Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Т. (Н) для всякого т ен М. Тогда (й)И(ш)Ф(1). Если топология на Н допускает счет- ный базис, то все три условия эквивалентньс Импликации (й) Ф(!) и (й)Ф(ш) очевидны. Докажем, что йй))>(й); будем считать условие (й1) выпол- ненным. В силу Мн. Св. рез., 9.2.8, ! есть морфизм класса С' в левое слоение, ассоциированное с Ь (Н).
Поскольку М связно, ) (М) с= Н. Если топология на Н допускает счетный базис, то из условия (!) следует, что ) — отображение класса С' из М в Н (Мн. Св. рез., 9.2.8); стало быть, (1)=р(й). зев гл. пь гттппы ли Слкдствие 1. Пусть 6 — конечномерная группа Ли, Н вЂ” интегральная подгруппа в 6. Тогда касательная подалгебра Ли в е к Н (5 4, и 5, определения 2 и 3) есть Е(Н), и структура группы Ли на Н является структурой, индуиированной соответствующей структурой на 6.
В самом деле, поскольку Н связна и конечномерна, ее топология допускает счетный базис. Слвдствик 2. Пусть 0 — группа Ли, Н, и Нт — интегральные подгруппы в 6. Предположим, что топология на Н, допускает счетный базис. Тогда Нт с Н, 4='т 1 (НД с Е (Н,), и если эти условия выполнены, то Н, является интегральной подгруппой в Н,. Последнее утверждение и импликация 1. (Н,) ~ Е (Н,) =ь Нт с Н, вытекают из следствия 2 предложения 1. Обратная импликация следует из предложения 3.
Следствия 3. Пусть 6 — группа Ли, Н, и Не — интегральные лодгруппы в 6, топология которых допускает счетный базис. Если Н, и Нз имеют одинаковые нижележащие множества, то структуры групп Ли на Н, и Н, одинаковы. Это вытекает из следствия 2. Замечание 2. Пусть 0 — конечномерная группа Лн и Н— подгруппа в 6.
Допуская вольность речи, будем говорить, что Н есть интегральная подгруппа в 6, если существует структура 5 группы Ли на Н, такая, что Н, наделенная структурой 5, является интегральной подгруппой в 6. В силу следствия 3 предложения 3, если 5 существует, то она единственна. Замечание 3. Пусть т' — многообразие класса С', М вЂ” подмножество в т' и х и у — злсменты из М. Рассмотрим следующее свойство: Рмлм; существуют 1, хь, хо ..., х„, 1о ..., 1„, такие, что: а) 1 ест'ь открытое связное множество в К; б) хь, ..., х„лежат в М, хь — — х, х„=у; в) 1, для ! ~(1<п является отображением класса С' из 1 в У, образ которого содержит х,, и хь причем 1, (1) с М. Будем говорить, что М есть С'-связное множество в )', если, каковы бы ни были злементы х, у в М, выполняется условие Рм, „, „.
Певдложвнии 4. Пусть 6 — конечномерная группа Ли, Н— подгруппа в 0 и г~ Ук. Следующие условия зквивалентньп (1) Н есть интегральная подгруппа в 6; 6 % 6. ВЕШЕСТВЕЙНЫЕ ИЛН КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ ЛН 34т (И) Н; наделенная структурой группы Ли, индуцированной структурой на О, связно; (ш) Н является С'-связной. (Б) Ф (!) Очевидно. (!) =,='>(ш). Предположим, что Н наделена структурой группы Ли, такой, что Н вЂ” интегральная подгруппа в 6. Используем обозначения замечания 3.
Множество таких уен Н, что свойство Рн, е выполнено, является открытой подгруппой в Н. Поскольку Н связна, эта подгруппа равна Н, и, стало быть, условие (ш) выполнено. (Рй) =>(И). Будем считать условие (й!) выполненным и наделим Н структурой, индуцированной структурой группы Ли на О. Пусть () — касательная подалгебра к Н в е. Компонента единицы Нр группы Н есть интегральная подгруппа в О, такая, что 1.(Нр) = !). Покажем, что Н = Нр. Достаточно доказать. следующее: пусть ! — открытое связное множество в К, отображение класса С' из ! в 6, такое, что 1(!) ~ Н, Х и р — две точки из 1; тогда если !(з.) Ен Н„то !(р) ~ Н,. Но для всякого чен1 имеем (Т,'!)(К) с !(У)() по определению подалгебры (1, так что наше утверждение следует из предложения 3 Замечание 4.
Если К = !1, то интегральные подгруппы в О могут быть охарактеризованы также как подгруппы, которые, будучи наделенными топологией, индуцированной топологией на 6, линейно связны (3 8, упражнение 4). Тем не менее могут .сугцествовать связные подгруппы, не являющиеся интегральными (Комм. алг., гл. Ч1, 3 9, упражнение 2Ь). Следствие. Пусть 6 — конечномерная группа Ли, Н, и Нр— две интегральные подгруппы в 6. Подгруппа в О, порождаемая подгруппами Н, и Нр, и подгруппа (Нп Н~ в 6 суть интегральные подгруппы в 6.
