Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В частности, 1р'(х) = Е(1р) (х) для всякого х ~ Е (Н). Действительно, пусть 1 — тождественное отображение из А в А. Для любого 1 енУ ' 1(Н) имеем Ф (1) = (1 Ф) = (1 1' Ф) = =(1р. (1), 1) (Мн. Св. рез., 13.2.3). 10. Алгебры Ли некоторых линейных групп Пусть Š— полное нормируемое пространство. Тогда 2'(Е) есть полная нормируемая алгебра с единицей и 61.(Е) есть группа Ли. Согласно следствию из предложения 33 и' 9, при каноническом отождествлении пространства Т1 (61. (Е)) с 2'(Е) структура алгебры Ли в Е (61.
(Е)) задается коммутатором (х, у) ху — ух двух элементов из .У (Е). В частности, 1. (61. (и, К)) канонически отождествляется с 61(п, К) (гл. 1, $1, и'2). ПРвдложенив 35. Пусть Š— конечномерное векторное пространство. Пусть Ф вЂ” морфиям д бе1 д группы Ли 61. (Е) в группу Ли К*. Отображение Е(1р) из й(Е) в К есть отображение х ~Тгх. Ядро 81.(Е) морфизма Ф является подгруппой Ли в 61. (Е) с алгеброй Ли 81(Е). Выберем норму н базис в Е. Разложение определителя показывает, что бе1(1+ и) ~ 1 + Тги+ о(1и1), когда и стремится к О в У(Е). Стало быть, ввиду предложения 34„п'9, для хек.й(Е) =Е(61.(Е)) имеем Ь(1р) (х) = (х, 1р) = Тг(х), Отсюда следует, что Ф есть субмерсия.
Следовательно, КегФ= = $1. (Е) есть подгруппа Ли в 61. (Е), алгеброй Лн которой является Кета(Ф) = 81(Е). Ч. Т. Д. Пусть Е„..., ń— полные нормируемые пространства и Š— их прямая сумма. Любой элемент х ~ж .х (Е) представляется матрицей (х11)1<1 <„, где хиенУ(Е1, Е1).
ПРвдложение 36. Пусть ! — подмножество множества (1, 2, ..., и), Π— подгруппа в 61. (Е), образованная такими у = =(д11),<1 <„ен61.(Е), что ди —— О при 1(1 и ди —— 1 при % а пеРеход От ГРуппы ли к ее АлГеБРе ли 287 юе ! ~ !. Тогда 6 является подгруппой Ли в 6!. (Е), а Ь(6) есть множество таких х=(хп),< <„~Я(Е), что хи =О при ! ( ! и хи =О при 1~ 7, Пусть Я вЂ” множество тех (хн) ен.'х'(Е), для которых хи = О при ! < 1 и хи = О при 1 ен Т.
Тогда 6 представляет собой пересечение группы 6!.(Е) с аффинным подпространством 1 + 5 в Ы'(Е). Стало быть, 6 является подмногообразием в 6!.(Е) и касательное пространство к 6 в 1 отождествляется с 5. Ч. Т. Д. В частности, в б!.(и, К) нижняя расширенная треугольная подгруппа и нижняя строго треугольная подгруппа, определенные так же, как в Интегр., гл. у'!1, 5 3, и'3, суть подгруппы Ли с алгебрами Ли т(п, К) и п(п, К) (гл. 1, 2 1, и'2). ПРедложение 37. Пусть А — ассоциативная полная нормируечая алгебра с единицей, х~ — ь х' — линейное непрерывное отображение иэ Л в Л, такое, что (х') =х, (ху) =у'х', каковы бы ни были х, у из А.
Преоположим, что К имеет характеристик» ~ 2, и 6 — подгруппа в А', образованная элементами х е= А, для которых хх' =х"х = 1, Тогда 6 является тдгруппой Ли в А' и Е(6) есть множество таких у е= А, что у' = — у. Пусть 5 (соотв. 5') — множество таких элементов у ~ Л, что у = у" (соотв. у = — у"). Тогда Я, Е' суть замкнутые векторные надпространства в А. Формула 2(У У)+ 2(У показывает, что А является прямой топологической суммой подпространств 5 и Я'. Пусть ! — отображение из А в 5, определенное формулой ) (х) = хх'. Это отображение аналитична, Для всякого у ее А имеем !(1+ у) = 1+ у+у'+ уу', выберем норму в А, согласованную с ее структурой алгебры.
Тогда 1(1+ у) еи 1+ у+ у'+о9 у!!) для у, стремящегося к О. Таким образом, Т, ()) (у) = у+ у', так что ! есть субмерсия в 1. Следовательно, существует такая открытая окрестность П элемента 1 в А, что ПП6 есть подмногообразие в П. Стало быть ($ 1, и'3, предложение 6), 6 является подгруппой Ли в А*. Кроме того, Е(6) =Т,(6) = КегТ,()). Следствие 1. Предположим, что К имеет характеристику Ф2. Пусть Š— конечномерное векторное пространство над К и ~р— — билинейная симметрическая (соотв.
энакопеременная) невырож'енная форма на Е. Для любого и ее 2'(Е) пусть и' — эле- Гл. пь ГРуппы ли мент, сопряженный к и относительно ф, и 6 — ортогональная (соотв. симметрическая) группа для ф. Тогда 6 является подгруппой Ли в б$. (Е), а У.
