Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Достаточно теперь применить предложение 10. 7. Переход от законов инфинитезимального действия и законан действия ПРедложение 11. Пусть 6, и 6А — групускулы Ли, Х/ и ХА— многообразия класса С' (Г 2). Для /=1, 2 пусть ф/ — кусок закона левого действия класса С' групускулы 6, на Х„а Р,— ассоциированный закон инфинитезимального действия. Пусть /»: 6, — Р 6з — морфизм, /р: Х, — Р ХА — отображение класса С'. Предполагается, что для всякого а ~Т.
(6) Векторные поля (Р,) и (Р,)сйп являются я-связанными (Мн. Св. рез., 8.2.6). Тогда существует окрестность А/ множества (е) Х Х, в 6~ Х Х„такая, что ф (ф (у» х)) = фг (1» (у), ф (х)) для ВсякОВО (у, х) е= А/. Пусть р,: 6, Х Х,-эбо р;. 6, р', ХА-РХ,— канонические проекции. Для каждого (д,, х,) ~ 6, Х ХА пусть /г»;,— отображение ай» вЂ” Р(РЗ)А/Р/ (хз) из Тг,(6») =д»/. (6/) в Т~,(Хг) Отображения / „определяют морфизм / из р,Т(6,) в р,'Т(ХА).
Пусть хь~ХР Существуют открытая окрестность 6 элемента е в 6, и открытая окрестность Х точки хь в Х„такие, что ф»'(д, х) и ф,(/»(д), /р(х)) определены при (у, х)е=6ХХ. ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ ззо Положим а(д, х)=ф(2Р1(д, х)) енХ2, й(д, х) =2Р2(р(д), !р(х)) ~Х2 для (д, х) ен6)1,Х. Если 6 и Х достаточно малы и (а, д, х) ~Е(6!) ХП.Л, Х, то (Та) (ад, 0„) = (Т!р) ((П!), (ф! (д, х))) = = (02)1. !Р! а (ф (Ф (Й', х))) = =(Вг) ! !, (д, х), (Тр) (ау, О,) = ( Т1Р2) (Ь (!2) а ° 12 (д), !р (х)) = (П2) !.
(Р! а И2 (!а (и) э ф (х))) = (62) с <„1, р (д„х). Значит, для х~Х. морфнзмы д а а(д, х) и й1-2.~(д, х) суть интегралы для ). Поскольку р(е, х) = ф(х) = а(е, х) для всякого хенХ, из Мн. Св. Рез., 9.3Л, заключаем, что и и р совпадают в некоторой окрестности точки (е, х,). Отсюда следует предложение.
Следствии. Пусть 6 — групускула Ли, а Х вЂ” многообразие класса С'. Рассмотрим два куска законов левого действия класса С' групускулы 6 на Х. Предположим, что для всякого а ~ Т. (6) соответствующее векторное поле П на Х одинаково для обоих кусков законов действия. Тогда оба эти куска законов действия совпадают в некоторой окрестности множества (е) Х Х. Твоввмк 6. Пусть 6 — групускула Ли, Х вЂ” многообразие класса С' (г) 2) и хь — точка в Х. Пусть а эΠ— закон инфинитезимального левого действия класса С' алгебры Ли Ь (6) на Х.
(1) Существуют открытая окрестность Х точки хь в Х и 1-! кусок закона левого действия класса С групускулы 6 на Х, такие, что ассоциированный закон инфинитезимального действия есть а П,!Х'. (й) Пусть заданы два закона левого действия класса С групускулы 6 в открытой окрестности Х" точки хь; если они допускают а ~П ~!Ха как ассоциированный закон инфинитезимального действия, то они совпадают в некоторой окрестности точки (е, ха). 5 е пеРехОд От АлГеБР ли к ГРуппАм ли 331 Утверждение(й) вытекает из следствия предложения 11.
Докажем (1). Для всякого (д, х) ен О Р', Х и всякого а еи Ь (6) положим ('1,(д, х) =(ай, Р,(х» ~ТЕ(6) ХТ„(Х). Пусть 5[, > — множество элементов („[ (я, х) для а ы Ь(6). Согласно лемме 5 из п' 6, множества 5[е,,[ суть слои векторного подрасслоения Я в Т(0))(Т(Х). Пусть а, Ь лежат в Л(6); имеем (()., (),)(Х,.) =((Р., г,)(Х). (О., О,)(.»= = ( [э[а, з[ (Л), 0[а, Н (х» (аа 3, 18.6) = =Я [, Р[(д, х), следовательно, 5 интегрнруемо (Мн. Св.
