Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 63
Текст из файла (страница 63)
рез., 8.4,5. Предположим, что Г -:2, Пусть а, Ь лежат в Е(6) и 1— функция класса С' на некотором открытом подмножестве нз Х. Имеем Рьь, ы[ = Рь (О 7) — Р (Рь[) (в силу (17)) = = [0„0„[ [ (Мн. Св. рез., 8,5.3). Пусть х ~ Х. Взяв в качестве 1 отображение, задаваемое какой-нибудь картой иа Х, область определения которой содержит точку х, получаем из этих равенств Рм, ы(х) =[Рь, 0,[(х), откуда следует (ш). Аналогично рассуждаем в случае, когда 6 действует на Х справа.
Ч. Т. Д. Вели т 2, отображение а т-Р О, называется инфиннтезимальным законом действия, ассоциированным с данным законом действия. ГЛ. 1П, ГРУППЫ ЛИ а. Свойства функториалвности алгебры Ли Пусть 6 и Н вЂ” группы Ли, ф — морфизм из 6 в Н. Ограничение отображения 0 (!р) на пространство Е (6) (которое есть не что иное, как Т,(ф)) является непрерывным морфизмом пространства Е (6) в Е (Н); мы обозначаем его через Е (ф). ЕСЛИ ф — МОрфИЗМ ИЗ Н В НЕКОтОруЮ ГруППу ЛИ, тО Е(фо1р)= Е (ф) о Е (ф), Для того чтобы ф был иммерсией, необходимо и достаточно, чтобы Е (ф) был изоморфизмом из Е (6) на некоторую подалгебру Ли в Е(Н), допускающую топологическое дополнение. В частности, если 6 — подгруппа Ли в Н и ф — каноническая инъекция, то Е(6) отождествляется с некоторой подалгеброй Ли в Е(Н) при помощи Е(ф).
В еще более частном случае, когда С вЂ” открытая подгруппа в Н, имеем Е(6) =Е(Н). Если 6 — квазнподгруппа Ли в Н, то А (о) также отожкествлветси с замкнутой подалгеброй Ли в Е (Н). Для того чтобы ф был субмерсией, необходимо и достаточно, чтобы Е(1р) был сюръективен и его ядро допускало топологическое дополнение. В этом случае ядро Ф морфизма ф является подгруппой Ли в 6 и Е(Ф) = КегЕ(ф).
В частности, если Н— факторгруппа Ли группы 6 по нормальной подгруппе Лн Р, то Е(Р) есть идеал в Е (6), и если ф — каноническая сюръекция из 6 на Н, то Е(6)Р) отождествляется с Е(6)/Е(Р) прн помощи морфнзма, получающегося нз морфизма е(1р) посредством перехода к фактору. Пусть! — конечное множество, (6,)1, — семейство групп Ли, 6 — их произведение, р! — канонический морфизм из С на 6,. Тогда (Е(р1))! ! является морфизмом алгебры Ли Е(6) в алгебру Ли Ц Е(6,) н нзоморфизмом нормируемых пространств. Мы отождествляем, значит, Е (6) с П Е (О!) посредством Е, (р,), 1а! Придложпнип 28. Пусть 6 и Н вЂ” группы Ли, 1р — морфизм из 6 в Н.
Предположим, что К имеет характеристику О и Н конгчномгрна. (!) Ядро Н морфизма 1р есть подгруппа Ли в О и Е(У)= = КегЕ(!р). (й) Морфизм ф из С/1ч' в Н, получающийся из ф посредством перехода к фактору, является иммгрсигй. (ш) Если ф(6) замкнуто в Н и топология в 6 имеет счетный базис, то ф(6) есть подгруппа Ли в Н, ф есть изоморфизм группьс Ли О/1ч' на группу Ли !р(6) и Е (ф(6)) =1!и Е (ф). $ а пеРехОд от ГРуппы ли к ее АлГеБРе ли 283: Зададим левое действие группы б на Н с помощью отображения (д, Ь) эф(д)Й. Достаточно применить к орбите элемента е предложение 14 $1, п'7. ПРедложение 29.