(6) есть множество таких х ен Ы (Е), что х = — х. Применяем предложение 37 с А =Ю(Е) и х'=х'. Замечание, Пусть  — базис в Е и У вЂ” матрица формы ф относительно В. Тогда У.(6) есть множество тех элементов из Ы'(Е), для каждого из которых его матрица Х относительно В удовлетворяет равенству Х = — УХУ Это следует из Алг., гл.
1Х, $ !, формула (50). Слздствив 2. Пусть Š— комплексное (соотв. вещественное) гильбертово пространство, УУ вЂ” унитарная группа пространства Е. Тогда сУ является вещественной подгруппой Ли в б). (Е) и У. ((У) есть множество таких хин.У(Е), что х'= — х. Применяем предложение 37, полагая А =.'х (Е) (мы рассматриваем ее здесь как алгебру над К) и х' = х'. Следствия 3. Пусть Š— конечномерное комплексное векторное пространства, ф — невырожденная полуторалинейная эрмитова форма на Е, (У вЂ” унитарная группа формы ф. Тогда (У есть вещественная подгруппа Ли в б(. (Е) и У, ((У) есть множество таких х ец Ю (Е), что элемент (х эрмитов. Если Е чь (0), то У ие является содгруппой Ли комплексной группы Ли Пь(Е), поснольку Е(У) ие есть комплексное векторное подпрострвнство в Ы (Е).
17. Линейные представления Пусть 6 — группа Ли, Š— полное нормируемое пространство, и — линейное аналитическое представление группы 6 в Е ($1, п'2). Ассоциированный морфизм !и (г,п) изйт ~ >(6) вЫ'(Е) является морфизмом алгебр (п'9, предложение 33), и его ограничение на Е(6) есть Е(п). Стало быть, У.(п) есть представление алгебры Ли У. (6) в Е (гл: 1, 5 3, определение 1). Предложение 38. Рассмотрим левое действие группы 6 на Е, заданное отображением (Е, х) ~п(д)х. Пусть Ь~ Е и р(Ь)— соответствующее орбитальное отображение. Отождествим канонически Ть(Е) с Е. Для всякого 1~ Е(6) (Е(п) 1) (Ь) =(1, р(Ь)) = р(Ь),! = 1 ввь.
В частности, векторное поле, определенное элементом У на Е, есть Ь ~-м (Е (и) !) (Ь), $ а пеРехОд От ГРуппы лн к ее АлГеБРе ли 289 Имеем Е (и) ! = (1, и) (и' 9, предложение 34). Поскольку отображение А Р АЬ из 2'(Е) в Е линейно и непрерывно, выводим отсюда, что (Е (и) !) (Ь) = (1, д и (д) Ь) = =(1, 1й,.р(Ь)) = (р(Ь),!а 1ое) (Мн. Св. рез., 13.2.3)= = р(Ь)„Е Наконец, р(Ь),! !ьеь (и'3, предложение 14(Я)). Пведложение 39.
Предположим, что К имеет характеристику О. Пусть 6 — группа Ли, Š— конечномерное векторное пространство, и — линейное аналитическое представление группы 6 в Е. и Е1, Еб — такие векторные надпространства в Е„что Егс: Е,. Множество 6, таких элементов у~6, что п(д)х=х (птойЕ,) для всякого хее Е„есть подгруппа Ли в 6 и Е(6,) есть множество таких элементов а ее Е (6), что Е (и) а отображает Е, в Е,, Это следует из предложений 29 (и'8) и 38 (п' 10). Следствие 1.
В обозначениях предложения 39 множество элементов дбе 6, таких, что п(д) Е, с: Е„является подгруппой Ли в 6, и ее алгебра Ли есть множество таких элементов а ее Е(6), что Е(п) а отображает Е, в Ен Надо применить предложение 39 с Е,=Е,. Следствие 2. Пусть 6, Е и и такие же, как в предложении 39, и Г" — подмножество в Е. Множество таких ден 6, что и (д) х = х для всякого х ее Р, есть подгруппа Ли в 6, и ее алгебра Ли является множеством таких а ее Е(6), что (Е(п)а)(х) =0 для любого х~ Р. Применяем предложение 39, где Е, = (0) и Е, — векторное подпространство в Е, порожденное множеством Р. Ч. Т.
Д. Пусть п„п„..., и„— линейные аналитические представления группы 6. Ясно, что прямая сумма и представлений и, (Алг., гл. Ъ'111, $ !3, и' !) есть линейное аналитическое представление группы 6 и что Е(п) есть прямая сумма представлений Е(п,), Е(пг), ..., Е(п„) (гл. 1, $3, и' 1). Пведложение 40, 'Пусть 6 — группа Ли, Š— полное нормируемое пространство, и — линейное аналитическое представление группы 6 в Е, г — замкнутое векторное надпространство в Е, устойчивое относительно п(6).
Предположим, что либо 1А имеет . характеристику О, либо Р есть прямое слагаемое в Е. !О Н. Бурбака ГЛ. НЬ ГРУППЫ ЛИ взо (1) Подпредставление и, и факторпредставление пт предста. вления и, определенные подпространством Е, суть аналитические представления. (й) г' устойчиво относительно Ь (и) (Ь (6)). (!В) Пусть р~ и рт — соответственно подпредставление и факторпредставление представления Е (и), определенные подпростран'ством Е. Тогда Ь(п,) =р„й(пт) =рт. Пусть А — множество таких иеи2'(Е), что и(Е) с=р. Тогда А является замкнутым векторным подпространством в 2'(Е) и и принимает значения в А. В силу предположений относительно К и Е отображение и': 6-+ А, имеющее тот же график, что и и, аналитично (Мн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
