Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Пусть 6,— группа Ли, определенная алгеброй Ли Ь(6). Пусть ф =!до,, это — экспоненцнальное отображение для ОР Для всякого р ) О обозначим через ЬР множество таких хек Ь(6), что ]]х]]ч. р. 3 . $7. ГРуппы ли НАд ультРАмктРическими пОлями 369 Тогда, ДлЯ Достаточно малого 1ь, Ев — откРытаЯ поДгРУппа аД- дитивной группы А',(О), ф(ь. ) — открытая подгруппа в 6, (5 4, и'2, лемма 3), 2Р! Ек — морфизм аналитических многообразий нз А.в на 2!7(СР) и ф(пх) =7Р(х)" для всякого х ~ Г'.Р н ~с~к~го и ен Е. Множества Ьк образуют фундаментальную систему окрестностей элемента 0 в Ь(0).
В силу 'теоремы 1 существуют число !ь и открытая подгруппа 6' в 6, такие, что зр(ьв) и 6' изоморфны, откуда следует требуемое утверждение. Пркдложкник 4, Пусть 6 — группа Ли, ф — инъективное зкспоненциальное отображение для 6. Предположим, что р > О. Каковы бы ни были х, у в Е(6), х+ у = 11гп р-пф '(ф(рпх) ф(р"у)), (1) !х у) !!Гп р-2пф-ъ (ф(рпх) ф(рпу) ф( рпх) ф( рпу)) (2) и-ь+ Это частные случаи предложения 4 5 4, п'3.
8. Стандартные группы ') Если 3(Х7, Х„..., Х,) — формальный ряд с коэффициентами из А, то, каковы бы ни были х„..., х, в ш, ряд 3(х„х„..., х,) сходится. Более точно, ЛГ Х ж Х ... Х ж содержится в области строгой сходимости ряда 5 (Мн. Св. рез., 4.1.3). Опркдглснив 1. Пусть à — целое число .= О. Стандартной группой размерности г над К называется группа Ли 6, обладающая следующими свойствалси: (7) аналитическое многообразие, лежащее ниже 6, есть в7Х Х 7п Х Х ж (г множителей); (й) существует формальный ряд Р от 27 переменных с коэффициентами в А', не имеющий свободного члена и такой, что х.
у = с(х, у), каковы бы ни были х, у в 6. Имеем тогда 0.0=0, стало быть, единичный элемент в 6 является началом координат в п7Х ... Х Л7. Отождествим 7'. (6) с К'. Согласно формуле (13) 3 5, структурные константы алгебры Ли Л (6) относительно канонического базиса принадлежат кольцу А. Нам придется в одном и том же рассуждении рассматривать элементы из ЛГХ ... Х 7п то как элементы из 6, то как элементы из ь(0). Пример. Пусть 6 =1+ Мп(ж); это открытое подмножество в М„(К).
Если к ~0, то бе!хан 1+ ж н потому 0 с: б!. (и, К). ') Результаты п'3 и 4 и их доказательства остаются в силе, если поле К имеет характеристику > О. зто ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ Ясно, что 66 с= 6. Если х = 1+ у, где у ~ М„(в!), то вычисление обратной матрицы показывает сначала, что х ' ен М„(А); полагая х ' = 1 + у', получаем у + у'+ уу' = О; стало быть, у' ~ М„(ж) и, следовательно, х ' ~ 6. Таким образом, 6 есть открытая подгруппа в 61.
(и, К). Отождествим 6 с а"' при помощи отображения (Ьп + уп)» (уп). Ясно, что 6 — стандартная группа. Творвмь 4. Пусть 6 — конечномерная группа Ли. Существует открытая подгруппа в 6, иэоморфная стандартной группе. Заменив 6 некоторой ее открытой подгруппой, сведем все к случаю, когда 6 является открытым подмножеством из К' с единичным элементом О, а координаты произведения х, у н обратного элемента х' " задаются формулами (х.у),=х1+у, + ~ с, 1х"у" (1=1, 2, ...
Г), (3) 1а1>1,1В!>1 (х' «), = — х, + ~„й,1х' (!'=1, 2, ...„Г), (4) 1а1>! причем ряды в правых частях этих формул сходятся прн х, у из 6 (5 5, и' 1). Пусть А ен К"; перенесем групповой закон с 6 на 6' = )!6 посредством гомотетин порядка )!. Для х', у' из 6' произведение х'.
