Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2. Группа Хаусдорфа Пусть Х вЂ” множество. Будем использовать обозначения $5, и' 1 и 2, Отождествим свободную алгебру Ли Е(Х) с ее каноническим образом в А(Х) ($3, п' 1, теорема 1). Обозначим через Е(Х) замыкание Е(Х) в А(Х), т. е. множество элементов из А(х) вида а = 2 ал, где а ~ Е" (Х) для любого и) О; это л>! фильтрованная подалгебра Ли алгебры А(Х). Теогемк 1. Ограничение экспоненциального отображения А (Х) на Е (Х) является биекцией Е(Х) на замкнутую подгруппу группы Магнуса Г(Х). Положим А(Х)=А, А" (Х)=А", А (Х)=А, Е"(Х)=ь», Е(Х)=Е, Г(Х) = Г.
Пусть  — алгебра А Э А, наделенная градуировкой типа Ь), которая определена формулой В" = Х А' 9 А!. О+! л Пусть В = ~  — полная фильтрованная алгебра, ассоцин- »~О рованная с В (Комм. алг., гл. 1П, $2, п'!2, пример 1). Копроизведение с: А -+ А 4Ь А, определенное в $3, и' 1, следствие 1 теоремы 1, является градуированным степени О и поэтому продолжается непрерывным образом до гомоморфизма с: А -+В, задаваемого формулой с ~ ~ а„1 = ~ с(ал), где а„ен А'. (»~О ) »~О Определим также непрерывные гомоморфизмы б' и б" из А в В формулами б' ( Х а„) = Х (а„!3! 1), 6" ( ~ ал) = ~'„(1 9 а,), где а„еи А". з $ а Ряд хАусдоРФА 179 Согласно следствию 2 теоремы 1 из 93„п'1, Ь" есть множество а„~ А", таких, что с(а„) =а„!Э 1+1® а„.
Отсюда следует, что Е есть множество а~ А", таких, что д(а) =6'(а)+ 6" (а). (3) Пусть Л вЂ” множество Ь ен А со свободным членом, равным 1, таких, что д(Ь)= 6'(Ь). 6" (Ь), (4) или, иначе говоря, множество Ь= ~„Ь„, таких, что Ь„~ А" л~О для любого и~~О, Ь,=1 и с(Ь„) = ) Ь,э Ьь Эта последняя в+/=л характернзация показывает, что Л является замкнутым подмно жеством в Г; так как д, 6' н 6" — гомоморфизмы колец и так как любой элемент из 6'(А) коммутирует с любым элементом из 6" (А), то ограничения на Г отображений 6 и 6'6" являются гомоморфизмами групп, а Л вЂ” подгруппой в Г, По предложению ! и' 1 экспоненциальное отображение алгебры А является биекцией множества А+ элементов из А без свободного члена на Г.
Пусть а ~ А+ и Ь=ехра. Так как с — непрерывный гомоморфизм колец, то с(Ь) =с ! К а"/п! ) = 2 с(а)"!п1 =ехр6(а). ~~ж г „>о Аналогично доказываются соотношения 6'(Ь) = ехр 6'(а), 6" (Ь) =ехр6"(а), и так как 6'(а) коммутирует с 6" (а), то (и' 1, замечание 1) 6'(Ь) 6" (Ь) = ехр(6'(а) + 6" (а)). Следовательно, а удовлетворяет (3) тогда и только тогда, когда Ь удовлетворяет (4), что и доказывает теорему.
Замечание. Предыдущее доказательство показывает, что ехр(Е) — подгруппа Л группы Г, состоящая из таких Ь, которые удовлетворяют соотношению (4). Таким образом, посредством экспоненциального отображения можно перенести групповое умножение из группы Л на Ь. Иначе говоря, Е является полной топологической группой относительно закона композиции (а, Ь) а~-~Ь, задаваемого формулой а ~-~ Ь = !од(ехр а. ехр Ь), гл. и. своводныв длгввры ли 180 Таким образом определенная топологическая группа называется группой Хаусдорфа (над Х относительно К).
Пусть а — гомоморфизм свободной группы Р = Р(Х) в Г, такой, что п(х) = ехр х для любого х ~ Х. Так как ехр х — 1 — х= = ~, х"/п1 имеет порядок ) 2, то и инъективен по теореме 1 е>2 из $5, и' 3. Поэтому отображение!оо оп является инъективньгм гомоморфизмом группьс Р в группу Хаусдорфа, продолжаюгцим каноническое вложение Х-» Е. Для любого целого гп ~ 1 обозначим через Е множество элементов порядка )~т из Е и через à — множество элементов и а=Г, таких, что и — 1 имеет порядок вгп. Имеем Х ехр — '(Г ) по замечанию 2 из и'1; так как (Г )„,>, — центральная фильтрация на Г ($4, п'5, предложение 2), то (Е ) >, — целочисленная центральная фильтрация на группе 1,.
