Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Чтобы»р был иммерсией, необходимо и достаточно, чтобы Е(»р) был изоморфизмом из Е(6) на некоторую подалгебру Ли в Е(Н), допускающую топологическое дополнение. В частности, если 0 .есть подгрупускула Ли в Н и если ф — каноническая инъекция, то Е(6) отождествляется с подалгеброй Ли в Е(Н) при помощи Е(»р). Если (6»),, — конечное семейство групускул Ли и Π— их произведение, то Е(6) канонически отождествляется 'с П Е (6») 18.9. Пусть 6 — групускула Ли, конечномерная, если К имеет .характеристику ) О. Пусть Р— полное нормируемое простран- т 5 А ПЕРЕХОД ОТ АЛГЕБР ЛИ К ГРУППАМ ЛИ З1Э ство.
Пусть а — дифференциальная форма степени й на 6 со. значениями в Р. Говорят, что а левоинвариантна на О, если а получается из а, с помощью отображения Ь ~уй окрестностй элемента е на окрестность элемента д. Если а левоинвариантна, то а аналитична. Отображение а а, есть биекция множества левоинвариантных дифференциальных форм степени я на 6 со. значениями. в Г на множество непрерывных й-линейных знакопеременных отображений из Т, (6) в Р. Если а, =1дт <оь то а называется канонической левой дифференциальной формой на 6.
Аналогичным образом определяют правоинвариантные дифференциальные формы и каноническую правую дифференциальную форму на О. Если в — каноническая левая дифференциальная форма на 6, то де+[в)Е=О. Пусть М вЂ” многообрааие класса С', 1 — отображение класса С' из М в 6. Левым. дифференциалом отображения ), обозначаемым через ) . й[, -1 называется дифференциальная форма степени 1 на М со значениями в Е(6), которая каждому вектору и ее Т (М) сопоставляет элемент [(Гп) .
(Т 1) (и). Имеем 7 . й[ =)'(в), йа+[а1 =О. Если два отображения [ и й из М в 6 имеют один и тот же. левый дифференциал н если К имеет характеристику О, то [д-' локально постоянно. й 4. Переход от алгебр Ли к группам Ли Напомним, что вплоть до конца главы мы предполагаем, что.
К имеет характеристику О. 1. Переход от морфизмов алгебр Ли к морфизмая групп Ли: Лемма 1. Пусть 6 — групускула Ли, 1) — подалгебра Ли в Е (0) допускающая топологическое дополнение. Совокупность надпространств у() (соотв. 5д) для й в= 6 есть интегрируемое векторное. подрасслоение в Т(6). Рассматривая левую тривиализацию расслоения Т(6) ($2, и' 3), мы сразу видим, что подпространства й() при у ее 6 суть. слои некоторого векторного подрасслоения Е в Т(0).
Пусть. дее О. Множество векторов вида (Е,), где а ее (), есть й(). НО. если а и Ь принадлежат подалгебре 5, то [Еы Еь) =Тпмы и [а, Ь) ~ 5. Стало быть, Е интегрируемо (Мн. Св. рез., 9.3.3 (!у)). Для подпространств 5й рассуждаем аналогично. Интегральное слоение (Мн. Св. рез., 9.3.2) расслоения, определенного совокупностью подпространств у() (соотв. йд), называется левым (соотв. правым) слоением на 6, ассоциированныме с ().
ТБОРБМА 1. Пусть О и Н вЂ” групускулы Ли, [ — непрерывный: морфизм из Е(6) в Е(Н). 312 ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ (1) Существуют открытая подгрупускула Ли 6' в 6 и мор- физм ф из 6' в Н, такие, что 1'=Ь(ф). (й) Пусть 6П бз — две открытыг подгрупускулы Ли в 6 и ф; — морфизм из 61 в Н, такой, что 1=Ь(ф,) для 1 1, 2. Тогда ф, и фг совпадают в некоторой окрестности элемента е. Пусть р,: 6Х Н 6, р;.
