Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Допустим, что предложение доказано для элементов ип ив из 0(6). Тогда '(7.„,. „,) = '(Ьж ь 7.„,) (предложение 23) = ='(с.„,)ь'(7.„,) (Мн. Св. рез., 14.3.3)= = 7.,", ь 7.„; (согласно допущению) = (предложение 23) = (предложение 7), значит, предложение справедливо для и, * ит. Следовательно, достаточно доказать предложение в случае, когда и ен Т,(0). Однако Ь„определяется правым действием группы 6 на 0 (и'8), стало быть, 8ь со =О, поскольку Га правоинвариантна и (Мн. Св.
рез., 8.4.8); поэтому если 7 — аналитическая функция в некоторой открытой окрестности элемента е со значениями в К, то йс ()Гв) =(йс !)Го (Мн. Св. рез., 8.4.8). С учетом сделанных отождествлений и Мн. Св. рез., 14.4.1, получаем, что транспонированный для 7.„ оператор есть — 7.„, т. е. Ь„. ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ Следствие. Пусть 0 — вещественная конечномерная группа Ли, 1с (соотв. ч) — левая (соотв. правая) мера Хаара на О, й — целое число ЪО, и ен Пь(0), а ! и д — вещественные функцйи класса С на 0 с компактным носителем. Тогда ~ (Еи1) у Ф = ~ 1 Рйй) Фю о о ~ (1-„() удч = ~ )'(Е„"д) сЬ. Это следует из предложения 57 и из Мн.
Св. раз., 14.3.8. 77. Левый дифференциал Опгедяленив 8. Пусть 0 — группа Ли, М вЂ” многообразие класса С', 1 — отображение класса С' из М в О. Левым (соотв. правым) дифференциалом отображения 1 называется дифференциальная форма степени 1 на М со значениями в Е(0), которая произвольному вектору иепТ (М) ставит в соответствие элемент 1(т) '. (Т ~)(и) (соотв. (Т Г)(и).Г(т) '). В этой главе мы рассматриваем лишь левый дифференциал, который будем обозначать через 1 .а1, и предоставляем читателю перенос результатов на случай правого дифференциала Если Т вЂ” тождественное отображение группы 0, то 1 '. аГ есть каноническая левая дифференциальная. форма е на О. Возвращаясь к общему случаю определения 8, имеем (~ . а1)„= =в!!„!оТ (1), следовательно, 1 '.
а) =1*(сь). Из этого вытекает, что) . сч принадлежит классу С~ !. Примеры. 1) Если 0 — алдитнвная группа полного нормируемого пространства Е и если произведено каноническое отождествление пространства Т,(Е) с Е, то )' '. а!! есть дифференциал Н)', определенный в Мн. Св. рез., 8.2.2. 2) Предположим, что 0 есть мультипликативная группа А*, ассоциированная с полной нормируемой алгеброй А. Тогда ) можно рассматривать как отображение из М в А, а значит, определен дифференциал с(! в смысле Мн. Св. рез., 8.2.2, и определено произведение 1 '!1) в смысле Мн. Св.
рез., 8.3.2. Ясно, что эта последняя форма совпадает с левым дифференциалом отображения г. Пведложвнне 58. Пусть 0 и Н вЂ” две группы Ли, М вЂ” многообразие класса С; ~ — отображение класса С' из М в 0 и о а ПЕРЕХОД От ГРУППЫ ЛИ К ЕЕ АЛГЕБРЕ ЛИ вот Ь вЂ” морфизм из 0 в Н. Тогда (ь и-'.д(ь и=у. (ь).(Г'.дй=(ь '.дь). т(г). В самом деле, каковы бы ни были хяМ и и ~Т„(М), (Ь о ~), д (Ь о !) (и) = ((Ь о ~)(х)), Т(Ь о ~) (и).
Это последнее выражение равно, с одной стороны, выражению Т(Ь)(!(х) .Т(!)(и)) (5 2, предложение 5)= = — Т,(Ь)((! '. а!)(и)) и, с другой стороны, выражению Ь(! (х)) 'Т(Ь)(Т(!)и) = =(Ь .дЬ)(Т(!)и). ПРедлОжение 59. Пусть 0 — группа Ли, М вЂ” многообразие класса С', !' и д — два отображения класса. С' из М в б и р — каноническая сюръекция многообразия ТМ на М.
