Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 46
Текст из файла (страница 46)
определенное выше, инъективно. 4) Пусть Н вЂ” иильпотентная группа класса г и 6 — группа ее автоморфнэмов, действующая тривиально на Н[(Н, Н). Показать, что Π— ннльпотентная группа класса, не превосходящего г — 1. (Применить упражнение 3 к нижнему центральному ряду группы Н и заметить, что 6 действует тривиально на нг(Н).) Показать, что если Н вЂ” конечная у.группа, то такова же и 6, если р — простое число (тот же метод).
5) Пусть К вЂ” поле и Š— его конечное расширение Галуа с группой Галуа О. Пусть о — нормирование Ь со эначенинми в Е (Комм. алг., гл. Ч1, Ь 3 3, п'2), инвариантное относительно 6. Если ясиО. то положим о(у)= зпр ес( ). Показать, что о — функция порядка некоторой целочисленной отделимой фильтрации (Оя) группы 6, такой, что Ор —— 6 и что ограничение этой фильтрации на Ор центрально (применить упражнение 3, беря в качестве Н максимальйый идеал кольца нормирования и ). Показать, что 6, яэляетсн р-группой (соотв. единична), если поле вычетов Е имеет характеристику р > 0 (соотв.
характеристику нуль); если поля Е и К обладают одним и тем же полем вычетон, то 6, — ядро гомоморфизма, определенного в Комм. алг., гл. Ч1. $8, упражнение 11б). $ б) Пусть К [6) — групповаи алгебра группы 6 над К и г — ядро канонического гомоморфиэма К [6[-ь К („пополняющий идеал"). Тогда К [6[ = Кгхр р' и базисом 1 является семейство элементов вида я — 1 длэ любого а~ Π— (г). а) Если а — целое число ~0, то через Га обозначим идеал нз К[6), авиый и-й степени Е Пусть ΄— множество йрцО, таких, что н — !ай!а. оказать, что (6„) — целочисленная центральная фильтрация на 6. В частности, Оя'=р С"6 для любого и.
б) Покаэаты что если К Х, то отображение йр-эй — 1 индуцирует при факторизации изоморфизм О/(О, 0) на НН. Вывести отсюда, что Ор С'0 '). ') Известно, что если группа 6 свободна, то О„=С"6 для любого в; см. 5 3, упражнение 1. (Иавестен пример группы 0 с Оэ чь СРО. — Нарез.) УПРАЖНЕНИЯ 211 в) Пусть К вЂ” поле характеристики нуль и 6 конечна. Показать, что 1л=/ для любого и ~ 1. г) Пусть К вЂ” поле характеристики р > 0 н 0 есть р-группа, Показать, что 1л = (О) для достаточно большого и, (Показать сначала, используя А/у„ сЬар.
1, р. 73, ргорозИ!оп 11, что любой простой К [О[-модуль нзоморфен К, и вывести отсюда, что 1 — радикал в К [С[; значит, он нильпотеитен, так как К [6[ конечномерна над К. д) Предположим, что К=Х н что С обладает следующим свойством: для любого ушС, у те 1, существуют простое число р, р-группа Р н гомоморфнзм /: 0-ь Р, такие, что /(у) ~е. Показать, что тогда П /л=(0), (Свестн доказательство х случаю, хогда О Р. Применяя г) к полю р, Ш убедиться в том, что существует т, вля которого 1 1=' РХ [6) н 1 является прямым слагаемым в Х[6[, что влечет за собой включение 1 ~ р/, откуда [ 1 1юл ~- П рл1, а последнее пересечение равно нулю, так как 1 — абелева л л группа конечного типа.) Р 7) Наделим 6 фильтрацией (СлС) и предположим, что пг1(6) 6/(6, О) цнклнчна.
