Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Св. рез., 5.8.5). Канонические отображения 8,: Я-+2'(Р) и 8з: А-ьй(Е)г) линейны, непрерывны и, стало быть, аналитичны. Это доказывает (1). Отображения Т,(п) и Т,(п') имеют одинаковый график, а потому Ь(п)(Е(6)) ~ А, что доказывает (!1). Наконец, Те(п1) =То(8~ ~и) =8~'Те(п ) р~ Ть (и ) = Т. (8ь и ) = 8 Т ( ) = р . ПРядложянив 41. Пусть 6 — группа Ли, по пз, ..., и, и— линейные аналитические представления группы 6 в полных нормируемых пространствах Е„Е„..., Е„, Е. Пусть (х„хп..., х„) ~-~ ~-~х,хт ...
х„— непрерывное полилинейное отображение из Е, Х ХЕУХ ° .. ХЕ„в Е. Предположим, что и (д) (х,х, ... х„) = (п, (д) х,) (и, (д) хт) ... (п„(д) х„), каковы бь( ни были д си 6, х, сиЕ„..., х„еи Е„. Тогда (Ь (и) а) (х,хз ... х„) = Я х,хт... х~, ((Е (и,) а) х,) х~+, ... х„, 1 1 каковы бы ни были а ев Е(6), х, еи Е„..., х„еи Е„. Произведем вычисление, например, для п= 2. Имеем (Е(п) а) (х,хз) =(а, д~ — ь п(у) (х,хт)) (предложеиие 38) = =(а,(у э п,(д)х1)(у з" п,(й)хт))= =(а, д ~п,(д)х,).х,+х,.(а, у ~п,(д)х,) (Мн.
Св.' рез., 5.5.8) = ((Ь(п,) а)х ).х,+х,. ((Л(пг) а) хг) (предложение 38). Следствие 1. Пусть 6 — группа 7и, Е„..., Епы — полные нормируемые пространства, пь ..., п„ь, — линейные аналитические представления группы 6 в Е„..., Е„~и Пусть Е = 2'(Е„... 991 а з, пвриход от гриппы ли к ив длгиврв ли ..., Е„; Е„+,) — полное нормируемое пространство непрерьсвных полилинейных отображений из Е, Х ... ХЕ„в Е„+, (Общ. топ., гл. Х, $ 3, и'2). Для всякого уенб пусть п(й) — автоморфизм пространства Е, определенный формулой (п(й)и)(х„..., х„)=п„+,(й)(и(п,(й) хо..., п„(й) х„)).
Тогда и есть линейное аналитическое представление группы 6 в Е и ((Е(г!)а)и) (х„..., х„) = = — ~ и(х„..., х! !, (Е(п!) а) хс, хс+„..., х„)+ ! ! +(Е(п„+,) а)(и(хы ..., х„)), каковы бы ни были а яй(0), и ен Е, х, еи Е„..., ха я Е„. Любой элемент (А,, ..., А„+,) из У(Е!) Х ... Х Ы(Е„+!) определяет непрерывный эндоморфизм 0(А„..., А„+,) пространства Е формулой (0(А„..., Аае!)и)(х„..., х„) = Аиы(и(А,х„.. „А„х„)). Отображение 0 из 2'(Е!)Х ... Х Ж(Е„+!) и Ы'(Е) полилинейно и непрерывно.
Для всякого й ен 6 и (й) = 0 (и, (д '), ..., п„(й-!), и„+! (й)) и, стало быть, и аналитично. Применим предложение 41 к отображению (х„..., х„, и) !-в и (х„..., х„) нз Е,Х ... ХЕ„ХЕ в Е„+,. Имеем и„+, (д) (и (х„..., х„)) = (п(й) и) (и, (й) х„...„п„(д) х„), а потому (Е (и„+, ) а) (и (х„..., х„)) = а = ~' и(х!,..., (Е(п,) а)х!, ..., х„)+ ((1. (п)а) и)(х„..., х„).
