Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 50
Текст из файла (страница 50)
е. Р-полная н без Р-кручения). Если и ~п 0 и 1~ О, то аг определено ($4, упражнение 16). Если ищ О, они О, то определим и+ о и [и, о[ формуламн нз пункта г). Показать, что в этом случае 0 оказывается наделенной структурой нвльпотентной Я-алгебры Ли и что закон коыпозицни Хаусдорфа па втой алгебре является законом композиции походной группы С (проверить эти утверждения в случае, когда 0 — группа рэр (см. б)) и перейтн к общему- случаю, используя гомоморфнзмы гр в О). Пусть / — отображение 0 в полную нильпотентную группу без кручения 0'.
Покаэатгь что / — гомоморфизм групп тогда н только тогда, когда он является гомоморфнзмом алгебр Лн. (Закон композиции Хаусдорфа индуцирует, таким образом, иэоморч)нэм „категории" нильпотентных Я-алгебр Ля на „категорию" полных нпльпотсптных групп без кручения.) б) Пусть й — ннльпотентная 4)-алгебра Лн. которая наделена групповым законом композиции Хаусдорфз, обозначаемым через (я, у) ь-~ к . у.
УЛРАЖНЕННЯ 22о а) Показать, что если х щ й, у еи 3, то х.у. х ~ — (зй х) (у). 1 л 1.г л! (Использовать упражнение 2.) б) Пусть () — подмножество в 3. Показать, что () — подалгебра Лн (соотв. идеал) алгебры й тогда и только тогда, когда оно является изолированной подгруппой(соотв.изолированной нормальной подгруппой) группы у. (Использовать формулы упражнения 4 г) для перехода от композиции в группе к композиции в алгебре Ли.) в) Допустим, что () — подгруппа группы й. Показаты что ее Р-радикал равен (Щ. г) Пусть () — подвлгебрз Ли алгебры 3.
Показать, что централизатор (соотв. нормализатор) й в группе я является множеством х щ й, таких, что (ай х) (()) =0 (соотв. (айх) (()) <= ()). д) Показать, что нижний центральный ряд алгебры Ли 3 совпадает с нижним центральным рядом группы й н что ассоциированная градуированная алгебра Ли йт (3) — одна и та же „с точки зрения группы" и „с точки зрения алгебры Лн".
1( б) Пусть 6 — конечно порожденная нильпотентная группа без кручения. Показать, что если и достаточно велико, то группу 6 можно вложить в нижнюю строго треугольную группу порядка и над 2. (Пусть (6 6) является Р-пополнением 6 (см. $6, упражнение 6); наделенная каноническим образом структурой алгебры Ли (увражнение 4), 6 является конечно- мерной иильпотентной алгеброй Лн над полем О. Применить к 6 теорему Ьдо (гл. 1. 6 7) и вывестн нз нее возможность вложения 6 в строго треугольную группу над 4).
Перейти от О к 2 сопряжением подходящей целочисленной матрицей.) 1) Пусть й — полная нормированная алгебра Ли над К, такая, что !!(х, у)!! а~ йх!! буй для любых х, у из й. Обозначим через 8 множество хщу, 1 3 таких, что !!хй( — 1ой —. Если х, у принадлежат 8, то Ь(х, у)щ8, см.п'2 3 2' а) Положим !'(Т) (1 — е )Т и у(Т) (Д(Т). Ряд ( сходится иа всей комплексной плоскости, а ряд у — в открытом круге радиуса 2ж (см.
Теор. фуляч. действ, лер., гл. т(, $2, и'3). Вывести отсюда, что если зсн8, то 1(айх) и у(айх) определены и что это взаимно обратные элементы из Я(В' 3). б) Пусть Ва(Ь(х, у)) — вторая частная производная функции Ь в точке (х, у) области 8)(8 (Мл. Се. рез., !.62). Она является элементом Ы(у; 3). Показать, что Ва (Ь (х, у)) =у(аб Ь(х, у)) л)(ад у). (Использовать упражнение Зд) из й 6 для доказательства этой формулы.