Показать, что англ (6) = [0[ для любого и) 2 (нспользовать предложение б) н вывести отсюда, что С 0 =(6, 0) для любого и:2, 8) ПУсть 0 Я.з(Х), и пУсть х ( ), У 1 ~, ю = [ ~О 1)' ~! 1)' ~-! О) а) Пронерить соотношения ю' 1, ю ху-'х, юхю-1 у-С ра Ь~ б) Если у=~ ) — элемент нз О, то положим !(д)=[а[-1-[й[. А.с а') Показать, что 1(у) =1 тогда и только тогда, когда у имеет вид улюл, где ишХ я 0(а~~В. Если !(у)~2, то показать, что существует некоторая степень й элемента х нлн у; такая, что 1(уй) < 1(у).
Вывестн отсюда, что 0 иорозедаегся элемевтамн [х, у). в) Используя а) и б), показать, что О/(О, 6) порождается образом Е элемента х и что й" =е '). Вывести отсюда, что Слб (6, 6) для и)2 (применить упражнение 7). 9) Наделим 0 фильтрацией (Слб). а) Показатгл что идеал кг(6), порожденный цгз (6), равен Х,' йта (6). а~з б) Пусть (х,), — система образующих группы 6, н пусть т~1. Предположям, что для любого (1, /) ш/з имеет место включение (х, х )л'ш СзО.
! Показаты что для любых а ~2 и пав С С выполняется также илшСа+'6 (использовать а)). 10) П[сть х, у — элементы нз С н г, з — целые числа ) 1. Предположим, что (хг, у') =е. л +2 а) Показать, что (х, у)!гф ги Сл+ 0 для любого и)1. (Можно предполагать, что 0 порождается элеменгамн х.
у применить тогда упражнение 9 б), замечая, что (х', х') =(х, у)гешобС16.) б) Предположим, что хг=у' е; обозначим через ! наибольший общий делитель г и з. Показать, что (х, у) сиСзО н вывестн отсюда, что (х, у)' аи г э гл ~ Сл+з6 для любого и ) 1 (тем же способом).
') Можно показать, что в имеет порядок 12. 212 ГЛ, !!. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 11) Пусть Н вЂ” подгруппа в С в ш — некоторое целое число > 1. Пред- положим, что С порождена некоторым семейством (х ) элементов, таких„ ттм! что хмтекН для любого 1. а) Наделим Н фильтрацией, нядуцироаанной фильтрацией (Слб) группы О, и отожнествнм яг(Н) с градуированной подвлгеброй алгебры Лн пг(0); см.
упражнение 2, Показать, что для любого целого и ~0 тлл йгл (6) <= йгл (Н). Вывестн отсюда, что для любого г щ Н . Слб имеет место включение ,ел еэН.сл+!6. б) Показать, что если С нильпотентна, то существует целое Н,ЛО (не и зависящее от класса нильпотентностн группы 6), такое, что гтл сиН для любого г си О, 12) Предположвм, что С нильпотентна. Пусть Н вЂ” подгруппа в 0 и ш — целое йэ 1, а х, у — элементы нз С, такие, что хтл ти Н н ум си Н.
По- казать, что существует целое У~О, такое, что (ху)м сиН. (Применить М упражнение 11 к группе, порожденной (х, у), н к ее пересечению с Н.) 13) а) Пусть Р— свободная группа с системой свободных образующих (х, р), состоящей из двух элементов, с — целое число ~ 2 н тл — целое число ~1. Положим Р' Р!Сер н обозначим через х, у образы х, у в Рс. Пусть Р' — подгруппа в Рт, порожденная (хм, у).
Показать, что существует целое мм Ф>0, такое, что г"' сиРсм для любого гтпрс (испольэовать упражнение 1!). б) ПУсть 1~ (соотэ. 1м) — ноРмальнаЯ подгРУппа Р~ (соотв. Рэ ), поРо- жденная у. Показать, что если М выбрано, как выше, и если г прннздми лежит 1т, то гм ти 1' (наметит!э что Рс11с — бесконечная циклическав группа, порожденная образом х, и вывестн отсюда, что Р' ~1' -ьрс/1с мм ннъсктивно, а значит, 1' Р,'„()1с). В частности, хум х тп1щ.