а=! Если пространства Е, конечномерны, представление 1. (и) алгебры Ли !. (6) получается из представлений й(п!), ..., Ь(ат„+!) способ л, указанным в предложении 3, з 3 гл. 1. Следствия 2. Пусть 6 — группа Ли, и — ее линейное аналитическое представление в полном нормируемом пространстве Е. Тогда й!-в~п(д) есть линейное аналитическое представление р 10' гл. !и. ГРуппы ли Гг группы 6 в полном нормируемом пространстве,У(Е, К )') и Е(р)а= — '(Е(п) а) для всякого а ы Е(6). Это частный случай следствия 1.
Говорят, что р есть контрагредиентное к и представление. Если Е имеет конечную размерность, то Ь(р) есть контрагредиентное к Ь(н) представление в смысле гл. 1, 5 3, п' 3. Следствие 3. Пусть 6 — группа Ли, и„..., и„— линейные аналитические представления группь! 6 в конечномерных векторных пространствах Е„..., Е„. Тогда представление и, Э ... ... Э п„группы 6 (см.
дополнение) аналитична и Ь(п, Э ... ... Э и„) является тензорным произведением представлений Ь(п!), ..., Ь(п„). Отображение (Ап ..., А„)ь А, Э ... Э А„нз Я(Е!) Х ... ... Х Ю(Е„) в Ю(Е, Э ... Э Е„) полнлинейно, откуда следует аналитичность представления и. Рассмотрим отображение (хп..., х„) х, Э ... Э х„из Е, Х ... Х Е„в Е, Э ... Э Е„. В силу предложения 41 (Ь(п)а)(х, Э ...
Эх„)= ~х! Э Э(Е(п!)а) х!Э ... Эх„, ! ! каковы бы ни были а я Ь(6), х, я Е, для 1(! < и. Стало быть, Ь(п) есть тензорное произведение представлений Ь(п,). Сльдствие 4. Пусть 6 — группа Ли и и — линейное аналитическое представление группы 6 в конечномерном векторном пространстве Е. Тогда представления Т" (и), 8" (и), Д" (и) группы 6 (см. дополнение) аналитичны и Х(т"( )) =т"(Ь( )), Ь(Э"( )) =Э" (Ь( )), Ь(Л"( )) =Л"(Ь( )) Это вытекает из следствия 3 и предложения 40. Следствие 5. Пусть А — конечномерная алгебра.
Предполоасим, что К имеет характеристику О. Группа АП1(А) автоморфизмов алгебры А есть подгруппа Ли в 61.(А) и Ь (Ап((А))— алгебра Ли дифференцирований алгебры А. Это вытекает из следствия 1 (прнмененного к Е = Я (А, А; А)) и из следствия 2 предложения 39 (примененного к подмножеству в Е, состоящему из одного элемента — того, который задает умножение в А). Замечание. Применим следствие 1 в ситуации, когда 6= =61. (Г) (Š— полное нормируемое пространство), и, = па — — Ыо, ') Как и в случае, когда К= и илн С, рассматриваемое алесь сопряженное линейное отображение !н(д) есть ограничение на й'(Е, К) соприженного (в чисто алгебраическом смысле) к и !й) линейного отображения, 5 а пеРеход ОГ ГРуппы ли к ее АлГеБРе ли и — 'тривиальное представление группы 0 в К. Мы получим аналитическое представление и группы О!.(Г) в Я (т", г"; К).
Предположим, что т конечномерно и К имеет характеристику О. Применяя к и следствие 2 предложения 39, получаем снова часть следствия 1 предложения 37. Предложение 42. Пусть 6 — группа Ли, Х вЂ” аналитическое многообразие, (у, х) ~ — Рук (ссотв. ху) — закон левого (соотв. правого) аналитического действия группы 0 на Х, хь — точка в Х, инвариантная относительно 6. Для всякого деи 6 пусть т(у)— автоморфизм х Рух (соотв. хд) многообразия Х, и пусть п(д)— автоморфизм пространства Т,,(Х), касательный к т(у) в хь. (1) и есть линейное аналитическое представление группы 0 (соотв. группГя 6") в Т,,(Х). (й) Для любого а я Т.