в случае когда х, у достаточно близки к нулю, и перейти к общему случаю, используя аналитическое продолжение.) Показать, что формула ) (аб Ь (х, у)) ' Рай (х, у) = ( (ад у)' верна в любой точке абсолютной сходнмовти формального рида Й (см. предзожеиие 1).' 6 Н. БуРбаки гл. и, сионоднын ллгннры лм Предположим, что характеристика р поля вычетов К не равна нулю. Обозначим через о кольцо нормирования о поля К. 1) а) Элемент и из К называется допустимым, если о (л) 8 н лз /р~ — 1(тподло ). (Заметать, что лз /репах, так как о(л)=8.) Показать, что существует поле К, удовлетворяющее условиям этого параграфа и содержащее допустимый элемент (присоединить к Оз корень (р — 1)-й степени из — р).
б) Пусть л — допустимый элемент поля К. рассмотрим следующие формальные ряды с коэффициентами из К: ея (и) — е (ли) ~~! лз- ! Ул/п) в=! 1,(и)- — '1( и) -~( — )з-!Уз/л. э=! Показать, что этн ряды взаимно обратны н что их коэффициенты принадлежат о„(нспользовать лемму х). в) Пусть (и, У) — двуэлементное множество и Н(и, У) — ряд Хаусдорфа. Положим Н„(и, У)= — Н(ли, лУ). 1 Тогда На(У, У) щ Е,((и, У)). Показать, что Н„(и, У) = 1„(е (У) + е„(У) + ле„(У) ея (У)). Вывести отсюда, что Н„!иЬ, ((У, У)), т. е. что коэффициенты Н„припадок лежат о; получить отсюда еще одно доказательство предложения 1, г) Обозначим через е,э /„и Н ряды, получающиеся из ея, 1„н Нл редукцией по модулю ло; их коэффициенты принадлежат кольцу о /ло Показать, что 1„(и) У вЂ” УР (заметитьч что ор(л)((п — 1) 8, если и ~ 1, р).
Вывести отсюда, что „(и)-у+ие+ ... +Ур" + ... и что Йя (и, У) = ея (и) + ея (1 ) — (е„(У) + ея (У))э, откуда, кроме того Г э лд н„(и, у)-и+у-л, ( ~ и, ~ у э=с а с где Л„определено формулой Л. (и, У) = (У+ У)е — ие — Уе, см. гл. 1, $1, упражнение 19, н частности, Йп(и, У) принадлежит Е. ([У, У)) л его однородная комцо р УПРАЖНЕНИЯ 22Т пента степени р равна — Лр(У, У). Имеем Й„(У, У)-Йи(У, У), Йя(У, Йи(У, йг)) Йи(Йя(У, У), йг) в ЕР ((У, У, Щ), где 3' — некоторая третья переменыая. д) Пусть С(У, У) Н( — У.
Н( — У, Н(У, У))) (коммутатор Хаусдорфа). Тогда ехр(С(У, У)) =ехр( — У) ехр( — У) ехр(У) ехр(У). Положим С (У, У) — С(иУ, иУ) 1 Показать, что коэффициенты Си (У, У) прынадлежат мол (использовать то, что Йи (У, У) = Йи (У, У)) '). 2) Известно (6 6, упражнение 3), что если и)2, то компонента ряда Н(У. У) бистепеня (и, !) равна — Ь„(ад У)" (У), где Ь„есть и-е число Бер и! купли.
Вывестн отсюда и нз предложения 1 неравенство ср (Ьиги!) < и)(р — 1), Получить этот результат также при помощи теоремы Клзузеыа — фон Штаудта (Теор. фуикн. действ. изр., гл. У1, й 2, упражнение 6) и показать„что равенство выполняется в том и только том случае, когда 3 (и) = р — 1. 3) Предположим, что К содержит примитивный корень р-й степени из единицы в. Положим и в — 1.