Пусть б и Н вЂ” группы Ли, ф — морфизм из 6 в Н. Предположим, что К имеет характеристику О и группа Н конечномерна. Если Н' — подгруппа Ли в Н, то б'=ф '(Н') есть подгруппа Ли в б и Е(6')=Л(ф) '(Е(Н')). Пусть п — каноническое отображение из Н в однородное пространство Х = Н/Н'. Зададим действие группы 6 слева на Х с помощью отображения (д, х) «ф(у)х. Стабилизатором элемента п(е) служит подгруппа б', являющаяся, стало быть, подгруппой Ли в 6 (5 1, п'7, предложение 14). Орбитальное отображение для элемента п(е) есть п«ф. В силу предложения 14 „ $1 Ь(6') есть ядро морфизма Ь(п«ф) =Т,(п) «Ь(ф). Ядром морфизма Т,(п) является Т.(Н') 5 1, и'б, предложение 11(!)), и, стало быть, Кегй(п«ф) =Ь(ф) '(Т. (Н')).
Следствие 1. Пусть 6, Н вЂ” группы Ли, ф, и фт — морфизмы из 6 в Н. Предположим, что К имеет характеристику О и Н конечномерна. Множество таких у~б, что щ(й)=фт(й), является подгруппой Ли 6' в б, а Ь(6') представляет собой множество тех хенЕ(6), для которых 1,(ф,)х=Е(ф,)х.
Положим ф(у) =(ф, (у), фз(д)) для всякого д~ 6, так что ф есть морфизм из 6 в Н Х Н. Пусть Л вЂ” диагональная подгруппа в НХН. Тогда 6'=ф '(Л) н 1.(ф)х=(Е(ф,)х, Е(фт)х) для каждого к~ Е (6). Достаточно применить теперь предложение 29. Следствие 2. Пусть 6 — конечномерная группа Ли, б, и бу — две подгруппы Ли в б. Предположим, что характеристика поля К равна О. Тогда 6, Ц бт есть подгруппа Ли в 6 с алгеброй Ли Ь(61) Йе(бт).
Применяем предложение 29 к каноническому вложению подгруппы б, в 6 и к подгруппе 6,. Следствие 3. Пусть 6, 6', Н вЂ” группы Ли, ф: 6-«Н и ф'. 6'- Н вЂ” морфизмы групп Л'и. Предположим, что К имеет характеристику О и Н конечномерна. Пусть г' — множество тех (й, й') ее 6 Х б', для которых. ф(д) = ф'(Р'). Тогда р есть подгруппа Ли в 6 Х б' и Е (г) есть множество таких (х, х') ~ е (6)Х Х Е (6'), что Е (ф) х = Ь (ф') х'. Применяем следствие 1 к морфизмам (д а') «ф (к) н (й* к') «ф'(й') из 6Х6' в Н. Пведложение 30. Пусть б — конечномерная группа Ли со счетным базисом, Н и Н' — подгруппы Ли в 6. Предположим, что К имеет характеристику О и НН' локально замкнуто в б. 284 ГЛ.
ПЕ ГРУППЫ ЛИ (1) НН' есть подмногообразие в 6 и Т,(НН') = Е(Н) + Е(Н'). (И) Предположим, что всякий элемент из Н пгрестановочен со всяким элементом из Н'. Тогда НН' есть подгруппа Ли в 6. Пусть ф — отображение (Ь, Ь') ЬЬ' из НХ Н' на НН'. Ядро морфизма ф есть множество пар (т, т '), где т~Н()Н', и морфизм из (НХН')/Кегф на НН', получающийся из ф переходом к фактору, является изоморфизмом групп Ли. Зададим левое действие группы Н Х Н' на 6 с помощью отображения ((Ь, Ь'), й) ~.ЬдЬ'-'. Орбитальное отображение р для е есть (Ь, Ь)) ~ЬЬ' '.
В силу предложения 14 (1И) из 51, п'7, НН' является подмногообразием в 6 и Т,(НН') =1шТ,(р), Однако Т,(р)(Е(Н) Х (О)) = Е(Н) и Т,(р) ((О) Р', Е (Н')) = Е(Н'); стало быть, Т,(НН) = Е(Н)+ Е(Н'). Предположим, что всякий элемент из Н перестановочен со всяким элементом из Н'. Тогда НН' есть подгруппа в 6. В силу (1) это подгруппа Ли в'6. Оставшаяся часть утверждения следует из предложения 28. Пяедложенне 31. Пусть 6 — конечномерная группа Ли со счетным базисом, Н вЂ” нормальная подгруппа Ли в 6, А — подгруппа 7и в 6.
