Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Твоеимк 2. Предположим, что в кольце К соотношение и. 1 = 1) влечет за собой п=О для любого целого п. Пусть г — отображение множества Х в А(Х), такое, что сь(т(х)))2 для любого хе= Х, и пусть д — гомоморфизм группы Р(Х) в группу Магнуса Г(Х), такой, что д(х)=-! +х+т(х) при хан Х. Для любого п) 1 подгруппа С"Р(Х) является полным прообразом подгруппы 1+А„(Х) группы Г(Х) ири отображении й. Твоввмь 3.
Для любого х ~ Х пусть с(х) — канонический образ х в Р (Х)/(Р(Х), Р(Х)). Пасть 3 — градуированная Х-алгебра л 4 Б. АЛГЕБРЫ МАГНУСА 1тз Ли, ассоциированная с фильтрацией (С Р(Х))л, группы Р(Х) (3 4, и'6). Единственный гомоморфизм Х-алгебр Ли свободной алгебры Ег(Х) в й, продолжающий с, является азоморфиэмом, В терминах образов градуированная г,-алгебра Ли, ассоциированная со свободной группой Р(Х) (относительно нижнего центрального ряда), является свободной г,-алгеброй Ли Ех(Х). Положим Р(Х) = Р, Г(Х) = Г, А(Х) = А, Аг(Х) = Аг, С"Р(Х)=С", Гл=1+ А„(Х); пусть, далее, а: Ез(Х)-лй — гомоморфизм, введенный в формулировке теоремы 3.
А) Предварительные редукции Обозначим через у гомоморфизм группы Р в Г, определенный правилом у(х) = 1+х для любого х ен Х. По лемме 4 существует автоморфизм о алгебры А, сохраняющий ее фильтрацию и такой, что о(1+х) =д(х) для любого хек Х; имеем о(Гл)= =Г„для любого и. Так как гомоморфизмы д и о ° у группы в Г совпадают на Х, то у= олу, так что д '(Г„)=у — '(Г„) В предположениях теоремы 2 можно отождествить Х с подкольцом в К; алгебра Магнуса Ах отождествляется тогда с подкольцом в А, причем фильтрация на Ах индуцируется фильтрацией на А. Так как у отображает Р в Аг, то понятно, что достаточно доказать теоремы 2 и 3 при дополнительных предположениях К = 2 и г = О, т.
е. й = у, которых мы и будем придерживаться в дальнейшем. В) Сюръективность а Так как Х порождает группу Р=С'„то множество с(Х) порождает Х-модуль й' = С'!Сг. Но й' порождает 2',-алгебру Ли 5 (3 4, и'6, предложение 5), следовательно, с(Х) порождает й, что и доказывает сюръективность а. В) Отождествим градуированную алгебру иг(А) с А(Х) прн помощи канонических изоморфизмов А" (Х)-л А„/Ал+Р Для любого целого и ) 1 положим Р" = у-' (Г„); известно, что (Р")„~,— целочисленная центральная фильтрация Р ($ 4, и' 5).
Обозначим. через й' градуированную Х-алгебру Ли, ассоциированную с этой фильтрацией ($4, и' 4). Пусть / — гомоморфизм алгебры Ли й' в А (Х), ассоциированный с у (3 4, и' 5, предложение 3). В то же время С" ~ Рл для любого целого и>1 (3 4, и'6, предложение 4), так что имеется канонический гомоморфизм в алгебры ® Сл/Сл+1 г ® Рл/Рл+ц л~! л~! Ьг (Х) — й — ' й' — А (Х). ГЛ Н. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН 174 Положим р=) ° в; гомоморфизм р можно определить словами следующим образом: если и — класс по модулю С некотоР+! рого элемента Гс из С", то у(в) — 1 — элемент порядка .-«л в А и р(и) — однородная компонента степени л элемента у(Гв) — 1. В частности, р(с(х)) =х для любого х~Х. Г) Доказательство теорем 2 и 3.
В силу (3) ограничение гомоморфнзма алгебр Ли (1 «а: Ее (Х)- А (Х) на Х тождественно, поэтому р «а — каноническая инъекция (33, и'1). Поэтому а инъективен, а следовательно, н биективен в силу В); это доказывает теорему 3. Поскольку р« а =1«в«а ннъектнвен, а а биективен, то в инъективен. Для любого целого л) 1 , .
