Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Положим а(1) т= 1тГ для 1еи Е и т я М. Тогда а удовлетворяет условию предложения 7. Следовательно, можно образовать группу Ли 5, которая представляет собой полупрямое произведение группы Ли Ь на группу Ли М относительно а. Отображение 1: (т, 1) т1 из Е на 6 аналитична и является изоморфизмом групп. Если 1 есть изоморфизм групп Ли, говорят, что группа Ли О есть (внутреннее) полупрямое произведение подгруппы Ли Е на подгруппу Ли М, и отождествляют Е с 6. Для всякого дя 6 напишем у= р(д)д(д), где р(д) с= М и д(д) с= Е. Группа Ли 6 является полупрямым произведением подгруппы Ли Е на подгруппу Ли М тогда и только тогда, когда хотя бы одно из отображений р: 6-+ М и д: 6 -+ Е аналитична, в этом случае аналитическим будет и второе отображение. Другим необходимым и достаточным условием является требование, чтобы Т,(6) было топологической прямой суммой пространств Т,(М) и Т,(Ь) (ибо если это условие выполнено, отображение 1 зтально в точке ез.) Пример.
Пусть Š— нормируемое пространство, О = 61.(Е), Т вЂ” группа переносов пространства Е, А — группа преобразова- ГЛ. П1. ГРУППЫ ЛИ ний пространства Е, порожденная группами 0 и Т. Группа А есть алгебраическое полупрямое произведение группы 0 на группу Т. (Если Е конечномерно, то А есть аффинная группа пространства Е, см. А1д., сЬар, !! р. 131')). Пусть в — тождественное линейное представление группы 6 в Е н 3 — внешнее полупрямое произведение группы 6 на группу Е относительно о.
Для всякого х еп Е пусть 1„ — перенос в Е, определенный элементом х. ОтобРажение (х, и) «1а аи есть изомоРфизм 1Р гРУппы 3 иа группу А. Отображение (х, и)«а(и)х=и(х) из ЕХЮ(Е) в Е билинейно и непрерывно и, стало быть, аналитична; его ограничение на ЕХО поэтому аналитично. Таким образом, группа 3, наделенная структурой произведения многообразий Е и О, есть группа Ли. Перенесем эту структуру на А с помощью Ф. Тогда А становится группой Ли, являющейся внутренним полупрямым произведением подгруппы Ли 0 на подгруппу Ли Т. Првдложкнив 8.
Луста 6 и Н вЂ” группы Ли, р: О-«Н и ж Н-«О такие морфизмы групп Ли, что ро я = Ын и М =Кегр. Тогда М есть подгруппа Ли в 6, я есть изоморфизм из Н на некоторую подгруппу Ли в 6 и группа Ли О представляет собой внутреннее полупрямое произведение подгруппы Ли я (Н) на подгруппу Ли М.
Имеем Т,(р) оТ, (я) = 1дт 1н), следовательно р (соотв. я) есть субмерсия (соотв. иммерсия). В силу Мн. Св. рез., 5.10.5, М есть подгруппа Лн в 6. С другой стороны, я является гомеоморфнзмом из Н иа я(Н) н, стало быть, я есть нзоморфизм из Н на некоторую подгруппу Ли в О (Мн. Св. рез., 5.8.3). Наконец, для всякого дяО имеем у=(я ° р)(д) и с пни М; поскольку вор аналитнчно, группа Ли 6 является полупрямым произведением подгруппы Ли я(Н) на подгруппу Ли М. б.
Фактормногообразия по группе Ли Пусть 6 — группа Ли, Х вЂ” многообразие класса С' и (д, х) «-«ух — закон левого действия (А1д., сЬар. !, р. 49) ') класса С' группы 6 на Х. Для всякого д ~ 0 обозначим через т(д) автоморфизм х «дх многообразия Х, определенный элементом у. Для всякого хепХ обозначим через р(х) орбитальное отображение д дх из О в Х, определенное элементом х. Имеем: р (х) = р (дх) о Ь (д), р (х) = т (д) е р (х) с у (у ')„(3) ') Си. также Алг., прил.
