм ГЕ91 и(г(Е)) Е, определенный в и'4, предложение 8, являетсн изоморфизмом, если предпо- ложить дополнительно.
что Р(Е) — свободный К-модуль (то же доказатель- ство, что и в теореме 1). $11) Пусть Š— биалгебра к 1 — конечное множество. Зададимся бази- сом (аа) биалгебры Е, занумерованным элементами а иэ й(, таким, что 1 (!) з, 1; (и) с (ет),~~ аа1б1зр для любого уев г) . аь Условие (И) влечет за собой, что Е как коалгебра изоморфнз коалгебре Т8 (К ) симметрических тензоров на Кг (см.А)н.,'с)зар. 1Ч, й 6, и'7, пе1' еб) а) Пусть Е Нощ(Е,К) — алгебра. дуальная к Е н А=К(((Х1)1мг))в алгебра формальных степенных рядов от переменных Хь аанумерованных элементамн множества 1, Для любого и щ Е' пусть фа - формальный ряд ~, и (еа) «а, а где ла=п Хам) 1мг Показать, что и г-ь ма — иаоморфизм алгебры Е' на А н что этот нзоморфизм переводит топологию простой сходимости на Е' в топологию проиаведения на Л.
б) Пусть сар — структурные константы алгебры Е в базисе (еа). Тогда зазр Х тсартз. т УПРАЖНЕНИЯ 203 Напишем к вместо (Х;)~ыт и у вместо (У~)г и где У; — некоторые поные переменные. Показать, что существует семейство 1(х. «)=(11 (х, у))г фармальнык рядов от переменных х, у, такое, что г (к, у)" = Х,' со«эха«У прн любом у ем )чт, для чего, как н выше, положить х =ЦХ~~! ~ и то же самое для у« ! и 1(», «)т Показать, что 1(х, у) является «горла»злым груллоэмл законом иад К размерности и Сагб! в смысле гл. 1, 6 1, упражнение 24'); определить изоморфизм алгебры Ли этой формальной группы яа алгебру Ли Р(Е), базис которой составляют е„с ~ и!=!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
