Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Пусть 1~У с">(6) и уев 6. Тогда ееТ1= = е е1 ь е . Если 1 ы Ь (6), то е Т1 = у$ц ' (последнее произведение вычисляется в группе Т(6)). В самом деле, образ элемента ее относительно копроизведемия есть ег З е . Следствие 3. Пусть а ен Л(6). Векторное поле, определенное элементом а и левым действием д э 1п1у группы 6 на 6, есть иоле Р,— Ь„. В самом деле, значение этого полн в элементе у равно аТе„= а е ее — ег ь а (следствие 1) = (Р, )е — (Е,) (определение 5).
Ч. Т. Д. Для любого у~ 6 и любого 1 и=Е(6) (25) (Аб д) (1) = е Т1 = е ь 1 ь е — с = Ать '. Поскольку Аду= Т,(1п1д), предложение 42 п'11 доказывает, что Ас) есть линейное аналитическое представление группы 6 в нормируемом пространстве Е(6). Опгвделнние 7. Представление Ад группы 6 в Л (6) называется присоединенным представлением группы 6. Пгидложвииа 44. Для всякого а ен Ь(6) (Ь (Ас))) (а) = ад с сос а. ьт ГЛ. ИЬ ГРУППЫ ЛИ Пусть ЬяЕ(С).
В силу предложения 42 (И) и' !! и следствия 3 предложения 43 (Е (Аб)) (а) . Ь = — Я вЂ” Е, Еь[(е). Однако Е, о Еь — — Еь ° Е, (и' б, предложение 23 (И)), откуда [)Г„Еь]=О; опять приняв во внимание предложение 23 (И), получаем (Е (А б)) (а) . Ь = [Еа, Еь[ (е) = Еуь и (е) = [а, Ь[ = (а ба»о»а) Ь. ПРвдложвниа 45. Предположим, что 0 канечномерна и что К имеет характеристику О. Пусть з — целое число:О. Тогда отображение Гп д«-«Або,<о»(д) есть линейное аналитическое пред ставление группы 6 в О, (6) и Е (к) а = або, иь а для лк»бого а ен Е (6). Линейное представление к есть фактор представления Я ®Т'(Аб), и, значит, оно аналитнчно. Для а ен Е(6) и х„ Г~5 хм ..., х, из Е (6) 8 (Е(п)а)(х»хз ... х) = ~, х, ... (Е(АЙ)а.х») ...х, (предложение 4!) = !=1 ='к.
х» ° ° ° ([а х [) ° .. х, (предложение 44) = »» = (або, ~о»а) (х»хз .. х,). Пввдложвнив 43. Пусть Ья6, хенТ„(0) и а я Е(0). Пусть ф — отображение (у, 3') «уд'д ' из 6 Х 0 в 6. Образ у элемента (а, х) ~ Т,(6) Х Т„(6) относительно Тм ь»(ч») есть у=х+ + Ь ((Аб Ь ') а — а), В самом деле, у = (Топ ы»р) (а Э в„+ е, З х) = а Т е„+ в, Т х = = а ь вь — вь ь а + х = Ь ((А б Ь ') а) — Ьа + х.
ПРвдложвнив 47. Пусть 6 — группа Ли, Н и Š— подгруппы Ли в О, и предположим, что ЬЕЬ '=Е для всякого Ь~Н. Тогда У»» (Н) ТУ <» (Е) с: У <» (Е). В частности, Ад (Н) (Е (Е)) с Е (Е) и [Е (Н), Е (Е)[ с Е (Е). В самом деле, если 1~У ' '(Н) и !'енУ ' >(Е), то М Э У~ енУ < ЦНХЕ) и образ множества НХЕ при отображении (д, 3')» — «уу'д ' содержится в Е. 5 а пеРЕхОд От ГРупПЫ ли к ее АлГеБРе ли ПРедложение 48. Пусть 6 — группа Ли, Н и Š— подгруппы Ли в 6. Предположим, что 6 как группа Ли есть полупрямое произведение подгруппы Н на Е.