(!) Имеем Щ ',с((~Я =(Ад о вор) 'о(~ '.й~)+ о '. с(д (й) Положим Ь(т)=г(т) для всякого т ~ М. Тогда Ь . с(Ь = — (Аб о ! о р) о (~ . ~Ц), Утверждение (!) следует из 9 2, и'2, предложение 7. Утверждение (В) следует из (!), если положить и=Ь. Следствие !. Пусть э ен О и ед — отображение х о-Р зд(х) из М в О. Тогда (зд '). д(эд) = д '.
дд. Это следует из предложения 59 (!), если взять в качестве ! постоянное отображение х -Рэ из М в О. Следствие 2. Если отображения ! и д из М в О имеют один и тот же левый дифференциал, то касательное отображение к ~д-' всюду равно нулю. Если, кроме того, К имеет характеристику О, то ~й ' локально постоянно.
В самом деле, согласно предложению 59, (Яа ),с((го ) = (А<$ одо р) о(~ .Щ) — (А<$ о аор) о(а,дд). Если ! '.с7=д .дд, то, стало быть, (~б ) .с((~у )=О, т. е. Т„Дд ') =О для всякого х~М. Это доказывает первое утверждение. Второе следует из него в силу Мн. Св. реэ., 5.3.3. ГЛ. )П. ГРУППЫ ЛН ПРядложяиия 60. Лусть 6 — группа Ли, конечномерная, если К имеет характеристику ) О, М вЂ” многообразие класса С', т — отображение класса С' из М в 6 и а — левый дифференциал отображения 1. Тогда да+ [а]) =О.
В самом деле, пусть з) — каноническая левая дифференциальная форма на 6. Используя следствие 1 предложения 51, и' 14, получаем йа = й()" ()з)) = ['(й)з) = ['( — [з)]з) = — [)'()з)]х = — [а]з. гУ. Алгебра Ли групускулы Ли В этом пункте через (6, е, 8, и)) обозначается некоторая групускула Ли. Значительная часть результатов настоящего параграфа остается в силе с теми же доказательствами. Мы изложим конспективно те из них, которые нам будут полезны. 18.1. Пусть 11 — множество определения закона композиции и). ПУсть (У, У') ыИ, 1~ Тг (6), Уев Т) )(6). Как в и'1, сверткой элементов 1 н 1', обозначаемой через 1»)', называется образ элемента 1® У при отображении т.
Полагаем У(0)= = т,'"'(О), и.(а) = т,")(а), и' (О) = т!"" (6), и,' (О) = т!' (а). Для 1, У из У(6) свертка (*У определена и принадлежит У(6). Относительно свертки У(6) является ассоциативной алгеброй с единицей е„фильтрованной пространствами У,(6). Канонический изоморфизм )о„из йги(6) на Т8(т,(6)) есть изоморфизм алгебр. 18.2. Пусть 6, Н вЂ” групускулы Ли, )р: 6-»Н — морфизм. Если 1~У(6), то образ У()р)(1) элемента 1 относительно )р,— это элемент из У(Н) и У()р) — морфизм алгебры У(6) в алгебру У(Н). Отображение 8: х -; х ' из 6 в 0 определяет отображение 1 сч из У(0) в У(0).
Для 1, У из У(0) свертка т»1', вычисленная в 6", равна свертке )'г), вычисленной в 6, и (1 г У) У = ~'~ * ) У. Имеем У ()р) (Р') = (У ()р) )) ~. Если 6),..., 6„— групускулы Ли и 0=0, Х... ХО„, то канонический изоморфизм из У(6,) Э ... 9 У(0„.) на У(6) есть изоморфизм алгебр; для 1„..., 1„из У(0) имеем ()) 8 ... 6> )„)" =1," Э ... 8 1„'~, Пусть )'. — подгрупускула Ли в 0 и ): Ь-»6 — каноническая инъекция. Тогда У()) есть инъективный гомоморфизм алгебры У ().) в алгебру У(6) и У())()ч)=(и(~)(1))У для всякого 1~У(1.). Наделенная сверткой и копроизведением, определенным структурой многообразия на 6, У(6) является биалгеброй, а У()р) есть морфизм биалгебр.
18.3. Пусть 6 — групускула Ли, Х вЂ” многообразие класса С' и ф — кусок закона левого действия класса С групускулы 0 $ а пеРехОД От ГРуппЫ ли к ее АлГевРе ли зов на Х. Пусть У! — множество, на котором определен ф. Если Г~Т~'~(6), и ен Т~; ~(Х)„а (д, х) я й и если а+ з'«г, то через (ли обозначается образ элемента Г 9 и при ф„. Пусть|~ Т"зи(6), (' ее Т"' (О), и я ТР (Х); если з + з' + з" «.=, г и если а', (ий') х, д'х, д(й'х) определены, то (!л !') л и =(л(!'ли). Пусть хаен Х и р(х,) — отображение ХР-Рдхсл которое определено в некоторой открытой окрестности элемента е.
