Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 61
Текст из файла (страница 61)
ПЬ ГРУППЫ ЛИ Формула (4) влечет за собой, в частности, формулу (у~ 6) (в е 1) (х) = 7 (д-'х), (8) т. е. и *7 =т(у) г. (7) Предположим, что К= м нлн С, что С и Х понечномерны н Х наделено положительной мерИ. иннариантноа относительно О. Определение элемента еп я )согласуется с определением на Интегр, гл. ч'Ш, $4, и'1 (см. формулу (2) тал же). Пркдложкник 17, Пусть 1 ен У и' (6), 1' ы У м') (Х) и ): Х вЂ” Р— ерункция класса С', где з+ з'и=.г. Тогда <',1 7)=(1" 1'.17.
Действительно, (1',1е7)=(г, х~(1, й ~-ч'7(й'-'х))) (в силу (4)) = =(1Э г (в х)" '7(й 'х)) (Мн. Св. рез., 13.4.4) = = (1" Э 1, (й', х) «) (ух)) (Мн. Св. рез., 13,2.3) = =(1ч е 1', ~). . Пркдложкник !8. Пусть злементы гайгта(6), РенУ ио(6) и функция Г: Х- Р, принадлеясагцая классу С', таковы, что в+ з'~(г. Тогда ()е)')е1=1 (Р О. Действительно, для всякого хы Х (е„(1 е Р) е г) = ((1 е Р) ч е е„, г) (в силу (5)) = =(Рче(Р'ее,),)) (предложения 2 и 7)= = ()У е е„, Р е)) (предложение 17) = =(и„, 1» (Р е )е)) (предложение 17).
Ч. Т. Д. Если г~)оо, то мы видим, что пространство функций класса С иа Х со значениями в Р есть левый модуль над алгеброй У ' ) (6). Пркдложкпик 19. Пусть 1е=У нв (6), где з(~г, и Г (соотв. Г')— функция класса С' на Х со значениями в отделимом полинор мированном пространстве Р (соотв. Р'), Пусть ~и, и') «ии'— билинейное непрерывное отображение из Р и', Р в отделимое лолинормированное пространство Р", так что ))' есть функция я класса С' на Х со значениялги в Р", '~, П Э 1,' — образ элемента 1 в=! в У 'а(6) Э У <*) (6) относительно копроизведения. Тогда )ей') = Х(1 ей(11 )').
з к пвгвход от ггэппы ли к вв ьлгввгв ли Действительно, пусть х АХ, и, как всегда, через р(х) обозначено орбитальное отображение для точки х. Имеем Замечание 1, Пусть 6 — группа Ли, Х вЂ” многообразие класса С' и (х, д) э хя — закон правого действия класса С' группы 6 на Х. Если 1енУ "(6) (где в~(г) и 1: Х-оР— функция класса С на Х, то через 1 о! обозначается функция на Х, определяемая условием (е„, 1 о !) = (в, о ! о, )) = — <р <х). (!'), !)— = (1Ч, ) о р (х)) = = <г, (7 о р (х)) ч), В частности, (! о ве) (х) = 1 (хК '), Г о в, = Ь (У) (9) т. е. (10) Предложения 17, 18 и 19 в очевидных обозначениях преврашаются в равенства (б т о !) — (! о !и )) (11) 1 о (! о !') = (1 о !) о г, (12) и й')о!=,"((! ой(Г 1~).
