Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 60
Текст из файла (страница 60)
рез„13.2.4). Следовательно, если 1~Т8'(Е), то (ч =( — 1)'С Птедложение 7. Пусть 6 — группа чуи и Г, Р лежат в ВГ 1">(6). (1) Произведение Гьг', вычисленное в Оч, равно произведению г'*С вычисленному в О. (11) Нмесм (1 ь1)ч — 1 ч ь(ч Рассмотрим диаграмму аха * Оха и' /т 6 где з(у, й') =(д', д), т(д, д') =ду', п(д, д') =у'у, каковы бы ни были д, д' в О. Эта диаграмма коммутативна. Стало быть, п.(1 Э 1') = т„(з,(1ЭУ)) =т. (1'ЭГ). Это равенство есть не что иное, как (1).
Утверждение (и) следует из (1) и предложения б. 288 ГЛ. 11!. ГРУППЫ ЛИ ПРддложвннв 8. Пусть 6, Н вЂ” группы Ли, !р — морфизм из 0 в Н. Если 1енУ ! 1(6), то !р (1У) (!Р (1))ч. Пусть О (соотв. О') — отображение д эд-! из 6 в 6 (соотв. из Н в Н). Имеем !Ро О =8'о!р, откуда !р,(8„(1)) = О'„(!р,(1)), П1вдложвнин 9. Пусть 6„..., 6„— группы Ли и 6 = . =О, Х ... Х 6„, Если векторные пространства У ! 1(6) и У !"1 (6,) З ... З У ! 1(0„) канонически отождествлены, то алгебра У'"1(6) является тензорным произведением алгебр У ! 1(6,), ..., У' 1(6„).
Если 11яУ ' '(6,) для! = 1,..., п, то (1! Э ° ° ° З 1 ) ~ = 11~ З ° ° Э 1» . Достаточно рассмотреть случай п=2. Пусть 11, 1! лежат в У ! 1(О!), а йь гз — и У ! !(Оз). Надо показать, что (1! З1ь)ь ь (1! З 11) =(1! ь К!) З ((з ь 1з) и (1!Э Ь) =1~! З 1~т.
Рассмотрим диаграмму (О! ХОз) Х(6! ХОз) 6, ХО, г! и" ~Р~Х Рз ~з (О! Х 6!) Х (6, Х Оз) где !и ((х„ х,), (х'„ х,')) = (х,х!', х,х,'), п ((х„ х,), (х,', х,')) = = ((х„ х!), (х,, х,')), р! (х„ х!) = х!х1, р,(х,, х,') = х,х,'. Эта диаграмма коммутатнвна. Следовательно, !и ((1! Э дЭ(11З Г,') =(р1Хр,) (п ((1! З 1з) З(1!Э(,'))), т.
е. (1 З(.)*ИЗ(')=(р Хр.).И( З(')З((.З"))= р! '!1! Э 1!) Э ръ Ц Э ~з) = ( ! 1!)Э(2 12)' Аналогичным образом доказывается, что (Г! З11) =1~! Э1~1, П! ядложвнив 10. Пусть Н вЂ” подгруппа Ли в 6 и 1': Н- 6— каноническая инъекция. Тогда 1„есть инъективный гомоморфиэм алгебры У ' 1(Н) в алгебру У ! 1(6) и 1, ((ч) = (1,(1))" для всякого (енз' ! 1(Н). Это следует из предложений 8, 8 и Мн. Св. рез., 13.2.3. Алгебра У !"1 (Н) отождествляется с подалгеброй алгебрьх У ! 1(6) прн помощи изоморфизма нз предложения 10.
4 а, пеРеход От ГРуппы ли к ее АлГеБРе ли Звмееание. Предложение 10 остается справедливым, если гт' — квааиподгруппа Ли. Напомним (Мн. Св. рвз., 13.5.1), что если !г — аналитическое многообразие над К, то У < >(у') канонически наделено структурой коалгебры над К с коединицей; коединнца есть линейное отображение из У ' >(у') в К, ставящее в соответствие всякому элементу из Тл ()г) его свободный член. Предложение 11.