Н, и' 4, стр. 3!3. — Прим. Ргд. ') В терминологии Алг., гл. 1, — внешний закон композиции с областью операторов П. — Прим. нерее. а Ф ь и кипы лн тзв каковы бы ни были уенб и ля Х. Следовательно, Т (р(х)) = Т,(р(дх)) е Тг(б(у)), Тг(р (х)) = Т„(т(д)) о Т, (р (х)) о Тг(у (д-')). Првдложвнив 9. Пусть хан Х и нов 6. (!) Если р(х) есть иммерсия (соотв. субмерсия, субиммерсия) в йо, то для всякого де=6 отображение р(ах) есть иммерсия (соотв. субмерсия, субиммерсия), (!!) Если ранг отображения р(х) в уо равен й, то для всякого д ~ б отображение р (дх) имеет постоянный ранг, равный й. Это сразу следует из формул (4) и (5), поскольку Те(5(и)), Т„(т(д)), Тг(у(д-')) суть изоморфизмы.
Следствие. Пусть х ~ Х. Если характеристика поля К равна 0 и Х конечномерно, то р(х) есть субиммерсия. Если к тому же р(х) инъективно, то р(х) есть иммерсия. Это следует из предложения 9 и Мн. Св. рез., 5.!0.0. Заметим, что если т! означает отображение (у, х) з ух из бэ," Х в Х, то для ден б, хя Х, и я Тг(6), вен Т„(Х) Т1, .1(ц)(и, о) =Т1,,а1())(и, 0) + Т1г,.1())(0, о). т. е Т 1а, „! (ч)) (и, о) = Тг (р (х)) и + Т„(т (д)) о.
(б) Првдложвнив (О. Пусть 6 — группа зуи, Х вЂ” многообразие класса-С', и задан закон левого действия класса С' группы 6 на Х. Предположим, что: а) группа 6 действует на Х собственно и свободно; б) для всякого хе= Х отображение р(х) есть иммерсия (что вытекает из а), если К имеет характеристику 0 и Х конечно- мерно.
Тогда отношение эквивалентности в Х, определенное действием группы б, регулярно (Мн. Св. рез., 5.9.5). На фактормножестве Х/б существует одна и только одна структура многообразия, такая, что каноническое отображение ги Х-«Х/6 является субмерсией. Топология, лежащая ниже этой структуры многообразия, есть фактортопология соответствующей топологии на Х, она отделима. Наконец, (Х, 6, Х/6, и) есть левое главное расслоение').
Пусть 0 — отображение (д, х) «(х, ух) из б;к',Х в ХХХ. Это отображение принадлежит классу С'. Покажем, что это ') Главные расслоення, определенные в э1н. Са. рез., Зйп!, суть правые главные расслоении. Определение левых главных расслоений получается очевндным образом. 240 ГЛ. !П. ГРУППЫ ЛИ иммерсия. Для и си Т (О) и вен Т„(Х) имеем, согласно (6), Т! „>(8)(и, о) =(о, Т (р(х))и+ Т„(т(в))о).
(7) Но Те(р(х)) инъективно по предположению б), поэтому отображение Т! „>(О) инъективно. Его образ является прямой топологической суммой подпространства Не „, образованного векторами (о, Т„(т(я))о) для вен Т„(Х), и подпространства /,„= ~(0) ХТ (р(х))(Т (О)). В силу предположения б) Т (р(х))(Т (0)) допускает топологическое дополнение /е „ в Т „(Х). Следовательно, образ отображения Т>,„>(0) допускает топологическое дополнение (О) Х /е,„. Тем самым мы полностью доказали, что 0 есть иммерсия из 6 Х Х в ХХ Х. Поскольку 0 действует на Х свободно, 8 инъективно. Пусть С вЂ” график отношения эквивалентности />> в Х, определенного действием группы О. Поскольку 6 действует собственно, 8 есть томеоморфизм из 0 ХХ на С (Оби(. топ., 1969, гл. 1, $10, предложение 2).
