Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пусть х ен Х. Орбита точки х совпадает с Х и потому замкнута; можно, следовательно, применить предложение 14 (ш). 8. Векторные расслоения с операторами Пусть 6 — группа Ли, Х вЂ” многообразие класса С" и (д, х)» ух — закон левого действия группы 6 на Х класса С'. Пусть Š— векторное расслоение класса С' с базой Х и и: Е- Х его проекция на Х. Для всякого хан Х пусть ń— слой расслоения Е в х. Пусть (у, и) м ди — закон левого действия группы 6 на Е, такой, что и перестановочна с действиями группы 6 иа Х и Е. Для любого дан 6 и любого хан Х ограничение на Е„отображения и»-иди есть биекция фи „из Е„ на Е „.
Мы предположим, что для всех у~6 и всех х~Х отображение ф „линейно и непрерывно и, стало быть, является изоморфизмом нормируемого пространства Е на нормируемое. пространство Е „, »46 ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ Пусть <р — автоморфизм (д, х)» (д, ях) многообразия 6 Х Х. Пусть р —. каноническое проектирование произведения 6 )4', Х на Х и Е' — обратный образ расслоения Е относительно р. Пусть 4Р! Е'-»Е' — отображение, определяемое совокупностью отображений ф»,»: Е!»„,>-+Е!», »»!. Опгвднлвнив 4. Если ф есть ф-морфием векторных расслоений класса С', говорят, что Е есть векторное 0-расслоение класса С'. Другими словами, Е есть векторное 0-расслоение класса С', если для любой пары (дь, хь) ~ О)( Х выполняется следующее условие: существует открытая окрестность (7 элемента (оь, хь) в О)!', Х, такая, что если отождествить Е'~(7 (соотв.
Е'~!р(11)) с тривиальным векторным расслоением со слоем М (соотв. У) с помощью некоторой векторной карты, то отображение (д, х) $ „из 6 в .У(М, У) принадлежит классу С". Отображение ф, очевидно, биективно, и из сформулированного выше локального критерия следует, что $-! является ф-'-морфизмом векторных расслоений, так что 4р есть ф-изоморфизм векторных расслоений. Тривиальным векторным 0-расслоением с базой Х называется векторное расслоение ХХ Р (где Р— полное нормируемое пространство), наделенное законом действия (к, (х, !))»-» (дх, 1) группы 6 на ХХ Р. Возвратимся к предположениям и обозначениям, предшествовавшим определению 4, и пусть, кроме того, т — векторный функтор класса С' для изоморфизмов (Мн. Св. рез., 7.6.6).
Тогда тЕ есть векторное расслоение с базой. Х. Для всякого х ен Х его слой (»Е)„совпадает с т(Е„). Каковы бы ни были нормируемые пространства У,, У», обозначим через Ьот(У„У») множество изоморфизмов из У, на У,. Если яен 6, то т(4Р», „) ~ Ьош((»Е)„, (тЕ),„). Совокупность отображений т (ф». „) определяет закон левого действия (я, и)! — » ди группы 6 на тЕ, и каноническая проекция расслоения тЕ на Х перестановочна с действиями группы 6 наХинатЕ.
ПРадложвнив 15. Если Š— векторное 0-расслоение класса С', то тЕ есть векторное 0-расслоение класса С'. Пусть дь, хь, (7, М, У вЂ” те же, что в тексте, следующем за определением 4. Тогда отображение (д, х)»т(ф„,„) из 0 в 5.'(тМ, тУ) является композицией отображения (й, х) » ф из 0 в й»(М, У) н отображения ! т (~) нз Ьош (М, У) в 1зогп(тМ, тУ); эти два отображения принадлежат классу С', нх композиция, следовательно, тоже принадлежит классу С', откуда следует $ с ГРуппы ли й4Т Пгедложение 16.