в. Формальные ряды Ли Лемма 1. Пусть й — фильтрованная алгебра Ли ($4, п'1), (й,)„„— ее фильтрация, и пусть ае= (ч. Если Р— однородный многочлен Ли степени и от переменных (Т,),, 5 2, и'4), то Р((а,)) ~ й„е для любого семейства (аг)г элементов из а .
Любой многочлен Ли степени и ~ )2 является конечной суммой членов степени и, имеющих вид [1,1, )с[, где Ц и )с имеют степень < и (5 2, и'7, предложение 7). Отсюда лемма следует илдукцией по и. Назовем формальным рядом Ли') (с коэффициентами из К) от переменных (Т,),, любой элемент алгебры Ли Е((Тг),,) Е(!). Любой такой элемент единственным образом представляется в виде суммы суммируемого семейства (и„), ннь где и, ен Ь" (!). Предположим, что 1 конечно. Пусть 9 — фильтрованная алгебра Ли, полная и отделимая, причем а = Ц йа; пусть е>0 г = (1,),.
— семейство элементов й. Предложение 2. Гомоморфизм [и Е (!) — » а, такой, что [е(Т~) =1~ (з 2, и'4), продолжается до единственного непрерывного гомоморфизма 1е алгебры Е(0 в й. ') формальвый ряд Ля яе является, вообще говоря, формальным рядом в смысле определения иа Алг., гл. 1Ч, $5. $ а Ряд хАусдОРФА !86 В самом деле, существует а) О, такое, что 16ен й для люч « бого 1~1; тогда 1,(Ь (1)) с й~»1«для любого ч (лемма 1), что и доказывает непрерывность 1,. Ч. Т. Д. Если и ен 1. (1), то положим и ®)) = ), (и). В частности, беря й=Е(1), получим и=и((Т~)); в общем случае говорят, что и((1,)) является результатом подстановки 1, вместо Т, в формальный ряд Ли и((Т,)).
Если и= 2 ич, где и,е= Ь'(Х), то ув Нид семейство (и ((1,)))„н1О суммируемо и и ((1,)) = 1., ич ((1,)). (бт ч~ни~ Пусть о — непрерывный гомоморфизм й в фильтрованную ал» гебру Ли й', полную, отделимую и такую, что й'= О й . Для «>6 любого конечного семейства 8=(1,),, элементов й и любога и ен 1, (1) имеем о (и ((1,))) = и ((о'(1,))), (6) так как гомоморфизм о ° 1, непрерывен и отображает Т, на о(1,'Г для любого 1~1.
Пусть и =(и~) „— конечное семейство элементов из 1.(1), и пусть о~ 1.(1); подставляя и~ вместо Т~ в о, получим элемент те=о((и ) ) алгебры К(1), обозначаемый через о«и. Тогда "((') = ) ='И" ((() - ))...) (~~ для любого конечного семейства 1=(1;),, элементов й, в чем. легко убедиться, преобразуя непрерывным гомоморфизмом 1' равенство 6в = о((и~),. ). Пусть и = ~ и, ен 1.
Я, причем и„е— : 1," (1). Отображение у иг й: (16) ~и((1~)) алгебры й' в й нглргрывно: в самом деле, в каждом из открытых множеств й при любом а) О семейство й„. равномерно суммнруемо, так что достаточно показать, что каждое й» непрерывно, что непосредственно доказывается индукцией по ~ »1.
4. Ряд Хауедорфа Пусть (11, У) — множество, состоящее из двух элементов. Опгнднлвнин 1. Элемент Н 0~-»У = 1ои(ехрУ, ехр У) (и 2) алгебры Ли 1.а((0, У)) называгтея рядом Хауедорфа от леремгнных 11 и У. ГЛ. и. СВОВОДНЫЕ АЛГЕВРЫ ЛИ Обозначим через Н„(соотв. Н,,) компоненту полной сте- лени и (соотв. полистепени (г, з)) ряда Н. Имеем: Н=Х Н„= 2. Н,,„Н„= Х Н,, а)О г, г)О г-1-г=» г, 8~0 (8) ТеОРемА 2. Если г и г — деа положительных !(елых числа, -таких, что г+ г:1, то Нг,, = Н,',, + Н, „где ~с+ з)Н., г= (("П !тг!" 1( гГ)1,~г!Ъ) '1+" +'т ' (9) Г!+О!~1, ..., Гт,+Г !т1 ~Х, ( — 1) (г+ з) Н,',,= С, ( — 1) Х (П '"" ""' )1 ! ° +...+От 1 га 1 (10) т~1 ы!+ "° г 1=3 г,+г,-- 1, ..., гт,+г Ао((У, У)) верно равенство ехрУехрУ =1+ Яу, где (гг уз — — откуда Н = ~Х! ( — 1) 1(г" /гп (и'2), т.