(13) Пввдложвнив 20. Пусть 6, 6' — группы Ли, Х вЂ” многообразие класса С' и (й, х)о-~ах (соотв. (х, й') эха') — закон левого (соотв. правого) действия класса С' группы 6 (соотв. 6') на Х. Предположим, что (дх)й'=д(хй'), каковы бы ни были хан Х, лен 6, й'ея6', Пусть элементы !яУ о!(6), Р ~У '"'(6') и функция 1: Х-оР класса С' таковы, что з+ з' ~(г. Тогда (! о 1) о г~ = ! о <) о !о). (в„! о Я')) = <!'~, Я') о р (х)) (в силу (4)) = = (! ч, (1 о р (х)) (Р о р (х))) = = Х,<!с,) р(х))<!!', 7'ор(х)) (Мн, Св. рез.,!3.5.2)= к = х„(ео, !к о ~) <вл, !! о 1') (в силу (4)), 1 ! ГЛ !П. ГРУППЫ ЛИ Действительно, для всякого х ~ Х (е„, (ге~) ч Р) =(е„*!'У, гч)) (в силу (8)) = =(!" ч (е„ч РУ), !) (предложение 17) = =(гУ ее„, 1чр) (предложение 2 н (11)) = =(е„, ! ч () * (')) (в силу (5)).
Ч. Т. Д. В частности, рассмотрим действие группы 6 на самой себе левыми и правыми сдвигами. Если 1: 6- Р— функция класса С' на 6 и ! ~ йи>(6) (с з~(г), то г*! н )ч ! являются (при з < сс) функциями класса С ' на 6. Пусть, кроме того, 1'енй"'(6) с з+ з'<г. Тогда (! ч ~) ч Р = г ч (~ * г'). (!4) В частности, %'" (6) является (й'"!(6), д"' >(6))-бимодулем.
Формулы (5) и (8) включают в себя как частные случаи равенства (1, 1) =(е„гУ *1) =(е„)Р(У). (15) Замечание 2. Пусть (д, х) Р пх — закон левого действия класса С' группы 6 на Х. Пусть ! с= 6,(6) (где з<г), 6 — открытое подмножество в Х и 1: ь)-РР— функция класса С'. Тогда по-прежнему можно определить (ч !" формулами (4) илн (5); это функция, определенная на Й, со значениями в Р и класса С' ', если з < сс.
Результаты настоящего пункта очевидным образом распространяются на зту ситуацию. 5, Поля точечных распределений, определенные действием еруппы ни многообразии Пусть (д,х) ! ).(д, х) = йх — закон левого действия класса С' группы 6 на Х. Пусть з(~г и 1~6,(6). Для всякого х~Х имеем ! ч е„~ Т~'(Х). Отображение х! — ~!* в„называется полем точечных распределений, определенным элементом ! и действием группы 6 на Х; оно обозначается иногда через Р! или просто через 6!. Пусть й — открытое подмножество в Х и Р— отделимое полинормированное пространство.
Если 1: Я- Р принадлежит классу С" и з ~ (г, то функция (У * ) на И обозначается также через Щ. Следовательно, (ЕЦ) (х) = Ц ч е„, 1). (16) Если з< со, то 1ЦенЖ' '(11, Р) в силу и'4. Таким образом, Щ есть отображение нз Ж'(ь), Р) в е" '(ь1, Р) (которое часто, допуская вольность в обозначениях, обозначают через П!) э а пвввход от гггппы ли к вв ьлгввгв ли 275 Если (я0,(6), УеУ, (6) н э+э'~(г, то в силу предлоР~, ~ )' = Р~ (РД); (17) поэтому, допуская указанную выше вольность в обозначениях, получаем (18) Предположим, что 6 и Х конечномерны.
Отображение ((, х) ~гЭ а, из Ти>(6) ХХ в векторное расслоение Тм'(6ХХ) (см. Мн, Св. рез., 13.2.5) принадлежит классу С' *. Стало быть (Мн. Св. реэ., 13.2.5), отображение (1, х) ! ь а„из Тм'(6) к', Х в векторное расслоение Тсо(Х) принадлежит классу С '. В частности, Р, ссгь дифференциальный оператор порядка ~'"з и класса С' ' в смысле Мн.