Пусть 6 — группа Ли, Х вЂ” многообразие класса С'(г) 2) и (й, х)1-~ дх — закон левого действия группы 0 на Х класса С'. Этот закон опоеделяет посредством переноса структуры закон левого действия 0 на ТХ, относительно которого ТХ есть векторное 6-расслоение класса С Пусть рг, (соотв. рг,) — каноническая проекция из 6 к, Х на 6 (соотв. Х), и пусть Е, (соотв. Е,) — обратный образ расслоения ТО (соотв.
ТХ) относительно рг, (соотв. ргг). Тогда векторное расслоение Т(6 к', Х) есть прямая сумма расслоений Е, и Е,. Пусть Е Е, — Т(6 и', Х) и д: Т(6 к, Х) — Е, — канонические морфизмы векторных расслоений, определенные этим разложением в прямую сумму, и ф — отображение (й, х)Р†~ (й, йх) из 6;к', Х в 0 Р', Х.
Тогда отображение„ которое обозначалось в опре„- делении 4 через ф (при этом надо положить Е= ТХ), есть не что. иное, как до Т(ф) о4'. Но Т(ф) есть ф-морфизм векторных расслоений класса С' 1 (Мн. Св. рез., 8.1,2). Следствие. Если т — векторный функтор класса С' для изоморфизмов, то т(ТХ) есть векторное 0-расслоение класса С Это вытекает из предложений 16 и 16. Замечание 1. Если т — векторный функтор класса С' в конечной размерности для изоморфизмов и Е имеет конечный ранг, то тЕ определяется тем же образом и остается справедливым предложение 15; следствие предложения 16 остается справедливым, коль скоро Х имеет конечную размерность. Примеры. Примем вновь предположения и обозначения предложения !6, и пусть Р†нормируем полное пространство.
Тогда .У ((ТХ)Р; Р) есть векторное 6-расслоение класса С , то же самое верно для А((Р(ТХ; г), если К имеет характеристику О или если Х конечномерно (см. Мн. Св, рез., 7,7, 7.8). Если Х Р конечномерно, то (и",)(ТХ) йр ф)(ТХ)* есть векторное 6-расслоеиие класса С .1. Пгедложение 17. Пусть 0 — группа Ли, Х вЂ” ее левое однородное пространство,7и, хь — точка в Х, Оь — ее стабилизатор.
в 6, Е и Е' — левые векторные О-расслоения класса С' с базой Х, Еь (соотв. Ео) — слой в точке хь расслоения Е (соотв. Е'), 1' — элемент из .У(ЕГь Еь), такой, что 1(йи) = — Д(и) длЯ всех и ~Ее и всех й ен Оы Тогда существует один, и только один, морфизм из Е' в Е', перестановочный с действием группы 6 и продолжающий 1'. Единственность этого морфизма очевидна. Докажем его существование. Пусть й, д'ен 6 и и ен Еь таковы, что йи =д'и. Тогда й'-18~0, и я'-1йи= и и, стало быть, й' 187(и) =7(и)' ГЛ. !П. ГРУППЫ ЛИ т. е. й((и) = д'~(и). Таким образом, мы определим отображение ф нз Е в Е.', положив ф(ди) = ф (и).
Ясно, что зто отображение продолжает 1 н что оно перестановочно с действиями группы О. Покажем, что гр есть морфнзм векторных расслоений класса С'. Пусть х, ~ Х. Существуют открытая окрестность У точки х, в Х и подмногообразне йт в О, такие, что отображение д! — ьйхо является нзоморфнзмом 0 класса С' нз йт на У. Уменьшив У н В', можно предполагать, что: 1) Е!У (соотв.
Е'! У) отождествляется с тривиальным векторным рассло.наем со слоем М (соотв. М'); 2) если через ф (соотв. ф') обозначено отображение и аи нз Ео (соотв. Ео) в Е „(соотв Е'„), то отображения д; ф н и мер ' (соотв. у эзр' н я ~ф' ') на%' в У(Ео, М) н в Р(М, Ео) (соотв. У(Ео, М') н У(М', Ео)) прннадлежат классу С'. Для хин )) обозначим через ф,: М-+М' ограничение отображения ф на Е„=" М.
