Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Коль скоро это так, лемма следует из теоремы 2 (1). ПРедложеннв 14. Пусть 0 — гручпа Ли, Н вЂ” интегральная подгруппа, топология которой допускает счетный базис. Следуюи(ие условия эквивалентньи б $ б. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ИЛИ КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 355 (1) Н нормальна в 6; (й) 1.(Н) инвариантна относительно Аб'(6). Если, кроме того, 6 связна, эти условия эквивалентны следующему условию: (И) 1. (Н) есть идеал в Ь(6). Если, кроме того, 6 односвязна и Ь(Н) имеет конечную коразмерность в Ь(6), из этих условий следует, что Н есть подгруппа Ли в 6 и 6/Н односвязна.
Эквивалентность условий (1) и (й) следует из леммы 3. Если, кроме того, 6 связна, то условие (й) эквивалентно утверждению об устойчивости подалгебры Ли Ь(Н) относительно адЬ(6) (и'5, следствие 1 предложения 13, и $3, п'12, предложение 44). Предположим, что 6 односвязна и Ь(Н) есть идеал конечной коразмерности в Е(6). Согласно теореме 3, и'3, существует односвязная группа Ли 6', такая, что Е(6') изоморфна алгебре Ли Е(6)/1.(Н). Существует непрерывный морфизм / из Е(6) на Ь(6') с ядром Ь(Н).
В силу теоремы 1, и'1, существует морфнзм ~р из 6 в О', такой, что Е(~р) =/. Этот морфизм есть субмерсия, и, стало быть, его ядро Н является подгруппой Ли в 6, такой, что Ь(Н)=-Кег/=Е(Н). Значит, Н есть компонента единицы в Ж и, следовательно, подгруппа Ли в 6. Пусть ф — морфизм из О/Н в О', полученный из ~р переходом к фактору.
Этот морфнзм зтален; поскольку О' односвязна, ф является изоморфизмом из 6/Н на 6'. Следствие 1. Пусть 6 — односвязная конечномерная группа Ли, Пусть Га, 1) — подалгебры Ли в Ь(6), такие, что Е(6) есть полупрямое произведение подалгебры ш на (!. Пусть М, Н вЂ” соответствующие интегральные подгруппы в 6. Тогда М и Н суть односвязные группы Ли и 6, рассматриваемая как группа Ли, есть полупрямое произведение подгруппы М на Н.
В силу предложения 14 Н есть нормальная подгруппа Лн в 6, и группа Ли 6/Н односвязна. Пусть и — канонический морфизм из б на 6/Н. Существует морфизм 0 из О/Н в М, такой, что Е (О) является каноническим изоморфизмом из Е(б)/Ь(Н) =Ь(6)/$ на Ь(М) =а, Тогда 1. (и о О) = Л (и) о Ь (0) = !бе ~о,я~,' стало быть, по0=1до~я.
В силу следствия 1 предложения 1, и'1, 0(6/Н)=М. Согласно предложению 8 $1, и'4, М есть подгруппа Ли в б, и группа Лн б является полупрямым произведением подгруппы М на Н. Следствие 2. Пусть 6 — односвязная конечномерная группа Ли, Н вЂ” связная нормальная подгруппа в 6 и п — канонический морфием из 6 на 6/Н. 12* ГЛ. ПЬ ГРУППЫ Лн (1) Существует аналитическое отображение р из 6(Н в О, такое, что Пер =1йо1н. (й) Для всякого отображения р, обладающего свойством (1), отображение (й, т) ь-Р Ьр (т) из Н Х (6(Н) в 0 есть изоморфизм аналитических многообразий. (й1) Н и О/Н односвязны. Пусть п = сйгп 6 — й!т Н. Следствие очевидно для п = О. Проведем индукцию по п.
Предположим, что существует идеал в Е(0), содержащий Е(Н) и отличный от Е(6) и Е(Н). Пусть Н' — соответствующая связная подгруппа Ли в 6. Пусть и,: 6-ьО(Н' и пз: Н'- Н'!Н вЂ” канонические морфизмы. В силу предположения индукции существуют аналитические отображения рд 6/Н' — ьО, рз.' Н'(Н вЂ” Н', такие, что п,ер~=1йощ, пзерз=1йнчн.