в) Предположям, что группа 6 ннльнотентнз. Пусть Н вЂ” подгруппа в 0 н Ь вЂ” нормальная подгруппа в Н. Пусть утпС н та ~! таково, что ум!и Н. .Р', Показать, что если М достаточно велико, то у!м у-' ти Ь для любого 1!и Ьг (Еслн О имеет класс ( с, то выбрать М, как в а), и испольэовать гомомор'- физм Г; Р'-ь 6, для которого 1(х) у, 1(у) =1; заметить, что 1(Р,'„) щН )(1') с= Ь н применить б).) $14) Пусть Р— некоторый набор простых чисел.
Целое число и назы- вается Р-числом, если оно чь0 н если все его простые делители прниад- лежау Р. Элемент х ти 0 называется Р-элементом, если существует Р-число л, такое, что хл е; говорят, что О есть Р-группа (соотв, группа без Р-кру- чения), если любой (соотв. никакой отличный от е) элемент группы 0 является (соотв. не является) Р-элементом.
Гонорят, что группа 6 Р-лолна (нлн Р-делима), есля для любого х эм О н любого Р-числа н существует у !и О, такой, что х у". Предположим, что 0 нилзнотентна. а) Пусть Н вЂ” подгруппа в 0 н Н вЂ” множество элементов х эм О, таких, Р что хл ти Н для некоторого Р-числа л. Покаэатгл что Н вЂ” подгруппа в 0 Р (нсяользоьать упражнение 12) и что (Нр)р — — Нр. Группа Нр называется Р-радикалом (илн Р-изолятором) подгрупйы Н в С. Вслн С Р-полна, то Р-полна н подгруппа Н, влрджненмя 2!3 б) Пусть Ь вЂ” нормзльнак подгруппа в Н. Показать, что Š— нормальная Р подгруппа в Н . (Использовать упражнение 13 з) для доказательства того, что если уев Йр и ! еи Ь, то у!у-' ев Ь .) В частностй если Ь вЂ” нормальная подгруппа в О, то и 5 нормзльне Р в О и О/!. — группа без Р-кручения.
Вывести отсюда, что множество Р-элементов из О явкяется наименьшей нормальной подгруппой У группы О, такой, что О/Н не имеет Р-кручения. з) Предположим, что 0 — группа без Р-кручения. Пусть и — некоторое Р-число н х, у нз О таковы, что х" у". Показать, что х у.
(Применить. упражнение рй а) при г=э н. Вывести из него, что существует Р-число Н, для кетового (х,у) е; так как 6 не имеет Р-кручения, то (х, у) е; н тогда (х- у)"=е, что н дает окончательно х=у.) г) Пусть Н вЂ” подгруппа в 0 и Ь вЂ” нильпотевтная группа, а /: Н-» Ь— гомомоРфизм. ПУсть à — гРафнк / в НХ Ъ, а Гр ЯвлнетсЯ Р-Радикалом 1 в ОХ!.. Показать, что Г содержатся з Н ХЕ н что рг,: Г -»Н сюръектнвно, если Ь Р-полна, н внъектнвно, если Ь без Р-кручения. Предположим, что Ь Р-полна н беэ Р-кручения.
Показать, что тогда / продолжается единственным способом до гомоморфизма /: Нр -».Ь н чтс» график / равен Гр. $15) Сохраним обозначения предыдущего упражнения. Предположим, что 0 ннльпотентиа. Пусть !: 6-» 6 — гомоморфизм 6 в ннльпотентную группу 6. Говорят, что (!, О) есть Р-лололнение (или Р-оболочка) группы 6. если выполняются следующие условия: (!) 6 Р-полна н без Р-крученкя; (й) ядро ! является множеством Р-элементов в О; (61) Р-раднкал образа !(6) в 0 равен 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
