Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Предложении 22. Пусть Н вЂ” группа Ли, Π— подгрупускула Ли в Н, Н вЂ” множество таких д ~ Н, что П и уПд ' имеют одинаковый росток в точке е (Общ. топ., !968, гл. 1, $6, и' 1О). Тогда Н является подгруппой в Н, содержащей П. На Н сущесгвуег одна, и только одна, структура аналитического многообразия, обладающая следующими свойствами: (!) ЛГ, наделенная этой структурой, есть группа Ли; (Н) П вЂ” открытое подмногообразие в Н; (ш) каноническое вложение подгруппы Н в Н есть иммерсия. Ясно, что Н вЂ” подгруппа в Н. Если д знП, то де ен О и деу-! енП. Поэтому ди енО и диет ' я П для элементов и из П, достаточно близких к е; следовательно, росток множества дПд ' в точке е содержится в ростке множества П.
Заменяя д на д ', видим, что ростки множеств иОи ' и П в точке е одинаковы, Значит, Псу. й ь ГРуппы ли гв Пусть )г — такая открытая окрестность элемента г в У, что )Г = 1', $' с: У. Условия (!), (11), (!И) предложения 18 из п' 9 (где 6 заменено на Ф) выполнены. Следовательно, на Ф существует структура аналитического многообразия, обладающая следующими свойствами: а) Н, наделенная втой структурой, есть группа Ли; й) )г открыто в Ф; у) структуры многообразия на Н и У индуцируют одну и ту же структуру на )l.
Поскольку )г — подмногообразие в Н, каноническая инъекция группы М в Н является иммерсией в точке е, а следовательно, и в любой точке группы Ф. Пусть иевУ. Существует такая открытая окрестность У' элемента е в У, что отображение о- ио есть аналитический изоморфизм из )г' на некоторую открытую окрестность элемента и в У (предложение 20) и одновременно на некоторую открытую окрестность элемента и в Н. Стало быть, У открыто в Н, а тождественное отображение из У в У есть изоморфизм относительно данной структуры многообразия на У и структуры открытого подмногообразия в Н; другими словами, У есть открытое подмногообразие в Ф. Наконец, рассмотрим на Н структуру аналитического многообразия, обладающую свойствами (1) и (В) предложения, и пусть № — получаемая таким образом группа Ли.
Тогда тождественное отображение из Н в № есть этальный морфизм в точке г н, следовательно, изоморфизм групп Ли. Это доказывает утверждение единственности. Пусть Н вЂ” группа Ли, Н вЂ” квазиподгрупускула Ли в Н, М вЂ” множество таких ящ Н, что Н и у!Гд имеют одинаковый росток в е. Если К имеет характеристику О, то на 6 существует одна, и только одна, струнтура многообразия со свойствами (!) и (й) предложения 22.
Доказательство то же, что для предложения 22. Слздствив. Сохраним обозначения предложения 22. Пусть 6 — подгруппа в Н, порожденная множеством У. Тогда 6 — открытая подгруппа в Н. На 6 существует одна, и только одна, структура группы Ли, такая, что У есть открытое подмногообразиг в 6, а каноническая инъекция подгруппы 6 в Н есть иммгрсия.
Замечание. Сохраним обозначения предложения 22 и его следствия. Пусть К имеет характеристику О, Н конечномерна и топология на У допускает счетный базис. Даже при всех этих предположениях 6 может оказаться незамкнутой в Н (упражнение 3). Но если 6 замкнута, она является подгруппой Ли в Н. В самом деле, отображение (д, Ь) дй определяет левое аналитическое действие группы 6 на Н.
Орбита элемента е есть С. Наше утверждение следует тогда из предложений 2(!У) и 14(щ). 256 гл. пь г типы лн лл. Куски законов действия Пусть (6, е, О, и) — групускула Ли, Х вЂ” многообразие класса С'. Опгнделение 6. Куском закона левого действия класса С групускулы 6 на Х называется отображение ~Р, определенное в некотором открытом подмножестве Я в 6 Х Х, которое содер- жит (е) Р, Х, принимающее значения в Х и обладающее следую- щими свойствами: (() $ принадлежит классу С', (й) для всякого х еи Х и.неем ~р(е, х) = х; ((й) существует такая окрестность И, подмножества (е) 'к, ;к', (е) Р, Х в 6 Х 6 Р', Х, что для всякого (й, й', х) ~ И, элементы тп (у, у'), ~~ (й', х), ~р (пг (а, д'), х), $ (а, $ (а', х) ) определены и ф (р, р(а', х))=$(.
(й, а'), х). Аналогичным образом определяются куски законов правого действия класса 6тл Часто вместо $(й, х) пишут йх. Пусть 0' — подгрупускула Ли в 0 и Х' — подмногообразие в Х. Предположим, что множество И' тех (й, х) еи И () (6' Х Х'), для которых $(у, х) ~ Х', открыто в 0' Р, Х' (это условие всегда выполнено, если Х' открыто в Х). Тогда ф ~И' есть кусок закона левого действия класса С' групускулы 6' на Х', говорят, что он получается ограничением отображения ~Р на 6'т,' Х'. Пгндложннин 23. Пусть (6, е, О, гп) — групускула Ли, Х вЂ” многообразие класса С', хь — точка из Х, И вЂ” открытая окрестность точки (е, хь) в 6 Х Х, ~Р— отображение из И в Х, обладающее следующими свойствами: (~) $ принадлежит классу С', (й) е~(е, х) равно х для точек х, достаточно близких к хь; (ш) ~р (и (у, д'), х) = ф (д, ф(д', х)) для любой тройки (д, у', х), достаточно близкой к (е, е, хс).