Используя формулу в! — !=и(!+ в+ ... + в' !), показать, что о(в! — 1)=о(и) длн 1~!'т р — ! и что !в — 1 ! ~ ! (вод и). р-! При помощи формулы р=П(в' — 1) вывесты отсюда, что и допустимо 1=! (упражнение 1). Я 4) Пусть с — целое число ) 1 н Р— множество простых чисел, содержащее все простые числа м,с. Пусть Хр — — 8 'Х (6 4, упражнение 16). Показать, что члены степени < с ряда Хаусдорфа Н (У, У) принадлежат Т.
((У, У)). Вывести отсюда, что если 6 — ннльпотентная Хр-алгебра Ли хр класса ~ с, то закон композиции (и, о) ! — ьН (и, е) превращает 3 в нильпотеытную Р-полную группу без Р-кручения, класс нильпотентиости которой не превосходит с. Показать, что, обратно. любая группа, обладающая этими свойствами, может быть получена таким способом. (Использовать формулу обращения Хаусдорфа (см. 5 6, упражнение 4) и доказать, что показатели а(ги) н () (ги), фигурирующие в ыей, принадлежат Х, когда 1(ги) < с.) В частности, любая р-группа порядка р" н класса < р получается при помощи умножения Хаусдорфа из нильпотентной Е-алгебры Лн класса < р, содержащей р" элементов. (Взять за Р множество простых чисел, отлычных от р,) ') Относительно деталей этого упражнения см.
База!6 М., диН. оос. А)а!й. Ргаисе, 1. ХС! (1963), р. 436 — 461. ГЛ. П. СВОБОДНЫЕ АЛ! ЕВРЫ ЛН 228 ДОН. Допояиенне !) Пусть !рл — многочлен деления круга иа и частей (А(я., сЬар. гг, 5 11, п' 2). Используя формулу Х" — 1=па,(Х), а)л показать, что бэл (л) Д (л 1) а(л (Применить формулуобращеиия Мебиуса к мультипликативиой группе поля () (х).) 2) Пусть 0 — расширенная алгебра моиоида Х'(А(а., с)!ар. П1, р, 27), Вели и ен р(*, то через нн обозначим его образ в 1), так что 1н 1 н (лт)и=инто для любых и, л! из Р(' '). Любой элемент Г из 1! единственл ным образом записывается в виде ~ алл", где ил !и К.
л ! а) Пусть ! 2, а„л" — злемент из 1). Показать, что ! обратим в Л тогда л ! и только тогца, когда коэффициент а, обратим в К. В частности, если К вЂ” локальное кольцо, то и 0 локально. О 6) Положим ь= ~ и" и р= 2 р(л) лн. Показать, что ь и и взаимно л=! л=! обратны. Вывести отсюда, что если з= ~ з(и) и" и ! ~ !(л) пн — два элемента из 11, то соотношении э=а! н 1=из эквивалентны (вариант формулы обращения Мебиуса). в) Пусть Р— множество простых чисел. Показать, что семейство элементов (1 — р") при р гн Р мультиплнкативно в 1) и что П П л~р Эшя ') Часто вместо в пишут — з; тогда элементы алгебры 11 иазываютсн формальными рядами Дирихяа с коэффициентами в К. ГЛАВА РЛ ГРУППЫ ЛИ На протяжении всей главы К означает либо нормированное поле И вещественных чисел либо нормированное поле С комплексных чисел, либо ультраметрическое полное недискретное поле.
Начиная с $4, мы предполагаем, что К имеет характеристику О, в $ б — что К = И или С, а в $7 — что К есть ультра- метрическое поле. Если не утверждается противное, все рассматриваемые многообразия, алгебры и векторньче пространства определены над К. Напомним, что когда говорится о многообра-" зии класса С', то т ~ Фх, т. е. т = в, если К чь К, и 1 < т в, если К=И. Соглашения о нормах, нормируемых пространствах и нормированных пространствах — те же, что в Мн. Св. рез. Напомним, что нормируемой алгеброй нэд К называется (не обязательно ассоциативная) алгебра А над К, наделенная топологией У, обладающей следующими свойствами: !) У может быть определена некоторой нормой; 2) отображение (х, у) ху из А Х А в А непрерывно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