СР/СА-Р' инъсктивен, поэтому С" П Р"+ = С"" . Имеем С = Р = Р; если С" =- Р", то С"() Р"+ = Р"+, откуда С"+' = Р"+', что после применения индукции по л) 1 доказывает теорему 2. Следствие. П С"Р(Х) = (е). В самом деле, применяя теорему 2 при К=Я и Г=О, получим П С"Р (Х) = ( ) у ' (1 + А„ (Х)) = = й ' ( Й, 0 + АА (Х))) = д' ' (1) = (е). Замечание. Пусть Н вЂ” семейство Холла над Х (5 2, и' 10). Пусть М вЂ” группоид, умножение в котором определено правилом (х, у) (х, у)=х 'у 'ху, и пусть ф — гомоморфизм М(Х) в М, ограничение которого на Х тождественно. Элементы нз ф(Н) называются базисными коммутаторами группы Р(Х), связанными с семейством Холла Н.
Для любого целого л) 1 пусть ̈́— подмножество в Н, состояшее из элементов длины л; известно ($2, и'11, теорема 1), что каноническое отображение Н„ в ьх(Х) является базисом свободной абелевой группы Ах(Х). Более того, ф(Н„)с= С"; поэтому можно через ф„(ЛГ) обозначить класс шоб С"+' элемента ф(гл) еи С" для любого б З б. АЛГЕБРЫ МАГНУСА 175 Гп еи Н„. Из теоремы 3 видно тогда, что ~р„— биекция множества Н„на базис свободной абелевой группы С"/С"+. Отсюда легко вывести, что для любого Гвен р(Х) и любого 1~1 существует единственный элемент а, из Е о, такой, что, каково (н) бы ни было и) 1, верно равенство Гв=Ц П ~р(т)'Н"'шоб С"+', б ~л~п, (4) Пример. Предположим, что Х вЂ” множество, состоящее ий двух элементов х, у, и положим Н, =(х, у), Нз=(ху).
Любой элемент Гв группы Р(Х) может быть записан в виде Гв х'у'(х, у)'той СБ, где а, Ь, с~Х. Если Гв=(ху)", то а=Ь=п и с=п(1 — и)/2 (см. упражнение 9), откуда )л и л( )по-пн2 1Сб б. р-Фильтрация в свободных группах В этом пункте р — простое число, а К=ГР. Пусть у — гомоморфизм группы Р(Х) в Г(Х), такой, что у(х)=! +х для любого х из Х; положим Р~~1(Х)=у (1+А„(Х)). Последовательность (Р~~~ (Х))„>, является целочисленной центральной фильтрацией на Р(Х), причем она отделима, так как у инъективен (и'3, теорема 1). Назовем ее р-фильтрацией Р(Х).
ПРедложвние 2. Предположим, что Х конечно. Для любого целого и э! группа Р(Х)/Р1Р~(Х) — конечная р-группа класса нильпотентности, не превосходящего и. Доказываем индукцией по и. Достаточно показать, что Р'„Р'(Х)/Р'„Р+~(Х) — коммутативная конечная р-Группа при любом целом п~1. При любом Гв~ Р'„"'(Х) элемент у(тв) — 1 из А(Х) имеет порядок )и; обозначим через б„(Гв) однородную компоненту у (Гв) — 1 степени и. Отображение 6„: Р'„Р1(Х)— -+А" (Х) является гомоморфизмом с ядром Р'„Р+~(Х)($4, п'5, предложение 3), поэтому Р~~~(Х)/Р„'Р+~(Х) изоморфна подгруппе в А"(Х).
Так как Х конечно, то А"(Х) — векторное пространство где произведение вычисляется согласно совершенной упорядо- ченности на Н. гл. н. своводныв ьлгввгы ли 1тб 5 6. Ряд Хаусдорфа В этом параграфе мы предполагаем, что К вЂ” поле характеристики О. л. Экспонента и логарифм в фильтрованных алгебрах Пусть А — ассоциативная алгебра с единицей, отделимая и полная относительно вещественной фильтрации (А,). Положим т=Аь=1) А. а>0 Для любого х ~ ж семейство (х"/и!)„и суммируемо. Положим е" = ехр х = Х х"/и! (1) п~ь Тогда ехр(х) еп 1+ в1, и отображение ехр: т-ь 1+ ж называется экспоненциальным отображением алгебры А. Для любого уен 1+ ж семейство (( —.Ц" (у — Ц"/п)„>1 суммируемо. Положим 1о у= 2.
