Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В силу Общ. топ., 1969, гл. П!, $4, п' 1, пример 1, группа О собственно и свободно действует в Х правыми сдвигами. Поэтому первое утверждение в (1) следует из предложения 10 и'5. Второе утверждение следует из замечания п'5, Поскольку и — субмерсия, ядро отображения Т„(я) есть касательное пространство в х к я '(п(х)) =хО = у(х)6; 242 ГЛ. !П. ГРУППЫ ЛИ следовательно, оно является образом пространства Т,(6) относительно Т,(у(х)).
Предположим, что 6 нормальна в Х. Пусть т — отображение (х, у)» — ~ ху-> из (Х/6) >», (Х/6) в Х/6. Тогда (т о (и Р, и)) (ху) = = и (ху-'), каковы бы ни были х, у в Х. Следовательно, т ~ (п Х и) аналитична. Поскольку и )4. и — сюръективная иммерсяя, т аналитична (Мн. Св. рез„5.9.5), откуда следует (й), Однородное множество Х/6, наделенное структурой многообразия, определенной в (!), называется (левым) однородным факторпространством Ли группы Х по 6. Аналогичным образом определяется (правое) однородное пространство Ли 6; Х. Когда подгруппа 6 нормальна, факторгруппа Ли Х/6, определенная в (й), называется факгоргруппой Ли группы Х по 6.
Пввдложннив 12. Пусть Х вЂ” группа Ли, У вЂ” непустое аналитическое многообразие, наделенное аналитическим законом левого действия группы Х на У. Для всякого у ен У пусть р(у) — орбитальное отображение, определенное элементом у, и Х„ — стабилизатор элемента у в Х. Следующие условия эквивалентны: (>) существует такой у я У, что р(у) есть сюръективная субмерсия; (!') для всякого уев У отображение р(у) есть сюръекгивная субмерсия; (й) существует уев У, такой, что ХУ есть подгруппа Ли в Х, ' а каноническое отображение из Х/Х„в У есть изоморфизм многообразий; (и') для всякой точки у ен У ее стабилизатор Ху есть подгруппа Ли в Х, а каноническое отображение из Х/Х„ в У есть изоморфизм многообразий; (й!) отображение (х, у) (у, ху) из Х>Г.У в УХУ есть сюрьективная субмерсия.
Поскольку каноническое отображение из Х на Х/Х„ является субмерсией, импликации (1)(=э(й), (!')(=~(!У) очевидны. Имеем (1) ~(У) согласно предложению 9 и' 5. Эквивалентность (У) <=~(й!) следует из формулы (7) п' 5. В условиях предложения 12 говорят, что У есть (левое) однородное пространство Ли группы Х. Аналогичным образом определяется правое однородное пространство Ли группы Х. Пример. Пусть 6 — группа Ли. Определим левое действие группы 6)»,6 на 6, положив (й>, й)х=у>ху '. Пусть р — орбитальное отображение, отвечающее элементу е.
Тогда ограничения отображения Т<„,>(р) на Ты,>(6;к,(е)) = Т,(6) Р,(0) и иа Ты,> ((е) )»',6) = (0) >», Т, (6) суть изоморфизмы этих пространств в $1. ГРУППЫ ЛИ 243 иа Т, (О). Следовательно, Т>,,> (р) сюръективно и Кег Т,,> (р) допускает в качестве топологйческого дополнения в Т>,,> (6 Х 6), например, Т,(0)Х(0). Тем самым р есть субмерсия в (е, е). Поэтому 6 является левым однородным пространством Ли группы 6 Х 6.
ПРвдложинив !3. Пусть 6 — группа Ли, Н вЂ” нормальная подгруппа Ли в 6, Х вЂ” многообразие класса С' и (д, х) ух— закон левого действия группы 0 на Х класса С'. Предположим, что условия а) и б) предложения 1О выполнены. (1) Закон левого действия (/>, х) />х группы Н на Х удовлетворяет условиям а) и б) предложения 10 (так что можно рассматривать фактормногообразия Х/6 и Х/Н). (1!) Закон левого действия группы 6 на Х определяет при переходе к факторам закон левого действия группы О/Н на Х/Н. класса С', этот закон удовлетворяет условиям а) и б) предложения 10 (так что можно рассматривать фактормногообраэие (Х/Н)/(О/Н)).
(ш) Каноническое отображение из Х на Х/Н определяет при переходе к факторам биекцию из Х/6 на (Х/Н)/(6!/Н). Зта биекция есть изоморфизм многообразий класса С'. Ясно, что группа Н действует на Х свободно, она дей. ствует собственно в силу Оби(. топ., 1969, гл. 1П, $ 4, и' 1, пример 1. Орбитальные отображения из Н в Х суть иммерсин, поскольку каноническое вложение группы Н в 0 есть нммерсия. Это доказывает (!).
Закон действия группы 0 на Х определяет, очевидно, при переходе к факторам закон левого действия группы 6/Н на Х/Н, Этот закон принадлежит классу С' в силу Мн, Св. рез., 5.9.6. Пусть вен 6 и хеи Х таковы, что (Нд)(Нх) =Нх; тогда Н(йх)= = Нх и, стало быть, дхеи Нх и у си Н; это доказывает, что О/Н действует на Х/Н свободно. Отображение 6: (у, х) ~(х, дх) из 6 Х Х в Х Х Х замкнуто; с другой стороны, В(НиХ Нх) = = НхХ Н(дх); отсюда сразу вытекает, что отображение (НИ, Нх) ~(Нх, Н(ух)) из (6/Н)Х(Х/Н) в (Х/Н)Х(Х/Н) замкнуто; поскольку к тому же 6/Н действует на Х/Н свободно, теорема !с) из Оби). топ., 1969., гл. 1, $10, и'2, показывает, что О/Н действует на Х/Н собственно.
