Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Этот изоморфизм согласуется с их структурами векторных расслоений с базой Х Х у и позволяет отождествить Т (Х Х у) с Т(Х) Х Т (У). Пусть а я Х, Ь я у, и я Т,(Х), оен Т,()'); предыдущее отождествление позволяет рассматривать (и, о) как элемент из Т(,ы(ХХ у); имеем (и, о) = (и, 0) + (О, о), и (и, 0) (соотв. (О, о)) есть образ вектора и (соотв. о) относительно отображения, касательного к иммерсии х з (х, Ь) (соотв. у (а, у)) из Х (соотв. У) в ХХ У. Ьйы будем обозначать через О, нулевой элемент из Т,(Х) (если необходимо указать явно а). Пусть теперь Х, У, Х вЂ” многообразия класса С' и 1 — отображение класса С" из Х Х У в 2. С учетом предыдущего отождествления касательное отображение является отображе- ') дла г = 1 зто означает, что (Т (рг,), Т (рггу) есть гомеоморфизм из Т (Х Х Т) иа Т(Х) Х Т (Т).
» ь Е ГРУППА ВЕКТОРОВ, КАСАТЕЛЬНЫХ К ГРУППЕ ЛН 259 нием класса С' из Т (Х) Х Т (У) в Т (Я). Для и еи Т, (Х) н оенТь(У) Т(»)(и, о)=Т())(и, Оь)+Т(»)(0„, о), (1) Т ()) (Од, Оь) = О» <а, ь». (2) С другой стороны, отображение у» ) (а, у) есть композиция иммерсии у Р(а, у) и отображения»; отсюда вытекает, что Т(1)(0, о) есть образ вектора о при отображении, касательном к у~-Р~(а, у). Аналогично Т(1)(и, 0) есть образ вектора и при отображении, касательном к х»(х, »»). (4) Если отображение» из ХХУ в Х обозначено через (х,у) эху, то через ио часто обозначается элемент Т(») (и, о) для и еи Т(Х), о ~ Т()Г), Пусть Х вЂ” многообразие класса С' и т: Х Х Х- Х вЂ” закон композиции класса С на Х. Тогда Т(т) есть закон композиции класса С на Т(Х), Он называется законом композиции, касательныл» к т.
Каноническая проекция р из Т(Х) на Х согласована с законами т и Т(т); другими словами, рд Т(т) = — тд (р)~ р). (5) Из (2) следует, что Т(т)(0„, 0„) =О,„„», (б) каковы бы нн были х, у в Х; другими словами, нулевое сечение хь-РО„расслоения Т(Х) согласовано с законами т и Т(т). П~едложение 1. Пусть Х вЂ” многообразие класса С' и т — закон композиции класса С' на Х. Если т ассоциативен (соотв. коммутагивен), Го Т(т) ассоциативен (соотв. коммутативен). Если т ассоциативен, то т ° (т Х!дх) = т д (1дх Х т), откуда Т (т) .
(Т (т) Х 14»»х») = Т (т) а (1 4г»х» Х Т (т)) и, следовательно, Т(т) ассоциативен. Пусть з — отображение (х, у)» †Р(у, х) произведения Х Р', Х в Х Х Х. Если т коммутативен, то т аз = т и потому Т(т) д Т(з) = Т(т). Но Т(з) есть отображение (и, о) Р (о, и) из Т (Х) Х Т (Х) в Т(Х) Х Т(Х). Стало быть, Т(т) коммутативен. ГЛ. П1. ГРУППЫ ЛИ 260 Пгвдложвнив 2. Пусть Х вЂ” многообразие класса С', т — закон композиции класса С' на Х, е — единичный элемент для т.
(1) Вектор О, есть единичный элемент для Т(п!). (11) Т, (Х) устойчиво относительно Т (пз), и закон композиции, индуцированный на Т,(Х) законом Т (и!), является операцией сложения в векторном пространстве Т,(Х). (ш) Пусть 6 — открытое подмножество в Х и а — отображение класса С из 6 в Х, такое, что для всякого к~6 элемент а(х) обратен к х относительно гп. Тогда для всякого и ~ Т(6) элемент Т(а)и есть обратный элемент к и относительно Т(тп).