е, В т~1 г.!.О)! Ц1 1г1 ! ! Н,,=~~ т>1 г,+ "+гт= '1+ " +'тчт т+ т>! „,(п$ — ',,')= ',(У), 1 1 1 тт (аа (1) ' (а!1 У) 1 (аа У) т (а!1 У) т =г+ОЦИ г.( а,( ) г! а ! 1 т т (12) Линейное отображение Р„, определенное формулой га-1 Г. 1*,о .... *.! = -„(П11.,!) 1*.! 1=1 для любых и-в1 и х„..., х„из (У, У), является проектированием Ао((У, У)) на 1о((У„У)) (5 3, и'2, следствие предложения 1); так как Н„, принадлежит 1.'о+'((У, У)), то Н,,= =Р, „(Н,,). В то же время 5 6, Ряд ххусдо»ФА если е %1, н (13) 2) В частности, Н(У, У)= — У+ У+ — [У, Р']+ — (У, ]У, 11]]+ + — „Г, (Р', У]] — ~~ (У, ])», ]У, )']П по модулю ~ 7 "((У, '»')). 3) Нв„=Й,=О для любого целого и чь 1, так что Н(У, О)=Н(О, У)=У.
(15) С другой стороны, так как (У, — У] = О, то Н(У, — У) =О. (17) Ю. Подстановки о ряд Хадедорфа Так как К вЂ” поле, содержащее Я, то ряд Хаусдорфа можно рассматривать как формальный ряд Ли с коэффициентами в К. Следовательно, если й — фильтрованная алгебра Ли, полная, отделимая и такая, что й= (] й, то любые а, Ь из й можно 6>0 подставить вместо У и г' в Н (см.
и'3 и 5 2, и'5, замечание) В частности, пусть А — ассоциативная фильтрованная алгебра с единицей, отделимая и полная. Положим ш= ]] А„ и »>О если г„,-«1 и з =О. Более того, очевидно, что (аб1)» .»=О, если р)~2 и (аб1)'.1=й Поэтому обе части равенства (12) равны нулю, если г «2, и то же верно для (13), если г )2 Отсюда следует теорема, ибо Н,',, равно сумме членов типа (12), а Н",,— сумме членов типа (!3). Ч. Т.
Д. Замечания. 1) Мы определили (5 3, п' 2, эамечание) проектирование 9' модуля А(Х) на Е(Х), такое, что Я(а ) =О для любого а ен Е(Х) и любого т~~ 2, и 1ч(1) = О. Тогда Н = Я(ехрН) = =Я(ехрУ.ехрУ), откуда немедленно следует, что у' к~ Н,,=(е( — „— ], если »+ е) 1. (14) 1В4 ГЛ. П. СБОБОДИЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ ш,=А,Пш для любого аен и; имеем ш,=А, при а ) О и ш,= ш при а < О. Относительно операции коммутирования (а, Ь~)= = аЬ вЂ” Ьа ш является фильтрованной алгеброй Ли, полной и отделимой, к которой можно применить предыдущее.
В этих обозначениях имеем следующий результат, дополняющий пред.ложение 1 из и'1. Пяадложение 3. Если а ен ш, Ь я ш, то ехр Н (а, Ь) = = ехр а. ехр Ь. Пусть а, Ь вЂ” элементы ш; существует а > О, такое, что .а ен А, и Ь ~ А„. Следовательно, существует непрерывный гомоморфизм 0 алгебры Магнуса А((У, т')) в А, отображающий У на а и т' на Ь ($5, и'1, предложение 1).
Ограничение 0 на Е((У, Р')) является непрерывным гомоморфизмом алгебры Ли К ((У, т')) в ш, отображающим У (соотв. )т) на а (соотв. Ь). По формуле (6) из и'3 получаем 0(Н) = Н (а, Ь). Достаточно теперь применить гомоморфизм 0 к обеим частям равенства ехр Н (У, Р) = ехр У .ехр Р' и принять во внимание .замечание 3 из и' 1. Замечание 1, Если а и Ь коммутируют, то Н,„(а, Ь) = О при ,г+ э~~2, так как однородный многочлен Ли степени )2 ра- вен нулю на (а, Ь). Следовательно, Н(а, Ь) =а+ Ь, так что предложение 3 позволяет еще раз получить формулу ехр(а+Ь) = = ехр а. ехр Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