Если (ее У„(6), то р(хз).! =!* ел,. Здесь н далее в этом пункте мы оставляем читателю перенос результатов на случай кусков законов правого действия. 18.4. Сохраним обозначения из !8.3. Пусть Ген У,(6), где з~~г. Пусть ! — функции класса С' на Х со значениями в отделимом полинормированном пространстве. Через Глг обозначается функция на Х, определенная формулой (( * !') (х) = (1, а ~ (ф (8 (д), х))) = =0ч ) „,(х)) — (р(х) УУ У) — ((У а„!) Если ГееУ,(6), Г'ееУ, (О), иенТ* (Х)и если я+з'~(г, то (Ги, 1л )) =(ГУ л Ми, )) и (( л Г) л 7 =( л (Г' л ~).
Пусть Ю ~ У,(6), ! и Т' — функции класса С' иа Х со значениями в отделимых поли- нормированных пространствах г и г"' соответственно, (и, и')Р-Р и.и' — непрерывное билинейное отображение из г Хт' в некоторое отделимое полииормированное пространство; пусть. л ~,1, 9 Г, '— Образ элемента Г относительно копроизведения; если Г 1 з(г, то л (*(11') = х',(! *1)Ж'Г). !8.5.
Сохраним обозначения из 18.3. Пусть Г ~ У,(6), где. з<г. Отображение х ~ле„называется полем точечных распределений, определенным элементом Г и куском закона действия ф, и обозначается иногда через Р~ илн Р,. Если ): Х-Рг"— ч функция класса С', то функция ГУ *! на Х обозначается также через Щ; она принадлежит классу С' *, если з < оо. Если ГееУ,(0), М'енУ, (О) и если з+з'<г, то Р~.с)=Рс (Р3.
Если 6 и Х конечномерны, то РГ есть дифференциальный оператор на Х порядка < з класса С' * (если з < Оо). Функция Щ есть тогда результат применения к функции ) этого дифференциального оператора. л!о ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ 18.6, Пусть 6 — групускулз Ли и 1а 6(0). Через Е» обозначается поле точечных распределений д» вЂ” »ауа1 на 6 и через й',— поле точечных распределений д —; 1эа на 6. Если 1ен я 2р"(6, Р), то Е,~ ~ йг"(О, Р) и Ц я йг"(6, Р). Для Е Р из Ю(6) получаем Е» ° с =Е»'Е»', К» ° » =)1» ' Кь Ес» К» =К» 'Ео В(Е,) = г,. 18.7. Поскольку Т,(0) есть множество примитивных элементов в 6(6), то (Т,(6), Т,(6)] с Т,(6).
Нормируемое проютранство Т,(6), наделенное операцией коммутирования, есть нормируемая алгебра Ли, называемая нормируемой алгеброй Ли трупускулы 0 (или ее алгеброй Ли) и обозначаемая через Е(6). Пусть Е(6) — ее универсальная обертывающая алгебра. Каноническая инъекция из Е (6) в 6 (0) определяет гомоморфизм ц алгебры Е(6) в алгебру 6(0); если К имеет характеристику О, ц есть изоморфизм биалгебры, с помощью которого Ю (6) отождествляется с Е (6). Примем вновь обозначения из 18.3, Для всякого а ~ Е (6) пусть д, — поле точечных распределений, определенное злементом а на Х.
Отображение (а, х) » Р,(х) есть морфизм класса С тривиального векторного расслоения 1.(6)к, Х в векторное расслоение Т (Х). Пусть 1— открытое подмножество в К, содержащее О, и т: 1»0 — ото.бражение класса С', такое, что у(О)=е. Пусть а=Та(у)1ы ~Е(6). Если 1: Х-»Р — функция класса С", то (Щ) (х) = !Пп й (! (у (й) х) — 1(х)). а к'.з о .Если г -:2, отображение а»1), есть закон инфинитезимального левого действия класса С" ' алгебры Ли 1,(0) на Х. 18.8.
Пусть 6 и Н вЂ” групускулы Ли, »р — морфизм из 0 в Н. Ограничение отображения 6(<р) на Е(0), являющееся не чем иным, как Т,(»р), есть непрерывный морфизм из Е(6) в 1,(Н), который обозначается через Е (~). Если ф — морфизм из Й в некоторую групускулу Ли, то Е(ф»»р) =Е(ф)» Е(»р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