Св. рез„!4.1.6. Согласно формула (16), функция 1Ц является тогда результатом действия на функцию ) этого дифференциального оператора (Мн. Св. рез., 14.1.4). Отбросим предположение, что 6 и Х конечномерны. Пусть ф — автоморфизм многообразия Х и Л вЂ” поле точечных распределений на Х. В соответствии с общими определениями преобразованием поля Ь посредством автоморфизма ф называется поле точечных распределений на Х, значение которого в точке ф(х) есть ф,(Ь(х)); это отображение обозначается через ф(Л). Если д ~ 6* и т(д) обозначает автоморфизм х ~ дх многообразия Х, то преобразование поля Ь посредством автоморфизма т(д) называется также преобразованием поля Л элементом д'.
Пгвдложвнив 2!. Пусть ф — автоморфизм многообразия Х коммутирующий с действием группы 6. Тогда поле Р~ инвариантно относительно ф. Действитсльно, для всякого х ~ Х (ф (Р,)) (ф (х)) = ф, (Р (х)) = ф„(! ь е„) = =!ь ф.(е„) (предложение 15) = = ! ь вч ~„! = Р, (ф (х)). Пгвдложенив 22, Если у~6, то преобразование поля Р, элементом й есть Р| *~*е е е Действительно, значение этого преобразования в точке дх есть х (у), (Р, (х)) = т (К)„(Г ь ел) = =в ь(!*а„) (предложение 14 (1)) = =(аль (ь в -~)* в „(предложения ! и 2) = =Рь *г*е ~ (вх).
Ч. Т. Д. ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ 276 Пусть (х, д) ь р (х, д) = хд — закон правого действия класса С' группы 6 на Х. Пусть з» Г и ! ен6,(6). Для всякого хек Х имеем в„» 1ен Т~'!(Х), Отображение х!-+в, ь! называется полем распределений, определенным элементом ! и .действием группы 6 на Х; оно обозначается через О! или просто через 0о Пусть И вЂ” открытое подмножество в Х. Если ~: ьл-+ г" принадлежит классу С', то функция 1»(У обозначается символом Щ. Следовательно, (!9) (О,)) (х) = (в, ь Ф, )) и, в очевидных обозначениях, О! !)!=О!(0е!), 0.
° =0 0;. (20) (2!) Предложение 2! остается справедливым. Пусть д ~ 6. Преобразование поля О, элементом д (т. е. автоморфизмом х! хй многообразия Х) есть 0» й. Инвариантны» поля точечных распределений на группе аи Опввделениа 4. Пусть 6 — группа Ли. Поле распределений на 6 называется левоинвариантным (соотв. правоинвариантным), если оно инвариантно относительно левых (соотв, правах) сдвигов группы 6. Другими словами, поле распределений д!-~ Л» на 6 лево- инвариантно, если Ь»» =у(д).Л» для й,й' из 6, или, что то же самое, если Ь»» =в»»Ь» для д, й' из 6.
Оно правоинвариантно, если Л ° =б(д' '),Ь» для д, д' из 6, или, что то же самое, если Ь ° =А»*в ° для й, й' из 6. Опгвделание 5. Пусть 6 — группа Ли и 1»к У(6). Через Ц обозначается поле распределений й ьв»ь! на 6, а через й,— поле распределений й ь !» в» на 6. Другими словами, Е, (соотв. й!) есть поле распределений, определенное элементом ! и действием группы 6 справа (соотв. слева) на 6 посредством отображения (д, д') ь дй'.
Пусть (г— открытое подмножество в 6 и Р— отделимое полинормирован- 6 % К ПЕРЕХОД ОТ ГРУППЫ ЛИ К ЕЕ АЛГЕБРЕ ЛИ 277 ное пространство; если ! ~%'"(Й, Р), то 1»! =! Р(У ы!У (О, Р) и Я»7=!Р67ене»" (О, г) (п' 5). Если 6 конечиомерна, то дифференциальные операторы Е» и»х» принадлежат классу С" (и' 5). Пяедложение 23. (!) Отображение ! Е» (соотв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