(6) и любого еь я Т„, (Х) элемент Ь(п) а. 5, можно вычислить следующим образом: пусть О, — векторное поле, определенное элементом а на Х, и е — векторное поле класса С' в некоторой открытой окрестности точки хь, такое, что 5(хь) =-Еь; тогда 7- (и) а ° 5ь = — [В„е[(хь). Имеем т(уя')=т(у)т(у') (соотв. т(у')т(д)) и, стало быть, п(аэ')=п(д)п(д') (соотв. п(а')п(у)). С другой стороны, поскольку ТХ является векторным 6-расслоением класса С" ($1, п'8, предложение 16), и аналитично, откуда следует (1).
При доказательстве п. (11) предположим, что 0 действует слева. Существуют открытая окрестность ! элемента О в К и аналитическое отображение у из 1 в 6, такие, что у (0) = е, Т,(у) !=а. Тогда О, есть векторное поле на Х, определенное отображением ф: (Л, х)~ у(Л)х из 7ХХ в Х ($ 2, и'2). Если через ф„обозначена биекция хР-Ру(л)х из Х в Х, то [О, Ц](хь) = ( — „(Т („) (ф,„') $(ф (х )))) (Мн. Св. рез., 8.4.5)= =( — „", ( (у(л)) 'ц,)) Поскольку отображения ЛР-Ру(л) и ЛР-Ру( — Л) касательны друг другу в О, эта цепочка равенств продолжается следующим образом: = — Я(.(у(л))Ы),,= --( —.", ( ° )(Л))„,~- — Х. (и) а.
$ь. ГЛ. 1и. ГРУППЫ ЛИ 12. Присоедияенное представление Пусть 6 — группа Ли. Рассмотрим аналитический закон левого действия (д, д') э дй'д — ' = ([п1 д) й' группы 6 на 6. Этот закон действия„согласно и'3, определяет билинейное отображение из о' 1 1(6) Х 9 ' 1(6) в У 1 '(6), которое мы в этом пункте обозначаем символом Т. В силу предложения 13 п'3 имеем (1 ь р) Т 1" =1 Т (1' Т 1п), (22) каковы бы ни были 1, 1', 1" из У <"1(6). В силу предложения 14 (1) и' 3, е Т1=([п1д),1, (23) каковы бы ни были дяО и 1яУ1 1(6), В частности, отображение 1 ~аг Т1 из У1 1(6) в 9 '"1(6) есть автоморфизм биалгебры ~ь"1(6). Ограничения его на 0(6), 6,(6), [,(6) обозначаются соответственно через Апи1о1(й) Аоо,1о1(й) Аоь1о1(к) ° Вместо Абь1о1(й) часто пишут А1[(й), если это не может привести к путанице.
Согласно (23), А1[(д) есть касательное отображение о е к отображению !п1(д). Это автоморфизм нормируемой алгебры Ли Ь(6). Если К имеет характеристику О, то Або 1о1(д) — единственный автоморфизм алгебры 6(6), продолжающий А1[(й).
Если 1р — морфизм группы Ли О в группу Ли Н, то 1р. (1 Т 1') = 1р„И) Т 1р„(р), (24) каковы бы ни были 1, Р в У ' 1(6); это следует из предложения 15 и'3. ПРвдложннив 43. Пусть 1, и лежат в У 1 ' (6). Пусть ~ 11<9 1; — образ элемента 1 относительно копроизоедения.
Тогда 1-1 По определению 1Ти есть образ элемента 18 и при отображении (д, й')~ — ~йй'й ' из О ХО в 6. Но это отображение получается в результате композиции следующих отображений: ел (й„д') ~-ь(й,д,д') из ОХО в ОХОХО; р: (й',й',й") (й,й" ',й") из ОХОХО в ОХОХО' у:(ай й) ййй из ОХОХ6 в О. з з. пеееход от гюппы ли к ее алгевге ли С другой стороны, а„(1 Э и) = ~, (8с сЗс 1,') Э и = ~ 1, сЯс 1' сйС и, с' л и р, ~~'., 1, сйс 1, З и) ~ 1, сйс 1,'ч 8 и, с=с ' с с ' т (~1 у(С1'ч <ри1 Я1 и и с с с l Следствие 1. Пусть и ем Е(6), й еиУ ' с(6). Имеем ити'= = и ь и' — и' ь и. В самом деле, образ элемента и относительно копроизведемия есть и 9 е, + е„э и, откуда и Т и' = и е и' е е, + е, е и' е ич = и ь и' — и' ь и. Следствие 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