Пусть р — линейное представление и «(Аду)[Е(Е) группьс Ли 6 в Е(Е) (см. предложение 47), и пусть а — ограничение представления р на Н. Тогда (1) Е(6) — топологическая прямая сумма пространств Е (Н) и Е(Е); (й) Е(Н) — подалгебра в Е(6), Е(Е) — идеал в Е(6); (щ) Е (а) есть линейное представление алгебры Ли Е (Н) в алгебру Ли дифференцирований алгебры Ли Е (Е); ((у) Е (6) есть полупрямое произведение алгебры Ли Е (Н) на Е (Е), определенное представлением Е(о) (гл.
1; $1, и'8). (1) очевидно, (й) следует из предложения 4Т. Имеем Е(о) = =Е(р)[Е(Н). Но согласно предложениям 40 (и'11) и 44 (и' 14), Е (р) (1) есть (для всякого 1ен Е (6)) ограничение отображения абс ~о~1 на Е(Е). Это доказывает (Ш). Если учесть (1) и (11), это доказывает также (1у). Следствие.
Пусть 6 — группа Ли. Наделим векторное пространство Т,(6) его единственной структурой коммутативной алгебры Ли. Пусть т — присоединенное представление алгебры Ли Е (6). Тогда алгебра Ли группы Т (6) есть полупрямое произведение алгебры Ли Е (6) на Т, (6), определенное представлением т. Иначе говоря, для х, х' из Е(6) и у, у' из Т,(6) [(х, у), (х', у')[ = ([х, х'[, [х, у'[ + [у, х'[) (коммутатор слева вычисляется в Е (Т (6)), а коммутаторы справа — в Е (6)). Это следует из предложения 48 и из предложения 8 $2, и' 2.
ПРедложение 49. Пусть А — полная нормируемая ассоциативная алгебра с единицей, Отождествим А с Е (А*). Тогда, если дя А* и уев А, то (Аду) у=дур '. Напомним, что Ад д = Т, (1п1 у). Пусть ие — отображение х «уха ' из А в А. Карта иа А", являюпгаяся тождественным Отображением из А" в А, преобразует 1П1 у в из[А*. Отображение, касательное в произвольной' точке из А' к этому отображению, равно и, откуда следует доказываемое предложение.
Следствие. Для всякого д ~ А' пусть 1(у) — автоморфизм у -«дуй ' алгебры А, так что 1 есть линейное аналитическое представление группы А' в А. Для всякого ге= Е(А*) =А отображение Е(1)г есть внутреннее дифференцирование у «гу — ух алгебры А. Это следует из предложений 49 и 44. ГЛ. 1П. ГРУППЫ ЛИ 18. Тензоры и инвариантные формы Пусть 6 — группа Ли. Рассмотрим действие группы б на самой себе левыми (соотв. правыми) сдвигами. Пусть Л вЂ” векторный функтор класса С" для изоморфизмов.
Тогда Л(ТО) есть левое (соотв. правое) аналитическое векторное 6-расслоение ($1, и'8, следствие приложения 16). Отображение (д, и) ~ди (соотв. иа) из 6 Х Л(Е(6)) на Л(ТО) есть изоморфизм ф (соотв. ф) векторных 6-расслоений 5 1, и'8, следствие 2 предложения 17). Всякое 6-инвариантное сечение расслоения Л(ТО) аналитично и определяется своим значением в г (5 1, п'8, следствие 1 предложения 17). Такое сечение называется лгвоинвариантным (соотв.
правоинвариантным). Пусть а — левоинвариантное сечение расслоения Л(ТО); образ о' сечения о относительно правоте сдвига б(д) определяется формулой о'(б(д)Ь)=Л(Ть(б(д)))а(Ь), каков бы ни был элемент Ь ен 6; сечение о' тоже левоинварнантно; оно получается из о также преобразованием у(д) об(д) = 1п1(д). значит, о'(г) =Л(Айй). о(г). (26) Пусть, аналогично, т — правоинвариантное сечение расслоения Л(ТО); образ т) сечения т относительно левого сдвига у (д) тоже правоинвариантен, и т'(г) = Л(Айд). т (г).