Пусть я — каноническое отображение из Х на Х/Н, о — каноническое отображение из 6 на О/Н, х чи Х и у =п(х): 6 — ~- Х Р >л> ь~ ~я 6/Н вЂ” Х/Н Р >У> Гл. иь. ГРуппы ли Тогда пор(х) =р(у)аа; поэтому Т (п)о Т,(р(х)) = Т,(р(у)) о Т,(о). Пусть элемент иенТ,(6/Н) таков, что Т,(р(у))и=О. Сушествует такой элемент о еи Т, (6), что и = Т, (а) о.
Тогда (Т„(и))(Т,(р(х))о) = О, стало быть, вектор Т,(р(х)) о касателен к Нх (Мн. Св. рез., 5.10.5), и потому он имеет вид Т,(р(х)~ Н) о' при некотором о'ен Т,(Н). Поскольку Т,(р(х)) инъективно, отсюда следует, что о=о', а потому о~Т,(Н) и, стало быть, и = О. Таким образом, Т,(р(у)) ннъективно. Образ отображения Т,(р(у)) равен образу отображения Т„(п)~Т,(р(х)); но образ отображения Т, (и (х)) допускает топологическое дополнение в Т,(Х) и содержит ядро отображения Т„(и). Мы видим, таким образом, что р(у) есть иммерсия, что завершает доказательство утверждения (й).
Утверждение (ш) вытекает из сказанного выше и из Мн. Св. рез„5.9.7. Следствия. Пусть 6 — группа Ли, Н и Š— нормальные подгруппы Ли в 6, причем Е ~ Н. Тогда Н/А есть нормальная подгруппа Ли в 6/Е и каноническая биекция из 6/Н на (6/Е)/(Н/Ц есть изоморфиэм групп Ли. 7. Орбиты Пввдложвнив 14. Пусть Π— группа Ли, Х вЂ” аналитическое многообразие и (д, х) дх — закон левого аналитического действия группы О на Х. Пусть х ен Х.
Предположим, что отвечающее ему орбитальное отображенае р(х) субиммерсивно (это всегда так„если характеристика поля К равна 0 и Х конечно- мерно (следствие предложения 9)). Пусть 6„— стабилизатор элемента х в О. (1) О„есть подгруппа Ли и Т, (6„) = Кег Т,(р (х)). (11) Каноническое отображение /„ однородного пространства 6/6, в Х есть иммерсия с образом Ох. (1п) Если к тому же орбита 6х локально замкнута и топология группы 6 допускает счетный базис, то Ох есть падмногообразие в Х, ?„есть иэоморфизм многообразия 6/О„на многообразие Ох и Т„(Ох) =1тТ,(р(х)). Прообраз элемента х относительно р(х) есть 6,.
Поскольку р (х) — субиммерсия, О, — подмногообразие, и для всякого д~ 6 касательное пространство ? к подмногообразию дО,= = р (х) ~ (дх) в д есть Кег Т (р(х)) (Мн. Св. рез., 5.10.5), откуда следует (1). Пусть и: 6- 6/6„— каноническое отображение. Тогда 1,~и= р(х). Поскольку 6/6„есть фактормногообразие многообразия 6, это равенство доказывает аналитичность ото- з 4 ь ГРУппы ли 24Ь бражения 1„.
Более того, ядра отображений Та(р(х)) и Те(п), оба равны У. Стало быть, Т„)е)(1„) инъективно. Образ отобра- жениЯ Т„1е1(г„) Равен обРазУ отобРажениЯ Та(Р(х)) и, следовательно, допускает топологическое дополнение. Это доказывает (И). Предположим, что Ох локально замкнуто. Всякая точка из Ох обладает тогда окрестностью в Ох, гомеоморфной замкнутому подпространству некоторого полного метрического пространства, которое является, следовательно, пространством Бэра. Стало быть, Ох есть бэровское пространство (Оби(. топ., гл.
1Х, $5, предложение 4). Если 6 имеет счетный базис, г„естьч следовательно, гомеоморфизм из 6/6„на Ох (Оби(, топ., гл. 1Х, $5). Тогда в силу (Б) и Мн. Св. рез., 5.8.3, г„является изоморфизмом многообразии 6/6 на многообразие 6х и Т„(6х) = 1т Т„ы1 (1,) =1т Т, (р (х)). Замечание. Пусть й — конечномериая группа Ли, Х вЂ” многообразие класса Сг и (д, х)»-»Ех — зекои левого деастиия группы о на Х класса Сг. Тогда предложение 14 остается справедливым. Единстзеияое место, требующее иного доказательства,— зто тот факт, что йх есть подгруппа Ли.
Но если г Ф е, то К=К; поскольку замкнутость. почгруппы б„очеаидна, йх есть подгруппа Ли н силу теоремы 2 4 3. Слвдствив. Пусть 6 — группа Ли, топология которой допускает счетный базис, Х вЂ” непустое конечномерное аналитическое многообразие, наделенное законом левого аналитического действия группы 6 на Х. Предположим, что 6 действует на Х транзитивно и К имеет характеристику О. Тогда Х есть одно-- родное пространство Ли группы 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