Свойства (3) и (4) показывают, что Т (пт) (О„и)=Т (1п) (и, 0,)=и для всякого и ~ т(Х), откуда следует (1). Для и, о из Т,(Х) Т (т) (и, о) = Т (!и) (и, 0,) + Т (т) (О„о) = и + о, откуда следует (й). Наконец, соотношения т(х, а(х)) = =!п(а(х), х) =е для всех х~ 6 влекут за собой Т(т)(и, Т(а)(и)) = Т(тп) (Т(а) и, и) =О, для любого и ~ Т(6), откуда следует (ш). Пгндложвннн 3. Пусть Х„Хм ..., Х, У вЂ” многообразия класса С', ! — целое число из (1, р), пц (соотв. и) — закон композиции класса С' на Х, (соотв.
У), и — отображение класса С' из Х1Х Х1Х ... Х Хр в У. Если и дистрибутивно по отношению к переменной с индексом 1, то Т(и) дистрибутивно по отношению к переменной с индексом Доказательство аналогично доказательству предложения 1. 2. Труппа касательных векторов к группе Ли Пгвдложвнив 4. Пусть 6 — группа Ли. Тогда многообразие Т (6), наделенное законом композиции, касательным к закону умножения в 6, есть группа Ли.
Единичным элементом в Т(6) является вектор О,. Это следует из предложений 1 и 2. ПРвдложннин 5. Пусть 6 и Н вЂ” группы Ли, ! — морфизм из 6 в Н. Тогда Т(!') есть морфием группы Ли Т(6) в группу Ли Т(Н). Известно, что Тф аналитично. С другой стороны, пусть т (соотв. и) — умножение в 6 (соотв.
Н). Имеем 1от = по()Х1), откудт следует равенство Т (1) о Т (и) = Т (и) о (Т (1) Х Т (1)), выражающее тот факт, что Т(1) — гомоморфизм групп з % 3. ГРУППА ВЕКТОРОВ, КАСАТЕЛЬНЫХ К ГРУППЕ ЛИ ЕЕ1 Следствие. Пусть 6„..., ΄— группы Ли. Канонический изоморфизм многообразия Т (6, Х ... Х 0„) на многообразие Т(0,) к, ... ХТ(6„) есть изоморфизм групп Ли. В самом деле, рг» есть морфизм из 6, к, ... Х б„в Об стало быть, Т(рг,) есть морфизм из Т(6, .»»', ...,'Н,О„) в Т(6»). Предложение 6. Пусть Π— группа Ли. (1) Каноническая проекция р: Т (6) — ь 6 есть морфизм групп Ли.
(В) Ядром проекции р служит Т,(0). Это — подгруппа Ли в Т(6). Структура группы Ли, индуцированная на Т,(б) структурой группы Ли Т(6), совпадает со структурой группы Ли нормируемого полного пространства Т,(6). (111) Нулевое сечение з есть изоморфизм группьс Ли 6 на подгруппу Ли з(6) в Т(6) (эта подгруппа отождествляется с 6).
(1ч) Группа,/7и Т (6) есть полупрямое произведение подгруппы О ма Т,(6). Утверждение (1) следует из (5). Утверждение (й) очевидно, если принять во внимание предложение 2 (В). Утверждения (ш) и (Гч) вытекают из (6) и из предложения 8 $1. Ч. Т. Д. Пусть иен Т(6) и дуб. В силу (3) и (4) произведения ий, яи, вычисленные в группе Т(6), суть образы элемента и относительно Т(б(д ')), Т(у(й)) соответственно. Из следствия 2 предложения 17 5 1 вытекает, что отображение (й, и) -: ди из 0;к, Т,(0) в Т (6) есть изоморфизм тривиального векторного расслоения 6 к, Т, (6) с базой 6 на векторное расслоение Т (01, Обратный ивом орфизм называется левой грив иализацией расслоения Т (6).