Тогда ф, получается компознцней следующих отображений: 1) отображения (фо ! ) ' нз М в Е; 2) отображения ! нз Ео в Ео', 3) отображения зр' !, нз Е' в М'. Мы видим, таким образом, что отображение х !-ь ф„нз в У(М, М)) принадлежит классу С'.
Слвдствнз 1. Пусть Еа" — множество элементов из Ео, инвариантных относительно Оо. Длл произвольного ие:— .Ео' пусть «г„— отображение из Х в Е, определенное равенством а„(ихо) = ди для всякого ды 6. (!) О-инвариантные сечения ') расслоения Е принадлежат классу С'. (й) и ма„есть биекиия из Ео'на множество 6-инвариантных сечений расслоения Е. Утверждение (й) очевидно. Для доказательства утверждення (!) достаточно проверить, что любое сечение а„прннадлежнт классу С'.
Пусть Е' — тривиальное векторное 6-расслоенне с базой Х н слоем Ео'. Пусть )' — каноническая инъекция слоя Е,"' в Ео. В силу предложения 17 существует морфнзм ф нз Е' в Е, перестановочный с действием О и продолжающий !. Если и ен Е~о н д ен О, то а.(йх) =йи=й1( ) =ф(уи) =ф((и, йх.)) ') Мы называем здесь сечением расслоения с отобран!ение о (ие обязательно класса С') из Х в Е, такое, что ряс =1б, где р обозначает проектик' рование из Е на Х.
я $ ь ГРупПЫ ли 249 и, следовательно, о„(х) =~р((и, х)) для всякого хенХ, что доказывает наше утверждение. * Например, пусть Π— вещественная конечномерная группа Ли, О, — компактная подгруппа Ли в О и Х вЂ” однородное пространство- О/Ое. Обозначим через ле канонический образ злемента е в Х. Существует билинейная симметрическая положительная невмрожденная орма на Тк,(Х), инвариантная относительно Оз (Илтегр„ гл. НП, 3, предложение 1).
Применив вышеизложенное к (ТХ)'гк)(ТХ), мм видим, что на Х существует аналитическая риманова метрика, инвариаитная относительно О, ° Слндствив 2. Предположим, что 6, тривиально действует на Е,. Пусть Š— тривиальное 6-расслоение с базой Х и слоем Е,. Существует один, и только один, изоморфизм из Е на Е', перестановочный с действием группы 6 и продолжающий Ые„ Это сразу следует из предложения 17. Замечание 2.
В этом пункте можно всюду заменить левые законы действия на правые. У. Локальное определение групмы Ли ПРндложннин 18. Пусть 6 — группа, П и У вЂ” два подмножества в 6, содержащие е. Предположим, что 0 наделено структурой аналитического многообразия, удовлетворяющей следующим условиям: (1)У=У ~, Ут~П,У открыто в П) (В) отображение (х, у) ху ' из Ук, У в П аналитична; (гп) для всякого дан 6 сущес~вует открытая окрестность У) элемента е в У, такая, что дУ'д ' с: П и отображение х эдхц — ' из У' в П аналитична. Тогда на 6 существует одна, и только одна, структура аналитического многообразия, обладающая следующими свойствами: а) 6, наделенная этой структурой, есть группи Ли; р) У открыто в 6; т) стРУктУРы многообразия на 6 и П индуг(ируют одну и гу же структуру на У.
а) Пусть А, открытое подмножество в У, и ое, элемент нз У, таковы, что озА с: У. Тогда оеА есть множество таких о ен У, что о, 'о ан А, и потому оно открыто в У (следует принять во внимание (В)). Кроме того, из (В) следует, что отображения о ь о, о из А на о А и о э о ' о из о А на А являются взаимно обратными аналитическими биекцнями и потому аналитическими изоморфнзмамн. б) Выберем открытую окрестность 1(У элемента е в У, такую, что ))т= 1(Т ', 1)узс: У и существует карта (Ф',<р', Е) на много- 250 Гл. пь ГРупПы ли образин У с областью определения (Р'. Для всякого у ен О обозначим через фг отображение й ф(д ' й) из дйт в Е. Покажем, что карты фг на 0 аналитически согласованы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