рез., 9,3.3 (!Р». В силу Мн. Св. рез., 9.3.7, су[иествуют открытая окрестность 6, элемента е в О, открытая окрестность Х, точки хе в Х и отображение (л, х): дх класса С" ' из 6,)(Х[ в Х, такие, что ех=х для всякого х~ Х, и (ад)х=0,(дх) прн а еп 7. (О), дев Оь х ен Х,. (6) В частности, ах = О, (х). (7) Пусть О,— открытая окрестность элемента е в О, и Хз— Открытая окрестность точки хр в Х[, такие, что дй' определено и принадлежит окрестности О, для д, я' из Оз и что дх опреде- лено н принадлежит окрестности Х, для (д, х) ен ОЕХ Х,. Рас- смотрим отображения а„а, из От Х(ОАХ Хе) в Х, определен- ные формулами а[(д, (Ь, х»=д(ЬХ), а,(д, (Ь, х»=(йЬ)х. Они принадлежат классу С ~.
Имеем а, (е, (Ь, х» = Ьх = аз (е, (Ь, х». С другой стороны, Т (а,) (ая, 0[А „[) = (ад) (Ьх) = =Оа(й(ЬХ» (в силу (6»= =)9,(а, (д, (Ь, х»), Т (ое) (ад, Ом, „[) = (адЬ) х = =-О,((яЬ)х) (в силу (6)) = =ба(а,(д, (Ь, х»), В силу Мн. Св. рез., 9.3.7, а, и а, совпадают в некоторой окрестности элемента (е, (е, хе». Коль скоро это установлено, (1) следует из (7) и из предложения 23 5 1, п' !1. ГЛ. П1. ГРУППЫ ЛИ Следствии 1. Пусть 6 — групускула Ли, а Х вЂ” паракомпактс ное многообразие класса С' (г~ ~2). Пусть а ~Р— закон инфинитезимального левого действия класса С' ' алгебры Ли Ь(6) на Х.
(1) Существует кусок закона левого действия класса С' 1 групускулы 6 на Х, такой, что ассоциированный закон инфини-. тезимального действия есть а ьРь (й) Два закона левого действия класса С' ' групускулы 6 на Х, допускающие а1-Р Р, в качестве ассоциированного закона инфинитезимального действия, совпадают в некоторой окрестности множества (е) ХХ. Утверждение (й) вытекает из следствия предложения 11. Согласно теореме 6 (1), существуют открытое покрытие (Х1)1 пространства Х и для всякого 1 ~ 1 кусок закона левого действия ф1 класса С 1 групускулы 6 на Х„ такие, что ассоциированный с ф1 закон инфиннтезимального действия есть а~ Р ~ХР Поскольку Х паракомпактно, покрытие (Х1),. можно предположить локально конечным.
Для всякого (1, 1) еп ен1Р,'1 и всякого хеп Х, ДХ1 куски законов ф, и ф, совпадают в неноторой окрестности элемента (е, х) (следствие предложения 11). Поскольку Х нормально, можно применить предложение 24 из $ 1, и' 11, что доказывает (1). Слвдствив 2. Пусть Х вЂ” паракомпактное многообразие класса С' (Г~)2) и $ — векторное поле класса С" 1 на Х. Существует кусок закона действия 1Р класса С' 1 группы К на Х, такой, что для всякого хе= Х вектор в(х) есть образ касательного к К вектора 1 в О относительно отображения 1 1р(1, х). Два куска законов действия с таким свойством совпадают в некоторой окрестности множества (О) )1',Х, Это частный случай следствия 1. Замечание.
Разумеется, всюду в этом пункте можно заменить законы левого действия на законы правого действия. 5 6. Формальные вычисления в группах Ли Пусть т, д — два формальных ряда с коэффициентами в К от одних и тех же переменных; пусть 11 (соотв. д1) — однородная компонента степени 1' ряда 1 (соотв.
у). Мы будем писать 1=— дгпод дедр, если 11 = й1 для 1( р. В этом параграфе 6 означает групускулу Ли конечной размерности и; основное поле К предполагается имеющим харак- 1 Э а оогмхльныв вычисления в ггтппхх ли ззз теристику нуль. С помощью какой-либо карты некоторая окрестность элемента е в б раз и навсегда отождествляется с открытой окрестностью У элемента О в К", гричем е отождествляется с О. Для х, у из У и т вил через хзм обозначается т-я степень элемента х в б, а через х у — произведение элементов х и у (коль скоро они определены). Координаты элемента х ~ У обозначаются через х„ ..., х .