у' и обратный элемент х' '1, вычисленные в 6', имеют координаты (х'. у')! =х! + у'+ ~' с' х~ву'а (!'= 1 2 1) ! Р1Э 1, 1В1>! (Х'! «)1 = — Х! + ~, С(,'1Х'в (! = 1, 2,..., Г), 1а1>1 где . -1 а 1-1 а!+1 Свз! = й сввп й 1,-!в!+!й а!' Поскольку ряды (3) и (4) сходятся, мы видим, что при достаточно больших ~ )!! и произвольных а, р, ! !с.'в!!<1 1й;;! <1 4. Фильтрация стандартных групп Примем вновь обозначения определения 1. Выберем число а > 1 и такое вещественное нормирование о поля К, что (х1= =а-'!"! для всякого х~ К (Комм.
алг., гл. !!Г, 5 6, предложение 3). Если а — ненулевой (стало быть, открытый) идеал в А, т. е, сьз1ен А и йв1~ А; с другой стороны, 6':за!Х «1Х ... Х в!. Тогда «1Х «1Х ... Х ж есть открытая подгруппа в 6' и стандартная группа. ч р ь ГРуппы ли ИАЛ ультРАметРическими полями Зт! содержащийся в пс, обозначим через 6(а) множество элементов в 6, координаты которых принадлежат а. Если Асей, через ах (соотв.
Еьк) обозначается множество таких х еи К, что о(х) ) д соотв. о(х) > А); имеем Рр —— -А, ар+ =в!. ДлЯ х=(х„..., х,)~6 положим рр(х) = 1п1(о(х,),..., о(х,)). (5) Предложении 5. Пусть 6 — стандартная группа. (!) Если а — ненулевой идеал кольца А, содержащийся в пс, то 6(а) есть открытая нормальная подгруппа в 6.
(И) Множества 6(рх) для Л ) О образуют фундаментальную систему окрестностей элемента е в О. (1И) Предположим, что ах ~ а для Х)ьр, и наделим фактор- группы 6(а)/6(а„) для Х) Ар дискретной топологией. Тогда толологическая группа 6 (а) есть проективный предел групп 6 (а)/6 (ЕА). (!У) Пусть а, Ь вЂ” ненулевые идеалы в А, содержащиеся в пс, такие, что а:эЬ:за'.
Отображение х «(х, Гпос)Ь, ..., х,гподЬ) иэ 6(а) в (р/Ь) Х ... Х(а/Ь) определяет при переходе к фактору иэоморфиэм группы 6 (а)/6 (Ь) на аддитивную группу ~а/Ь) Х... Х (а/Ь). Если хенО и урн О(а), то координаты элементов х и х,у равны по модулю а. Стало быть, если х', х" лежат в О н у', у" лежат в 6(а), то координаты элементов х'. х" и (х'.
у'). (х". у") равны по модулю а. Это доказывает (1). Утверждение (И) очевидно, а (ш) следует из изложенного выше и из Общ. топ., 1968, гл. П1, з 7, предложение 2. Если хеп 6(а) и у ЕПО(а), то координаты элемента х. у сравнимы с координатами элемента х+ у по модулю 6(ЕР) в силу формулы (4) из $5. Это доказывает (!у). Следствие. Предположим, что К локально компактно, и пусть' р/ = Сагд (А/пс). (1) Если р=-пс' и Ь=пс~, где Ь~а)1, то 6(а)/6(Ь) есть р-группа мощности д'р ". (И) 6(а) является проективным пределом р-групп, Число элементов группы 6(а)/6(Ь) равно (Сагс((а/Ь))"; если Ь= а+ 1, то е/Ь есть векторное пространство размерности 1 над А/вс, откуда следует утверждение (1) в этом случае; общий случай получается теперь индукцией по Ь вЂ” а, Утверждение (И) следует из (1) и предложения 5 (И1). Предложение 5. Пусть а, Ь, с, с' — ненулевые идеалы кольца А, содержащиеся в пс и такие, что с' с с, аЬ с с, аЬ' ~ с', а'Ь с с'.
272 ГЛ. П1, ГРУППЫ ЛИ Если х ен 6 (а) и у ен 6 (Ь), то элементы х!-и . у1-11 . х, у, х. у. х! н. у1-П, [х, у] принадлежат 6(с) и сравнимы по модулю 0(с'). В силу предложения 1 $5, п'2, существуют такие с ~А', что х'-1!.у' ".х.у — [х, у]= ~ с„зх'уз. 1а ! Ы З ! > 3 Если х = О или если у = О, то х! " . у! П.