Пусть аз: 0(Н -+ 0(Н' — канонический морфизм. Если х ы 0~Н и у— представитель х в О, то у и р, (нз(х)) имеют одинаковый канонический образ по модулю Н', а потому х-'п(р,(аз(х)))~Н'/Н. Положим р(х) = 1з, (яз(х)) рз(п(р, (нз(х))) «) а= О. Ясно, р- аналитическое отображение из О!Н в 6. Имеем и (11(х)) = и (Р~ (Яз(х))) нз(рз(н (Р! (пе (х))) х)) = = п(р, (нз(х))) п(р, (пз(х))) ~х=х. Если теперь единственными идеалами в Е (О), содержащими Е(Н), являются Е(0) и Е(Н), то алгебра Ли Е(6)/Е(Н) либо имеет размерность 1, либо проста.
В обоих случаях Е(6) есть полупрямое произведение некоторой подалгебры на Е(Н), это вытекает из следствия 3 теоремы 5 гл. 1, $6. Утверждение (1) следует тогда из следствия 1. Утверждение (й) очевидно. Утверждение (й!) вытекает из (1) и (й). Заключения следствия 2 не обязательно выполняются, когда 6 бесконечномерна илн когда Н не является нормальной (упражнения 8 и 18). Слвдствие 3. Пусть 6 — связная конечномерная группа нуи, Н вЂ” связная нормальная подгруппа Ди в О.
Канонический морфием из и, (Н) в и, (О) инъективен. Пусть 6, — универсальная накрывающая группы 6, Л вЂ” канопическое отображение из 6, на О. Алгебра Ли группы О, отождествляется с Е(0). Подгруппа Ли Л (Н) в 6, нормальна в Оп и ее алгеброй Ли служит Е(Н). Пусть Н, — компонента единицы группы Л (Н) и Л,=Л!Нь Имеем Е(Н,)=Е(Н), и, стало быть, Л, — этальный морфизм из Н, на Н. С другой стороны, Н, односвязна (следствие 2), а потому отождествляется с универсальной накрывающей группы Н.
Тогда, согласно Тор. е З Е. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ НЛИ КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ 357 йеп., СЬар. Х1, канонический морфизм из и, (Н) в п,(0) ото- ждествляется с канонической инъекцией из КегЛ, в КегЛ. 7. Первообразные дифференциальных форм со значениями в алгебре Ли ПРедложенне 15. Пусть 0 — группа Ли, М вЂ” многообразие класса С' (г)2), а — дифференциальная форма класса С" ' и степени 1 на М со значения.ни в Т. (О), такая, что йа+ '!а7= 9. Предположим, что М односвязно. Для всякого хенМ и всякого з е= 6 существует одно и только одно отображение класса С 1 из М в О, такое, что 1(х)=з и 1 ~.а)=а. Единственность отображения 1 вытекает из следствия 2 предложения 59 $3, п'17, и связности многообразия М.
Докажем существование отображения 1. Существует открытое покрытие (О;),. г многообразия М и для любого (не! отображение й,: О,— +6 класса С' ', такое, что й,. '.йд, =а на О, (9 4, и'б, теорема 5). В силу следствия 2 предложения 59 3 3, и' 17, д,д ' локально постоянно в О, ПО . Положим д,д ' = д, . Пусть Ол — группа 6, наделенная дискретной топологией. Отображения дп. О,ПУ;-+Он непрерывны и дпд㻠— — ды в О,ДОГДО». Поскольку М односвязно, существуют непрерывные отображения') Лл О,-+Он, такие, чтой,д =Л,.Л в О,ДОГ Пусть д — отображение нз М в 6, ограничение которого на О, есть Л, дн каково бы нн было(ЕНТ. Это отображение принадлежит классу С" ' н д-'.Г(д=а.
Отображение 1 из М в 6, определенное формулой ~=з(д(х)) д, удовлетворяет условиям 1 . а1=а и )(х)= з. о. Переход от законов инфинитезимального действия к законам действия Лемма 4. Пусть 6 — связная топологическая группа, Х вЂ” отделимое топологическое пространство, 1, и 1т — законы левого (соотв. правого) действия группы 0 на Х, такие, что для вся- КОгО Х ЕНХ ОтОбражЕНия Зь-е.~, (З, Х) И Зь-нг,(З, Х) ИЗ 6 В Х непрерывны.