1. КОЭффиЦиЕНтЫ СОО, Пусть Р— множество таких (х, у) ен УХ У, что х. у определено и лежит в У. Тогда ОО открыто в УХУ н. отображение (х, у) 1 х. у из И в У аналитична. Координаты г„.. „ал элемента а=х, у допускают, стало быть, разложение в степенной ряд в начале координат по степеням переменных х„ ..., хл, у„ ..., ул. Следовательно, существуют однозначно определенные константы с,г ..., „„, з, „., Ол, тг ..., т„ ~ К, такие, что я~1 Х~л— 1 ''' л с г...,,, ег..., з,,тг...,т х" ,...
х'„лрз11 ... Уа (1) аг "" л~и для у„..., ул из М. Приняв соглашения Мн. Св. рез„мы запишем эти формулы более кратко так: (х. у)' = ~ с, хауз (у ~ Х"). (2) а. Оаил Поскольку х.О=О.х=х для хан У, то Са. О, т = СО, а, т = бат~ где б, есть индекс Кронекера. В частности, условившись в дальнейшем писать й вместо еь для й= 1, ..., и, получаем (х ° у)а=ха+ ух+ ~ с, з, Ох~уз. (4) 1а ~>1, 1а!>1 ПОЛатая Саа = (СОЗ1, Сааэ ° °, Слал) О=в К, ПРИХОДИМ, таКИМ Обре" зом, к равенству х.у =х+у + ~ с, хауа.
(5) ! а|Ъ 1. ! а>1 Рассмотрим однородную компоненту степени 2 выражения, стоящего в правой части формулы (5): л В(х, у) = К с„х,ун 1,Г 1 ГЛ. П1. ГРУППЫ ЛИ 334 Из формулы (4) вытекает, с другой стороны, что са,, =О, если 1а1+1(31<1т1 (7) ' и что члены суммарной степени 1у1 в разложении для гт суть также члены выражения (х1 + У1) ' (хз + Уз) ' ° ° ° (хл + Уп) " = Х ((а~ р)) х У але л (см. Мн.
Се. рез., Обозначения н соглашения). Следовательно, с,,=О если 1а1+1131=1у1, но а+()ФЬЮ, (8) са, е. ал.з ((а Р))' (9) Ассоциативность произведения влечет за собой соотношение ~., са4чх Д сатану ат) = ~~ с$ „( Я саа4х У ) а~ для любых х, у, х, достаточно близких к О, откуда следует, что сагчса 4 = ~(, с4учсае4 (а 13 Уэ т1 лежат в М"). (10) Групускула 0 обладает открытой коммутатнвной подгрупускулой тогда и только тогда, когда с, =с „, каковы бы нн были а, й, у в )Ч".
и. Оиериг)ин иоммутироеанин е илеебре Ли Для аепй) пусть еа — точечное распределение — —, в пал 1 д а~ дка д чале координат. В частности, ее =е, = —. Элементы е,образуют базис векторного пространства (7 (6). Если 1 — аналитическая функция в открытой окрестности элемента 0 в О и если 7(х) = ~ Х„х — ее разложение в степенной ряд в начале коора динат, то (е„)) = Х,. (е„хт)=6, . й3 частности, Таким образом, (х, у) РВ(х, у) есть билинейное отображение из К" Х К" в К". Имеем х.
у ~ х+ у + В (х, у) шоб 1(ейЗ. (б) з а ФОРмАльные Вычисления В ГРуппАх ли Значит, (еа * е, хт) = (еа Э е„, (х. у) ) = = (еа ® еа,,'Е с з тх 'уа') = а' а.в с а т(е, ха')(еа, уз) =саз э а', З' следовательно, еааеЗ=Х,са „е. т (11) Структурные константы алгебры Ли 1,(0) в базисе (е„..., е„), таким образом, суть сна — сГЫ. Другими словами, канонически отождествив 1,(0) с К", получаем [х, у) =В(х, у) — В(у, х). ПРедложение 1: (1) х~ "— — х+ В(х, х) ГИОГ(беп3, (И) х.у,х' и— = Гу+ [х, у[ГИОГ( беиЗ, (1й) уГ в ° х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