х. у — [х, у] = О; стало быть, с,„ = с„ь= О. С другой стороны, из условий хе=6(а), уяб(Ь), ]а]>1, ]р]>1, ]а]+]р]>3 следует, что сьзх уз е= 6(азЬ+ аЬз) ~ 6(с') стало быть, х'-Н.у' И.х. у — [х, у] ен 0(с'). Аналогично, видим, что х, у.х!-и. у!-н — [х, у] ~ 0(с'). Наконец, в силу формулы (13) из $5 [х, у] ен 6 (аЬ) с: 6 (с). Ч. Т.
Д. Првдложннив 7. (1) Семейство (6(ах)) есть центральная фильтрация на б (гл. 11, э 4, и'4, определение 2). (В) Для Л~К' имеем 0(ах)=(хенб]1ь(х)>Л), 6(аД= = (х ен б ] 1ь (х) > Л), Утверждение (В) очевидно. Докажем (!). Ясно, что 0(а1)= = П 6(а„) и что 6 = [] 0(аь). С другой стороны, если х ~и а(х х>о ен 6(ах) и уев 0(а„), то х1-и. у!-и. х, у ен 0 (ах+„) в силу предложения 6, применяя которое мы полагаем а=а,„ Ь = а„, с = с' = ах+„.
В силу гл. П, $ 4, и'4, можно образовать группу нг(6), ассоциированную с группой 6, наделенной центральной фильтрацией (0(а )). Положив б =0(а )/6(а+) для всякого Л > О, получим цг(6) = ®бю Напомним (гам же, предложение 1), хэо что коммутатор в 0 позволяет следующим образом определить операцию коммутнрования в цг(6), относительно которой йт(б) является алгеброй Ли: если х я Ох и у ен 6„, выберем в 6(а ) представитель х элемента х и в 6(а ) представитель у элемента у; тогда [х, у] есть класс элемента х1 ".у' н.х.уен енб(ах,.„) в 6„1.„. Применяя предложение б с а=а, Ь.=а„, с=а„+, с'=а~+ „, видим, что [х, у] также является классом элемейта [х, у] в ба+„.
Таким образом, если 0 рассматривается как подал- б $7, ГРуппы ли иАд ультРАметРическими полями Зтз гебра Ли в Е(6) =К", фильтрованная идеалами 6(а2), то ассоциированная с ней градуированная алгебра Ли (гл. 11, $4, п' 3) совпадает с йт(0). б. Степени в стандартных группах Сохраняются обозначения п' 4. ПРедложение 8. Пусть пене. и ܄— отображение хь-»х" из 6 в О.
Пусть а — ненулевой идеал кольца А, содержащийся в ж и такой, что и ей а. Тогда Ь„~6(а) есть изоморфизм аналитического многообразия 0 (а) на аналитическое многообразие 6(па). По определению стандартных групп Ь„совпадает во всей, группе 6 с суммой некоторого степенного ряда с коэффициентами из А'. В силу формулы (4) $ б этот ряд имеет вид Ь (х)=пк+ ~, а ха. !ай~2 Стало быть, при х ~ 6 Ь„(пх) = итрах+ ~ пап~а~ 2ха) = п25(х), 1а ПР2 если положить 5(х)=х+ ~ аап' ' 2х".
Этот ряд 5(х) опре-- 1а! >2 деляет аналитическое отображение из 0 в 6, которое мы также обозначивс через 5. В силу А1д., сйар. 1'Ч, $8, ргорозШоп 8, существует такой степенной ряд 5' от Г переменных с коэффициентами в А', что 5'(5(Х)) = 5(5'(Х)) =Х. Стало быть, 5 есть изоморфизм аналитического многообразия 6 на себя, и для всякого ненулевого идеала Ь кольца А, содержащегося в ж, имеем 5(0(Ь)) с:. 6(Ь), 5'(6(Ь)) с: 6(Ь), а потому 5(0(Ь))= 2 =6(Ь). Поскольку Ь„(у)=п25~ — у) для у~п6, мы видим, что Ь„| п6 (Ь) является изоморфизмом аналитического многообразия п6(Ь) на аналитическое многообразие и'6(Ь), Но поскольку и фа, ~п ~) ~Л ! для всякого Лена и, следовательно, и-'а с= ж, значит, а имеет вид ЛЬ, где Ь вЂ” ненулевой идеал кольца А, содержащийся в ж. Следствие, Если и обратимо в А, то Ь„есть изоморфизм аналитического многообразия 6 на себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