Предположим, что К имеет характеристику 0 и АН замкнуто. Пусть ф — канонический морфизм из 6 на 6/Н. Тогда канонические отображения А/(Н П А) — 'ф (А) АН/Н-+ ф (А) суть изоморфизмы групп Ли. В силу предложения 30 АН есть подгруппа Ли в 6. В силу следствия 2 предложения 29 Н() А есть подгруппа Ли в 6. Таким образом, можно говорить о группах Ли АН/Н и А/(Н Г) А). О другой стороны, ф (А), будучи каноническим образом подмножества АН в 6/Н, замкнуто и, стало быть, является подгруппой Ли в 6/Н (предложение 28 (И!)).
Предложение 28, примененное к сквозным морфизмам А- 6- 6/Н и АН- 6-ь6/Н, показывает, что канонические отображения, указанные в предложении, суть изоморфизмы групп Лн. Пиедложение 32. Пусть 6 и Н вЂ” группы Ли, /г — замкнутое недискретное подполе в К, ф — морфием из 6 в Н как групп Ли над Ь. Предположим, что К имеет харак~еристику О. Если Е(ф) является К-линейным морфизмом, та ф есть морфизм структур групп Ли над К. Для всякого денО Т,(ф) =Т,(у(ф(д))).Е(ф). Т,Ь(й)-'), следовательно, отображение Те (ф) является К-лннейным. Предложение следует тогда из Мн. Св. рез., 5.14.6.
9 5 К ПЕРЕХОД ОТ ГРУППЫ ЛИ К ЕЕ ЬЛГЕВРЕ ЛИ У. Алгебра Ли группы обратимых влементов алгебры Пусть А — ассоциативная полная нормируемая алгебра с единичным элементом е и А" — группа обратимых элементов из А. Мы видели ($1, п'1), что А — открытое подмногообразие в А и группа Ли. Пусть 6 — группа Ли, ) — морфизм группы Ли 6 в группу Ли А". Можно рассматривать 1 как аналитическое отображение из 6 в полное нормируемое пространство А.
Стало быть, если 1~У '"'(6), то можно образовать выражение (1, 1), которое является элементом из А. ПРедложение ЗЗ. Отображение Г «(С 1) есть морфием алгебры У '"'(6) в алгебру А. Достаточно проверить, что если 1 н У вЂ” точечные распределения на 6, то (1ь 1', [) =(1, [)(1', [). Однако (1*1',0=(191', (б,а') [(аа'))= =(181', (а, а') 1(б)1(а'))= =(Е 1)(1', 1) (Мн. Св. рез., 13.4.3).
Ч. Т. Д. Морфнзм из предложения 33 называется морфизмом, ассоциированным с [. Возьмем в качестве 6 саму группу А* и в качестве 1 — тождественное отображение ~ группы А*. Мы получаем морфизм (именуемый каноническим) алгебры У '"'(А') в алгебру А. Касательное пространство Т,(А*) канонически отождествляется с А, и если 1 ~ Т,(А'), то из определения этого отождествления вытекает, что (1, ~) = Е Коль скоро это так, предложение ЗЗ влечет за собой следующее Следствие. Каноническое отображение ь из Е(А*) в А есть изоморГризм алгебры Ли Е(А") на алгебру Ли А, Другими словами, ь ([а, Ь) ) = ь (а) ь (Ь) — ь (Ь) ь (а), каковы бы ни были а, Ь из Е(А'). Если К имеет характеристику р ) О, то ь(аР) = ь(а)й для всех а ~ Е (А").
С этого момента мы отождествляем Е(А*) и А при помощи изоморфизма ь. Канонический морфизм из У < '(А*) в А был получен в качестве частного случая морфизма из предложения 33. Но можно рассуждать в обратном порядке. ПРедложение 34. Пусть Н вЂ” группа Ли, А — ассоциативная полная нормируемая алгебра с единицей, ~р: Н вЂ” «А' — морфием групп Ли. Ассоциированный морфизм у' из У 1 > (Н) в А полу- ГЛ. 1П. ГРУППЫ ЛИ 288 чается в результате композиции морфизма Ф, и канонического морфизма из У 1"> (А') в А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