Рассматривая отображение (д, и)»-» ий, точно так же определяем правую тривиализацию расслоения Т(6). ПРедложение 7. Пусть 0 — группа Ли, М вЂ” многообразие класса С, ) и й — отображения класса С' из М в О и, стало .быть, ~й — отображение класса С' из М в 6. Пусть те= М, х=7(Гп), у=я(т), ие— : Т (М). Имеем Т (~й) и = Т ф и . у + х .
Т (д) и. Пусть Гп — умножение в 6. Тогда )а=та ° (), и). Но Т(1, й)(и) =(Т(1)и, Т(д) и) н, следовательно, Т(~д) и = Т()) и. Т(д) и. Достаточно теперь применить (1), где 1 заменено на и. Следствие. Пусть и ее Е. Отображение, касательное в е к отображению й» вЂ” Рд" из 6 в О, есть отображение х Рпх мз Т,(0) в Т,(0). 262 ГЛ. 1П. ГРУППЫ ЛИ Для п)0 это доказывается индукцией по п с помощью предложения 7. С другой стороны, касательное отображение к отображению д»-»у ' в точке е есть отображение х» — к (и' 1, предложение 2). Пусть 6 — группа Ли, Х вЂ” многообразие класса С' и (д, х)»-» »-» дх — закон левого действия класса С' группы 6 на Х. Рассуждая, как в предложении 1, получаем отсюда закон левого действия класса С~ группы Т(6) на Т(Х), который.. обозначим также через (и, о)»ио.
Отождествляя 6 (соотв. Хг с образом нулевого сечения расслоения Т (6) (соотв. Т (Х)), мы видим, согласно (6), что закон левого действия группы Т(6) на Т(Х) является продолжением закона левого действия группы6 на Х. Каковы бы ни были ия Тг(6) и вен Т„(Х), получаем в силу (1) ио = до + их.
(7) Если дси6 и оен Т„(Х), то до есть, согласно (3), образ эле- мента о относительно отображения, касательного к отображе- нию у»-» ду из Х в Х в точке х. Это касательное отображение есть изоморфизм из Т„(Х) на Т „(Х). В частности, д(о+ о') = до + до', д(Ло) = Л (до) для о, о' из Т„(Х), Лен К. (8Г Если лен Х и иен Те(6), то их есть в силу (4) образ эле- мента и относительно отображения, касательного в д к отобра- жению й»-»йх из 6 в Х. Следовательно, (и + и') х = их + и'х, (Ли) х = Л (их) для и, и' ен Те (6), Лен К. (9) Изложенное выше применяется в случае, когда группа Ли 6 действует сама на себе левыми (соотв. правыми) сдвигами. Соответствующий закон действия группы Т(6) на Т(6) опре- деляется левыми (соотв. правыми) сдвигами группы Ли Т(6) Формулы (7), (8), (9), таким образом, справедливы в Т(6).
ПРвдложннив 8. Пусть 6, и 6, — группы Ли, Х, и Х, — много- образия класса С', 7~ — закон левого действия класса С' группы 6с на Х~ (1= 1, 2). Пусть ф — морфизм из 6, в 6,, ф — некоторый ф-морфизм из Х, в Х,. Тогда Т(ф) есть Т(ф)-морфизм из Т(Х,) Т(Х ). Действительно, ~,»(файф) =ф»г„откуда Т(1,).(Т(ф) Х Т(ф)) =Т(ф).Т(7,). Пусть 6 — группа Ли, Х вЂ” многообразие класса С' и. (д, х)»-»дх — закон левого действия класса С' группы 6 на Х. Пусть 1 — открытое подмножество в К, содержащее О, и Лп 1 — »6 — такое отображение класса С', что у(0) =е. Пусть. а= Т,(у)! ен Т,(6) и хенХ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