В силу Мн. Св. рез,, 5.8.3, С вЂ” подмногообразие в ХХХ и 0 — изоморфизм многообразия ОХХ на многообразие С. Касательное пространство Т>„„,(С) отождествляется с Т>, „> (О) (Т, „(О Х Х)) = Н,,9/, „~ Т>„„> (Х Х Х). Пусть рг, и рг, — канонические проектирования произведения Х Х Х на первый и второй сомножнтели соответственно. Ясно, что Т>,, „>(рг,) отображает Н,„ на Т„(Х) и что ядро отображения 'Т>,,е„>(рг!)1Т(„,,)(С) есть /е „. Таким образом, рг, ~С есть субмерсия из С на Х. В силу Мн.
Св. рез., 5.9.5, />> регулярно. Поэтому по определению на фактормножестве Х/6 существует одна, и только одна, структура многообразия, такая, что и является субмерсией. Нижележащая топология иа Х/О есть фактортопология топологии на Х (Мн. Св. рез., 5.9.4). Эта топология отделима (Оби(. Гоп., 1969, гл. 1П, $4, предложение 3). Для всякого Ь еи Х/О существуют открытая окрестность (у точки Ь и такой морфизм о: й>'- Х, что п ° о=!6>у (Мн. Св. рез., 5.9.1).
Пусть >р — биекция (д, и>) до(н>) из ОХ Ф' на з>-! (Ф'). Она принадлежит классу С'. Получаем и (д (о (н>)) = и> и 0 (о'(го), дв(п>))=(я„в(н>)); поэтому биекпия, обратная к ф, принадлежит классу С'. Ясно„что ф(йа', ю)=йф(а' и>) для твен )у', аен О, д'~6. Следовательно, (Х, О, Х/6, и) есть главное левое расслоение, Ч. Т.
Д. Замечание. Сохраним предыдущие предположения. Пусть, кроме того, Н вЂ” многообразие класса С' и (х, Ь)- п>(х, Ь)— отображение класса С' из ХХН в Х, такое, что п>(пх, Ь)= е $ с ГРуппы ли 241 =ут(х, й) для хенХ, у~О, Ь~Н. Пусть и — отображение из (Х/6) Х Н в Х/О, получающееся из Гп нри факторизации. Покажем, что и принадлежит классу С'. Рассмотрим диаграмму ХХ Н вЂ” Х еК~1 )е (Х/6)л,Н -". Х/О Она коммутативна, яот принадлежит классу С" и и Х 1 является сюръективной субмерсией; достаточно поэтому применить Мн. Св.
рез., 5.9.5. Пусть 6 — группа Ли, Х вЂ” многообразие класса С' и (д, х) ь хд — закон правого действия группы 6 на Х класса С' Положим т(д)х=р(х)у=хам для у~О, х ~ Х. Имеем на этот раз р(х)=р(ху)ьу(д '), р(х)=т(а)ьр(х)об(д); (У) поэтому Т (р(х)) = Т,(р(хд)) о Те(у (у-')), (4') Те (р (х)) = Т, (т (д)) о Т, (р (х)) ь Те (б (у)). (5') С другой стороны, если ц означает отображение (я, х) ха из 6 Р, Х в Х, формула (6) остается справедливой. Предложение 9, его следствие и предложение 10 также остаются в силе (если только заменить в последнем „левое главное расслоение" на „правое главное расслоение").
б. Однородные пространства и фикторгруппы ПРедложеник 11. Пусть Х вЂ” группа Ли, 6 — подгруппа Ли в Х. (Ц На однородном фактормножестве Х/О существует одна, и только одна, структура аналитического многообразия, такая, что каноническая проекция п из Х на Х/6 есть субмерсия. Закон действия группа~ Х на Х/6 аналитичен. Для всякого х ен Х ядро отображения Т„(п) есть образ пространства Т,(6) относительно Т, (у (х)). (В) Если подгруппа 6 нормальна в Х, то Х/О является группой Ли относительно структур группы и многообразия, определенных в (1). Отображение я есть морфизм групп Ли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