Пусть 6 — группа,7и. (!) Коалгебра У"> ' (6), наделенная сверткой, является биалгебрвй (А19., сйар. 111, р. 149) '). (В) Пусть с — копроизведениг в У ' >(6), !~У ! '(6) и с (Г) = Х 1> Э 1>. Тогда с (1~) = ~, !> Э !> > > > Докажем (>). В определении биалгебр условие 1' следует из предложений 2 и 3, а условие 2' — из Мн.
Св. рез., 13.5.1. Пусть й — отображение и «(д, д) из 6 в 6Х6. Имеем с =й„и, стало быть„с есть морфизм алгебв (предложения б н 9), что составляет условие 3'. Пусть !БЕТл (6), Г ~Та (6) не имеют свободных членов и Л, !>,' лежат в К; тогда аиЭ!', 1Э вгп ! Э Г' ие имеют свободных членов (Мн. Св. ргз., 13.4.1), а потомУ свободный член элемента (Азл+ !) в (>'ва + !') есть !>л>,', следовательно, условие. 4' выполнено. Докажем (>1). В силу предложений 8 и 9 Предложение 12. Пусть 6, Н вЂ” две группы Ли, ф — морфизм изб в Н.
Тогда ф, есть рорфизм биалггбр из У < "> (6) в У < > (Н). Это следует из предложения 6 и из Мн. Св. рез., 13.5.1. Пусть 6 — группа Ли. Ограничение свертки и копроизведения на У (6) определяют на У (6) структуру биалгебры. Имеем У(6) =У(6). Если ф: 6-«Н — морфизм групп Ли, то через У(ф) обозначается отображение 1«-«ф,(1) из У(6) в У(Н) это морфизм биалгебр. Если ф: Н--«1.
— другой морфизм групп Ли, то У(фе<р) =У(ф) еУ(ф). Если ф — иммерсия (соотв. субмерсия), то У(ф) инъективно (соотв. сюръективно) в силу Мн. Св. рез., 13.2.3. В частности, если Н вЂ” подгруппа Ли в 6, то У(Н) отождествляется с подалгеброй в У(6), причем копроизведение в У(Н) есть ограничение копроизведения в У (6). Если Н ') См. также стр. 4ЗО, — Прим, иерее. ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ открыта в 6, то У(Н) = У(6).
Если 6П 6г — группы Ли, то У(6, Р',6,) отождествляется с У(61) ®У(6,). Примитивные элементы в У(6) суть элементы из Т,(6) (Мн. Св. рез., 13.5.3). Пусть опять ф: 6- Н вЂ” морфизм групп Ли. Если отождествить пгУ(6) с Т8(Т,(6)) и пгУ(Н) с Т8(Т,(Н)), то АГУ(ф) отождествляется с Т8 (Т,(ф~) (Мн. Св. рез., 13.3.5). Применим это к изоморфизму д ~д из 6 на 6У; тогда Т,(ф) = — 1 и, стало быть, ! Ее У, (6) =)ь !У вЂ” = ( — 1)' ! Гпоб У,-1 (6). (3) 3. Случай группы, действующей на многообразии Пусть 6 — группа Ли, Х вЂ” многообразие класса С' и )' — закон левого действия класса С' группы 6 на Х.
Если ! ее Тг" (6), и ееТ"„' (Х) и з + з' <г, то через ! ь и обозначается образ элемента 1З и относительно !.. Произведение * продолжается до билинейного отображения из У о!(6) р,'У О(Х) в в '+''(Х), котороз мы также обозначим через ь. Предложение 1 п'1 распространяется с очевидными изменениями на эту ситуацию. Когда 6 действует сама на себе левыми сдвигами, мы вновь получаем определение п'1. Пведложение 13.