6ХН-РН вЂ” канонические про екцин. ДлЯ всЯкого (д, й) ен 6 Х Н пУсть 1г,ь — отобРажение иа Р 61(а) из Т,(6) =дЬ(6) в Ть(Н) =йЬ(Й). Рассматривая левые тривиализации расслоений Т(6) и Т(Н), сразу видим, что совокупность отображений 1г,ь определяет морфизм из р, Т(6) в р,'Т(Н). Пусть а — график отображения 1; это замк- нутая подалгебра в Ь (6) Х Ь (Н), которая допускает (О) Х Ь(Н) в качестве топологического дополнения.
Для всякой пары (й, й) ~ 6 Х Н график отображения 7 „есть (й, й).а. Объеди- нение этих графиков есть интегрируемое векторное подрасслое- ние в Т(6ХН) (лемма 1). Существуют тогда (Мн. Св. рез., 9.3.7) открытая окрестность У элемента ео в 6 н такое анали- тическое отображение ф из 6 в Н, что ф(ео) =ен и Тг(ф)= 11 для каждого й ея 6. В частности, Т,о(ф) =1. Пусть У вЂ” открытая окрестность элемента ео в 6, такая, что для (з, 1) ен УХ У определены произведения з1 и ф(з)ф(1), причем з1 ен 6. Рассмотрим отображения ап ое из У Х У в Н, определенные формулами а,(з, 1)=ф((з), а,(з, 1)=ф(1)ф(з).
'Тогда а, (Ь е) = ф(1) = а,(Ь е). С другой стороны, зафиксируем 1 в У, и пусть (),— отображение з ~ а,(з, 1) из У в Н. Для всякого ген У н всякого а ен Ь(6) Т, (й,) (за) = Т„(ф) ((за) = Ун, е нл (1за) = = ф (1з) 1(а) = 1, <о (за), Т, (йг) (за) = ф (1) Т, (ф) (за) = ф (Е) 1',, ьи (за) = = ф (1) ф (з) ) (а) = 1, „(за). Значит (Мн.
Св. рез., 9.3.7), а, и а, совпадают в некоторой окрестности элемента (ео, ео). Ограничение морфизма ф на до- статочно' малую открытую симметричную окрестность эле- мента ео является, следовательно, морфизмом групускул Ли, откуда вытекает (1). Пусть 6„6„ф„фз — те же, что в (В), и докажем, что фо фг совпадают в некоторой окрестности элемента ео. Существует открытая окрестность )У элемента ео, такая, что ф, ((з) =%(1)ф1(з) фт(тз)=фа(1)ф,(з), каковы бы ни были з, 1 в Ж. 8 3 4.
пеРехОд От АЛГевР ли к ГРуппАм ли Тогда если зя ЯУ н а ее Е(6), то 3!3 т Ы(ва) =В(8) Т (В)(а) =%! (8) 7(а) =Е, < 1(8а) 2. Переход от алгебр Ли к группая Ли Мы будем обозначать через Н(Х, У) ряд Хаусдорфа (гл. 11, $6, и 4, определение 1). Лемма 2. Пусть Š— полная нормированная алгебра 7и над Я или С. Пусть 6 — множество таких х еыЕ, что 1~ х1< 3 1ой 3 . 1 3 Пусть Π— отображение х~ — Р— х из 6 в 6. Пусть Н вЂ” ограничение на 6 Х 6 функции Хаусдорфа алгебры Ли Е (гл.
1!, $7, п' 2). (1) (6, О, О, Н) есть групускула Ли. (В) Пусть ф — тождественное отображение из 6 в Е. Дифференциал отображения ~р в О есть изоморфизм нормируемой алгебры Ли Е(6) на Е. (1) следует из гл. П, $7, п' 2. Поскольку у есть карта на 6, дифференциал ф отображения у в О есть изоморфизм нормируемых пространств. С другой стороны, разложение в степенной ряд Н = ~, Нп отобран!;Рь для 1=1, 2. Поскольку ф,(ео)=е„=щ(ео), нз Мн. Св.
реэ., 9.3.7, заключаем, что щ, и щ совпадают в некоторой окрестности элемента ев. Следствие 1. Пусть 6 и Н вЂ” две групускулы Ли. Если Е(6) и Е(Н) изоморфны, то б и Н локально изоморфны. Это вытекает из теоремы 1 5 1, и' 10, предложение 21. Следствие 2. Пусть 6 — групускула Ли. Если Е (6) коммутативна, то б локально изоморфна аддитивной группе,7и пространства Е (6).. В самом деле, алгебра Ли аддитивной группы Е(6) изоморфна Е(6). Достаточно, значит, применить следствие 1. Следствие 3. Пусть 6 — группа Ли.