Тогда существуют открытая окрестность Х' точки хь в Х и открытое подмножество Я' в И()(6 Р, Х'), такие, что ~р ~И' есть кусок левого действия класса С' групускулы 6 на Х'. Существуют открытая окрестность Х' точки хь в Х и открытая окрестность 0' элемента е в 6, такие, что $(е, х)=х для всякого х я Х' и $(п, $(д', х) ) =~р(пь(й, й'), х) для (у, й', х) ~ ~ 0' Х 6'Х Х'. Пусть Я' — множество пар (у, х) еи И П(6' Х Х'), таких, что ф(д, х) е=-Х'.
Тогда И' открыто в 6;к', Х', и Х', И' обладают указанными в предложении свойствами. Лемма 3. Пусть Х вЂ” нормальное пространство, (Х~),. — его открытое локально конечное покрытие. Для всех пар (ю', )) ~ ен 1 К Т и всякого х ~ Х, () Х~ пусть $тп (х) — окрестность точки х, $ ь ГРУППЫ ЛИ 257 содержащаяся в Х,ПХП Тогда для любой точки х еи Х можно так выбрать ее окрестность У(х), что будут выполнены следующие условия: а) из хе Х,П ХГ следует У(х) с Уц(х); б) если У (х) и У (у) пересекаются, то существует такой индекс 1еи1, что У(х)0 У(у) с= Хь Существует такое открытое покрытие (Х',),, пространства Х, что Хр с Х~ для всякого 1ен1(Общ.
топ., гл. !Х, $4, теорема 3). Пусть х~ Х. Пусть У, (х) — пересечение множеств Уц(х) и тех множеств Х», которые содержат х; это открытая окрестность точки х. Пусть У»(х) — окрестность точки х, содержащаяся в У,(х) и пересекающаяся только с конечным числом множеств Хц Тогда Ур(х) пересекается лишь с конечным чиср лом множеств Х; и, стало быть, множество У(х) = Уз(х) П П (Х Ж) $и1,»ФХ~ есть окрестность точки х. Если х~ Х,П Хп то У, (х) с: Х, () ХГ и, следовательно, У(х)~ХГПХР Пусть х,у лежат в Х и У(х) р и У(у) пересекаются.
Существует такой 1ен1, что хан ХП Тогда У,(х)с:Хц а потому У(х)сХ~, следовательно, У(у)() () Х; чь Я. Тогда у е=- Х; по определению множества У(у), откуда у ~ Х, и У(у) с: Хц Таким образом, Х, содержит У(х) и У(у). Пввдложвнин 24. Пусть Π— групускула Ли, Х вЂ” многообразие класса С, (ХГ), à — его открытое локально конечное покрытие. Для всякого индекса 1еп1 пусть ~Р,— кусок закона левого действия класса С' групускулы О на Хь Предположим, что топологическое пространство, лежащее ниже многообразия Х, нормально и для всех (1, 1) я1;р(1 и всякого хан Х,()ХГ куски ~р, и ~рГ совпадают в некоторой окрестности точки (е, х). Существует такой кусок ~Р закона левого действия класса С' груп ускулы О на Х, что для всякого 1~1 и всякого х ~ Х~ куски ф и ~Р совпадают в некоторой окрестности точки (е, х).
Для произвольных (с, 1) е1Х1 и х еи Х,() ХГ выберем такую открытую окрестность Уц(х) точки х в Х,()ХП что»р; и $7 определены и совпадают в некоторой окрестности подмножества (е);к', Уц (х) в О Х Х. Для точки х ев Х выберем ее открытую окрестность У(х) в Х таким образом, чтобы выполнялись условия а) и б) леммы 3. Пусть 1„— множество таких 1еи1, что хан Х,. Это конечное множество. Пусть ΄— множество таких пар (у, у) еиО;», У(х), что ф для всех 1ен1 определен»» 9 Н. Бурбакн ГЛ. П1.
ГРУППЫ ЛИ и совпадают в некоторой окрестности точки (у, у). Тогда У, открыто и (е, х)~У„. Ограничение всех кусков 1Р1 для зен1„ на У„одно и то же (обозначим его через ф,). Пусть х, у лежат в Х. Если У„и У„пересекаются, то У(х) и У(у) пересекаются и, стало быть, существует такой индекс ген!, что У (х) () У (у) с: Хг.
Тогда 1ен1, (я1У, ф1 1У,=ф„, зрг! У„=зрз, а потому ф„1(У„() У„)= =зрт~(У,ПУ„). Таким образом, совокупность отображений зр, задает отображение ф из У= Ц У„в Х, а У есть открытая тих окрестность множества (е) Х Х в О Х Х. Ясно, что зр принадлежит классу С' и ф(е, х)=х для всех хек Х. Для всякого индекса зев! и всякого х ~ Хг отображение ф совпадает с ф„ и, стало быть, с фг в некоторой окрестности точки (е, х); следовательно, ф удовлетворяет условию (И) определения 6.
$2. Группа векторов, касательных к группе Ли 1. Касательные законы кониозиз)ии Пусть Х и У вЂ” многообразия класса С'. Известно (Мн, Св. рез., 8.1.4), что Х ХУ есть многообразие класса С' и что отображение (Т(рг,), Т(рг,)), являющееся произведением отображений, касательных к каноническим проекциям, есть изоморфизм класса С из Т(ХХУ) на Т(Х) Х Т(У) ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