Пусть элементы !Ее У о!(6), уеегт Г п(6), и~!Г!~>(Х) таковьс, что з+ з'+ з" Г. Тогда (1: У) *и = = ! * (!' ь и). Это доказывается так же, как и предложение 2 и' 1, В частности, если Г) )оо, то векторное пространство У '"'>(Х) является левым модулем над алгеброй У ' !(6) относительно произведения ь. ПРедложение 14. (1) Пусть дь е= 6 и т (йь) — отображение х !(аь, х) из Х в Х.
Если иееУ ьч(Х), то т(дь),и=ге,ьи. (й) Пустьхьее Х и р(хь) — отображение й !(й, хь) из 6 в Х. Если ! ее Тгн (6), то р(хь).!=!*еле Это доказывается так же, как и предложение 3 п'1. В частности, если нее Т(Х) и (ее Т(6), то ег,ьи и гьг„, равны произведениям чьи, !х„определенным в и'2 $ 2. ПРедложение 15. Пусть 6 (соотг. 6') — группа Ли, Х (соотв. Х') — многообразие класса С'.
Допустим, что задан закон левого действия класса С' группы 6 (соотв. 6') на Х (соотв. Х'). Пусть ф — морфизм из 6 в 6', ф — некоторый ф-морфием из Х в Х', а элементы !~а 'о(6), и г-:У о >(Х) таковы, что з+ з'(Г. Тогда ф, (! ь и) = ф, (!) ь ф, (и). э з. пеггход от ггтппы ли к нв ьлгевев ли 271 Это доказывается так же, как и предложение 6 и' 2.
Замечание. Пусть 1 — закон правого действия класса С' группы 6 на Х. Если 1енУ ьа(6) и и еУ <е>(Х), где з+ з'(г, то через и ьг обозначается образ элемента и З 1 относительно 1„. Предложения 13, 14 и 15 очевидным образом переносятся в эту ситуацию. Пгвдложвнив 16. Пусть 6, 6' — группы Ли, Х вЂ” многообразие класса С'; предположим, что 6 (соотв. 6') действует слева (соотв. справа) на Х, причем (пх) и' = у(хй'), каковы бьь ни были х еи Х, д ен б, й' ~ 6. Пусть 1 г= У и> (6), Р ~ йгч" > (6'), енУ <'"1(Х), где в+ з'+ з" (г. Тогда (1*ух) ь Р=1ь(йпь У), В самом деле, элемент (1*1") *Р (соотв.
1ь(1" ьу)) есть обрав элемента 1 8 1" й) Р относительно отображения (д, х, д') ~ь. ~ (дх) д' (соотв. й (хд')) из 6 Х Х Х 6' в Х. 4. Свертка точечных распределений и функций Пусть 6 — группа Ли, Х вЂ” многообразие класса С' и (д,х) э дх — закон левого действия класса С" группы 6 на Х. Для всякого х АХ обозначим через р(х) соответствующее орбитальное отображение. Опгвдвлвнив 3. Пусть 1 ен У и> (6), где з (г, и пусть )': Х- Р— функция класса С' со значениями в отделимом поли- нормированном пространстве (например, Р = К). Сверткой элемен- ' тов 1 и Т', обозна~асмой через 1*1, называется функция на Х со значениями в Р, определяемая формулой (1 О( ) =(1 * ., т).
Имеем (1* 1) (х) =(р(х). (1ч), )) (и'3, предложение 14 (В)) = =(1ч, ) р(х)) (Мн. Св. рез., 13.2.3) = =(1,()'ор(х))ч) (Мн. Св. рез., 13.2.3). (4) Отметим также, что определение 3 записывается. в более симметричной форме: (е„, 1 ь 1) = (1ч ь е„1). (5) Функция (к,х) ~)(йх)=(7ор(х))® иа 6;н.Х принадлежит классу С". В силу Мн. Св. рез., 13.4А, функция х (1ч,1ор(х)) принадлежит классу С ', .если з( ьо. Другими словами, если з ~ со, то 1ь 1' принадлежит классу С Ясно, что 1ь ) линейно зависит от 1 и 1. ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