( — Ц" (у — Ц'/п. а~! (2) конечной размерности иад Р, т. е. конечная коммутативная р-группа, а поэтому такова же и Р~~~(Х)/Р,ь+~(Х). Пгядложяния 3. Для любого в чь 1 из Р(Х) существует конечная р-группа 6 и гомоморфизм / группы Р(Х) в 6, такой, что /(в) Ф 1, Существуют элементы хь ..., х, множества Х и целые числа п„..., и, такие, что в=х",' ... х,".
Пусть У=(х„..., х,). Каноническое вложение множества У в Х продолжается до гомоморфизма а: Р(У) — Р(Х); кроме того, пусть (! — гомоморфизм группы Р(Х) в Р(У), ограничение которого на У тождественно и который отображает Х вЂ” У в (1). Имеем ()(а(у)) =у для любого у ен У, поэтому (!О а — тождественный автоморфизм группы Р(У). Очевидно, существует в' в Р(У), такой, что в=а(в'); тогда й(в) =в' ~ 1; однако П Р~„"'(У) =(1), и зна- Л, чит, существует целое число п)~1, такое, что !1(в) Ф Р~„"'(У). По предложению 2 группа 6=-Р(У)/Р'„"'(У) — конечная р-группа. Если / — композиция () и канонического гомоморфизма группы Р(У) на 6, то /(в) чь 1.
Слвдствив. Пересечение нормальных подгрупп конечного индекса в Р(Х) тривиально. $ б. Ряд ХАусдоРФА 1тт Тогда ехр(х) ~ 1+ т, и отображение 1ов: 1+ ж- ж называется логарифмическим отображением алгебры А. Пгедложвние 1. Экспонеициальное огобразсгииг является гомгоморфизмом м на 1+ а, а логарифмическое отображение— обратиым к нему гомеоморфизмом. хп Для любого х еи Л„выполняется —, е= А„,. Отсюда следует, что ряд, определяющий экспоненту, равномерно сходится в каждом из множеств Л, при а ) О; так как А„ открыта в т и т = 0 А„, то экспоненциальное отображение непрерывно.
а>О Аналогично показывается, что непрерывно и логарифмическое отображение. Пусть е и 1 — формальные ряды без свободного члена е(Х) = ~ — „,, Е(Х) = ~ ( — 1)" 'Х"Еп. ехр (х) = е (х) + 1, 1оц (1 + х) = Е (х), 1оа ехр х = х, ехр!ои (1 + х) = 1 + х то для любого хедж, откуда и следует предложение. Замечания. 1) Если хе ш и у еи ш и если х, у коммутируют, Ех х1 то ехр(х+ у) =ехр(х) ехр(у) и семейство ~ —.—.~ сумми- П р ~! /ин руемо (АЕд., сйар.
1Ч, 96, ргороз!1юп 11). 2) Так как е и Š— ряды без свободного члена и так как Ач — замкнутый идеал в А, то ехр А,с= 1+ А„и 1од(1+А,)~А,„, откуда ехр Ля= 1+ А, и 1ои(!+ А„)= А„для любого а > О. 3) Пусть  — ассоциативная фильтрованная алгебра с единицей, отделимая и полная, и и = 0 В,. Пусть 1 — непрерывч>О ный гомоморфизм алгебр с единицей А в В, такой, что 1(т)~п. Тогда )(ехрх) = ехр1(х) для любого х ~ т и 1(!оп у) =!ой'Е(у) для любого у еи 1+ вц докажем, например, первую из этих формул: Е (ехр х) = Х Е (х")/п! = ~ 1(х)"Еп! = ехр Е' (х).
ч>0 а~О Известно, что е(Е(Х))=Е(е(Х))=Х в Л((Х))=КИХД (АЕй., с)зар. 1Ч, $6, и'9, и'и'еб). Используя подстановку ($5, и'1), получаем, что е(Е(х))=Е(е(х))=х для любого хейфиц так как 478 ГЛ. !!. СБОБОДНЫВ АЛГЕБРЫ ЛН 4) Пусть Š— ассоциативная алгебра с единицей. Если а— т ал х нильпотентный элемент из Е, то семейство ( — ) обладает м конечным носителем и можно положить ехра= Х а'!и! Гово».лО рят, что элемент Ь унипотентен, если Ь вЂ” 1 нильпотентен; положим тогда 1оп Ь = ~, (- 1)л (Ь вЂ” 1)"/и. Из соотношений л~! е(1(Х)) =1(е(Х)) = Х легко вывести, что отображение а — ехра множества нильпотентных элементов из Е на множество унипотентных элементов из Е биективно и что Ь ~!оп Ь является обратным к нему отображением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