Рассмотрим теперь левое действие группы 6 Х 6 на 6, определенное формулой ((д, д'), аь)г-' ад"д '. Тогда 6 есть левое однородное пространство Ли группы ОХ 6 (5 1, и'6, примгр) Значит, Л(ТО) есть левое аналитическое векторное (ОКО)-расслоение. Сечение расслоения Л(ТО) называется биинвариантным, если оно инвариантно относительно действия группы 6 Х 6 на Л(ТО), другими словами, если оно инвариантно относительнсь левых и правых сдвигов. Пусть Л(Е(6))ь — множество элементов пространства Л (Е (6)), инвариантных относительно Л (Ай (6)). Для всякого и ~ Л(Е(6))ь пусть а„— отображение из 6 в Л(ТО), определенное формулой о„(д) = аи = ид. Тогда и ь а, есть биекция из Л(Е(6))ь на множество биинвариантных сечений расслоения Л(ТО) 5 1, и'8, следствие 1 предложения 17). ПРядложенне 50.
Пусть 6 — группа Ли (предполагаемая конгчномгрной, если характеристика поля К ) О). Пусть Š— вгкторное пространство непрерывных знакопгременных полилингйных форм на Т,(6) степени Ь. Для всякого и ~Е пусть а" — дифференциальная форма степени Ь на 6, такая, что (ь1"), есть полилинейная форма на Тг(6), получающаяся из и прй сдвиге Ьь-ьдЬ (соотв.
Ь ьйй). Тогда сь" аналитична и лгвоин: з ь. пагаход от ггтппы лн к ае хлгввгв ли Юч вариантна (соотв. правоинвариантна) на О. Отображение и ~ — э ве есть изоморфизм пространства Е на векторное пространство левоинвариантных (соотв. правоинвариантньсх) дифференциальных форм степени й на О. Это частный случай того, что сказано выше. Пусть Р— полное нормируемое пространство. Предложение 50 остаегся справедливым, если заменить дифференциальные формы на 6 со значениями в К дифференциальными Формами иа О со значениями в Р.
Для всякого непрерывного линейного отображения и из Т,(6) в Р существует дифференциальная форма в" степени 1 на 0 со значениями в Р, такая, что Хв)с=и о Т,(Л(д) '). В частности, возьмем Р=Т,(0) ни=)йт шь Получаем тогда дифференциальную форму е на 6, такую, что чье=Те(у(д ')); эта дифференциальная форма левоинвариантна и аналитична; она называется канонической левой дифференциальной формой на 6.
Имеем ве (() = д Ч для всякого г ~ Те(0). Если снова Р— некоторое полное нормируемое пространство и если и ен У (Т,(0), Р), то в" = и ~а. В частности (если взять Р = К), отображение о~-~ о чв есть линейная биекция дуального к Т,(6) пространства на векторное пространство левоинварнантмых дифференциальных форм степени 1 на 6, принимающих ' значения в К. Аналогично, дифференциальная форма е' на 6, такая, что чь' = Т (Ь(д)), называется канонической правой дифференциальной формой на 6. Ее свойства аналогичны свойствам формы э; их формулировку мы оставляем читателю, Отображение у ~ — ~ й-[ из О на 6 преобразуют в в в'.
.И. Формула Маурера — Картава Пусть Х вЂ” многообразие класса С', конечномерное, если К имеет характеристику > О, и пусть Т. — полная нормируемая алгебра Ли. Пусть а — дифференциальная форма степени 1 на Х со значениями в Т. и класса С' '. Пусть хан Х.
Отображение (иь их) ~-~ [а„(и,), а„(и,)] из Т„(Х) Х Т, (Х) в Е. есть билинейная знакоперемеиная непрерывная форма на Т„(Х) со значениями в Ь. Мы ее обозначаем через [а['„, так что [а]в есть дифференциальная форма степени 2 на Х со значениями в Т.. Если отождествить некоторую открытую окрестность точки к в Х с открытым подмножеством банахова пространства, то сразу видно, что [а]е принадлежит классу С' '.
Если Х вЂ” многообразие класса С' и 1: Х -+ Х вЂ” . Гя. 1П. ГРУППЫ ЯИ морфизм, то [!" (аН' = )" ( [а[=!. Пусть а, 5 — две дифференциальные формы степени 1 на Х со значениями в Е и класса С~ . Внешнее произведение а д р форм а и 5 (Мн. Св. рез., 7.8.2) есть дифференциальная форма степени 2 на Х со значениями в Е и класса С' ', имеем (а л р)„(и„из) = [а„(и,), [)„(из)[ — [а„(и,), 5„(и1)[ (29) для и„из из Т„(Х). Сразу ясно, что [а+ р[з= [а[1+ [[)]~+ а д р, (30) а Л а=2[а[1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