Подгруппа (О, 6) в О не всегда замкнута (9 9, упражнение 6!. Напомним ($3, и' 11, следствие 5 предложения 4!), что если а — конечномерная алгебра, то Ап!(а) есть подгруппа Ли в 61,(а) и С(АП(а) есть алгебра Ли дифференцирований алгебры а. Опгеделение 2. Пусть а — конечномерная алгебра Ли. Через Ай(а) или 1п!(6) обозначается интегральная подгруппа в Ап!(а) с алгеброй Ли ад(а).
Элементы этой группы называются внутренними автоморфизмами алгебры а, В силу переноса структуры ад а инвариантна относительно Ап!(а), стало быть, 1п!(6) есть нормальная подгруппа в Ап!(а). Приняв во внимание следствие 1 предложения 8 $4, и' 4, и связность группы 1п!(Е), видим, что элементы из 1п1(а) суть ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ 348 конечные произведения автоморфизмов вида ехрайх, где х ~ и.
Вообще говоря, 1п1(а) не есть подгруппа Ли в Ап((п) (упражнение 14). д. Переход от алгебр Ли к группам Ли ТеОРемА 3. (1) Если Ь вЂ” конечномерная алгебра Ли, существует односвязная группа Ли О, такая, что Ь(0) изоморфна алгебре Ли Е. (В) Пусть О, и От — две связные группы Ли, причем О, односвязна, / — изоморфизм из Е (0,) на Ь (От), ф — морфием из 6, в Ом такой, что Ь(ф) =/, и У вЂ” ядро морфизма ф. Тогда У является дискретной подгруппой, лежащей в центре группея 6„ и морфизм из 6,/У в От, полученный из ф, есть изоморфизм групп Ли.
сли От односвязна, ф — изоморфизм. Пусть Ь вЂ” конечномерная алгебра Ли. Существует конечно- мерное векторное пространство .Е, такое, что Ь можно отождествить с подалгеброй Ли в Епй(Е) (гл. 1, 5 7, теорема 2). Пусть Н вЂ” интегральная подгруппа в б). (Е) с алгеброй Ли Е. Пусть Й вЂ” ее универсальная накрывающая (5 1, п'9, замечание 2). Тогда Ь(Й) изоморфна Е, откуда следует (1). Пусть Оь От, /, ф, У вЂ” такие же, как в (й). Тогда ф этален и, стало быть, ф (6,) — открытая подгруппа в От, а потому ф(6~) = — От. С другой стороны, ядро У дискретно, и, следовательно, содержится в центре группы 6, (Интегр., гл.
ЧП, 5 3, лемма 4). Ясно, что морфизм из 6,/У на От, полученный из ф, есть изоморфизм групп Ли. Если От односвязна, то всякое зтальное отображение из О, на От инъективно, а потому У = (е). ПРвдложннив 5. Пусть 6 — связная вещественная группа Ли. Предположим, что на Е(0) задана структура комплексной нормируемой алгебры Ли Е', согласованная с ее структурой вещественной нормируемой алгебры Ли, На 0 существует одна и только одна структура комплексной группье Ли, согласованная со структурой вещественной группы Ли и такая, что алгеброй Ли для нее является Е'. В силу следствия 2 теоремы 2 5 4, п' 2, достаточно доказать, что структура на Е' инвариантна относительно Ай 6. Пусть ф — зкспоненциальное отображение для 6.
В силу следствия 3 (1) предложения 8 3 4, и'4, существует окрестность 1т элемента О в Е (6), такая, что структура на Е' инвариантна относительно Ай ф((т). Но ф(у') порождает 6, поскольку О связна. у Заключение предложения 5 ие обязательно выполняется, если мм не предполагаем, что О свяиня (упражнение 1). 4 $ а ВещестВенные или комплексные ГРуппы ли 349 ПРедложение б. Пусть 6 — связная комплексная группа Ли. Если 6 компактна, то 6 коммутативна.
Голоморфное отображение д~-Рлдн из 6 в 2'(Е(0)) постоянно (Л4н. Св. рез., 3.3.7); стало быть, ада=О для всякого а~1,(6) 5 3, и'12, предложение 44). Следовательно, 6 коммутативна ($4, следствие 3 теоремы 1). 4. Экспоненциальное отображение Теогемх 4. Пусть 0 — группа Ли. Существует одно и только одно зкспоненциальное отображение, определенное на Е(6). Существуют выпуклая открытая окрестность П элемента О в Е(0) и экспоненциальное отображение ф для 6 определенное на П.
Можно предполагать, выбирая П достаточно малой, что ф ((Л + Л') а) = ф (Ла) ф (Л'а) (1) для а ен Ь (6), Л, Л' из К, Ла, Л'а, (Л+ Л') а из П. Пусть а~Ь(0). Существует целое число п>О, такое, что 1 1 — а ~ 6. Если т — другое целое число > О, такое, что — аяП, то — вен 6, и соотношение (1) влечет за собой 1 и/л ф( —,а) =(ф ( — „а)), ф ( — а) =(ф ( — „а)); ь 1»» стало быть, (ф( — „а)) =(ф( — а)) . Существует продоль жение ф Е(6)-+0 отображения ф, такое, что ф(а) =(ф ( — „а)) для а я Е(6) и любого числа и > О, такого, что — а я П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