Предполагается, что существует такая окрестность У множества (е) Х Х в 6 К Х, что ), и 1» совпадают на У. Тогда Пусть хан Х и А — множество таких у~О, что ~,(д, х)= =~,(д, х). Тогда А замкнуто в 6. С другой стороны, пусть д ы А; ') Глаакое расслоенне с дискретным слоем, определенное коннклом Н (Мн, Св. Ред., ЗЛ), тривиально ввиду односняаностн М; его непрерывное сечение над М н надает отовраженне Ль — Прим.
иерее. ГЛ. 1П. ГРУППЫ ЛИ положим у=)1 (д, х) =72(у, х). Существует окрестность О элемента е в О, такая, что 11 (1, у)=12(1, у) при 1еиО, другими словами, такая, что )1(1', х) =)2(1', х) для 1'~ Пу (соотв. дП). Стало быть, А открыто в 6 и, следовательно, А=О. Пикдложнниа 16. Пусть 6 — связная группа Ли, Х вЂ” отдели мое многообразие класса С' и 11, 12 — законы левого (соотв.. правого) действия класса С' группы 6 на Х. Если ассициированные с 1'1 и 12 законы инфинитезимального действия равны, то 11 12 В силу следствия предложения 11 из $4, и' 7, существует окрестность )т множестга (е) Х Х в 6 Х Х, такая, что )1 и 12 совпадают в )т.
Следовательно, )1=)2 (лемма 4). Лемма 5. Пусть 6 — односвязная топологическая группа, Х вЂ” отделимое топологическое пространство, П вЂ открыт окрестность элемента е в 6, 2Р— непрерывное отображение из П Х Х в Х, такое, что 111 (е, х) = х и 2Р (з, 1Р (О х)) = 2Р (з1, х), каковы бьс ни были хе=Х и з, 1 из П, такие, что з1енП. Пусть )У' — открытая связная симметричная окрестность элемента е, такая, что й122 с= О. Существует один и только один закон непрерь1вного левого действия 2Р' группы 6 на Х, такой, что 2Р' и 2Р совпадают в )у,у,'Х. Если 6 — группа Ли и Х вЂ” многообразие класса С", а 2р принадлежит классу С", то 2р' принадлежит классу С'.
Единственность закона 1р следует из леммы 4. Пусть Р— группа подстановок множества Х. Для и ен Ятз отображение х »-» 2Р(и, х) является элементом 1(и) из Р и 1(и1игиз) =1(и1) ) (и2) 1(из) для и„и,, из из В'. Применяя лемму 1, и' 1, получаем морфизм 1" из О в Р, продолжающий )'|Ят. Положим 2р'(у, х) =1'(к)(х) для любого (д, х) ~ О л', Х.
Тогда 2)т' есть закон левого действия группы 6 на Х, совпадающий с $ в )12;к', Х. Поскольку 2р'(д, 2р'(у', х)) = 2р'(дд', х) для (д, д', х) ен 6 У',6 Х Х, непрерывность отображения 2р в втК Х влечет за собой непрерывность отображения 2р' в йЖ' Х Х, каков бы ни был элемент д ~ 6. Стало быть, 1р' непрерывно. Если 2р принадлежит классу С', то мы подобным же образом убеждаемся в том, что $' принадлежит классу С'. Таогамл 5. Пусть 6 — односвязная группа Ли, Х вЂ” компактное многообразие класса С' (г)2) и а 6,— закон инфинис — 1 тезимального левого (соотв.
правого) действия класса С алгебры Ли Ь(6) на Х, Существует один и только один закон левого (соогв. правого) действия класса С 1 группы 6 на Х„ ь ь ь, ввщяствгнныг или комплвксныв гьтппы ли 359 такой, что ассоциированным с ним законом инфинитезимального действия является а «-«0ь.
Единственность следует из предложения 16. В силу следствия 1 теоремы 6 $ 4, и' 7, существуют окрестность множества (е)р', Х в 0;т,' Х и кусок закона левого (соотв. правого) действия класса С группы 0 на Х, определенный в )т, такой, что ассоциированным законом инфинитезимального действия является а «-« ?),, Поскольку Х компактно, можно предположить, что )т имеет вид У к, Х, где У вЂ” открытая окрестность элемента е в О. Теперь достаточно применить лемму 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