Если Е (6) коммутативна, б содержит открытую коммутативную подгруппу. Существует открытая подгрупускула Ли П в 6, которая коммутативна (следствие 2). Пусть у' — окрестность э.чемента е, такая, что у'Хс:(Е Тогда ху = ух, каковы бы ни были х, у в У. Стало быть, подгруппа в 6, порожденная окрестностью 1~, коммутативна; она, очевидно, открыта. ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ 1 жения Н таково, что Нп (х, у) = — [х, у). Согласно предложению 2 24 $3, получаем для произвольных а, Ь из Б(0) ф([а, Ь1) =НИ(Ф(а), ф(Ь)) — Нп (ф(Ь), ф(а)) = [ф(а), ф(Ь)[, .что доказывает (й). Говорят, что 6 есть групускула Ли, определенная алгеброй Ли Б. Предположим, что К вЂ” ультраметрическое поле. Пусть р— характеристика поля вычетов поля К Если рным, положим А=1р1~Р 1; если р= О, положим Х= 1.
Лемма 3, Пусть Б — полная нормированная алгебра Ли над К. Пусть 6 — множество тех х ен Б, для которых ~~ х ~~ < А. Пусть Н:0 Х 6 — РΠ— функция Хаусдорфа алгебры Ли Б (гл. П, $8, и' 3). (1) Будучи наделено законом композиции Н, 0 становится группой Ли, в которой О есть единичный элемент и для всяжого хан 6 обратным к нему элементом является — х. (й) Пусть ф — тождественное отображение из 0 в Б. Дифференциал отображения ф в О есть изоморфизм нормируемой алгебры Ли Б(6) на А. (й1) Для всякого 14~11+ пусть 6 — множество тех хек 1., ~ для которых 1~ х ~~ < 14.
Тогда множества О„при 14 < А образуют фундаментальную систему открлтых и замкнутых окрестностей элемента О и являются подгруппами в 6. Утверждения (1) и (Гй) вытекают из предложения 3 гл. 11, $ 8, и 3, а (й) доказывается, как в лемме 2. Говорят, что 0 есть группа Ли, определенная алгеброй Ли Б.
Теоэвмл 2. Пусть Б — полная нормируемая алгебра Ли. Существует групускула Ли 6, такая, что Б(0) изоморфна ь. Две такие групускулы Ли локально изоморфны. Первое утверждение следует из лемм 2 и 3. Второе утверждеячие вытекает нз следствия 1 теоремы 1 и' 1. Слвдствив 1. 'Пусть 0 — группа Ли. Существуег окрестность элемента е, не содержащая никакой конечной подгруппы, отличмой от (е). Если К=К или С, существует окрестность элемента е, не содержащая никакой подгруппы, отличной от (е). Положим Б(6)=Б. Выберем норму на 1,, которая определяет топологию иа Б и такова, что $[х, у) ~~(~~[к!Иу)(, каковы бы ни были х, у из Б. з ь. пеггход от ллгввт ли к ггтппьм ли З1Ь Предположим, что К = К или С. Пусть 6' — групускула Ли, определенная алгеброй Ли У,.
Существуют открытый шар 6' в 6 с центром в О и изоморфизм ф групускулы Ли 6' на открытую. окрестность Н элемента е в 6. Пусть У'= — Н', У=ф(У'), Н вЂ” подгруппа в 6, содержащаяся в У, и Ь енН. Положим х=ф-' (Ь) ~ У'. Если х Ф О, существует целое число п ) О, такое, что х, 2х, ..., пх лежат в У', (и+ 1)х ~ 6', (и+ 1)х ф У', Тогда Ь, Ь~...
„Ь" лежат в У, Ь"+ енН, Ь"+ ФУ, что невозможно Стало быть„Н = (е). Предположим, что К ультраметрично. Достаточно доказать. следствие в случае, когда 6 есть группа Ли, ассоциированная с 1., Если д~6, то степени элемента и, вычисленные в 6, суть целые кратные элемента и, вычисленные в 7.. Последние попарив различны, если а ~ е, Значит, 6 не содержит никакой конечнок подгруппы, отличной от (е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
