Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 77
Текст из файла (страница 77)
1 Ясно, что ф аналитично и является экспоненциальным отображепием для 6. Если ф': Ь (О) -Р 6 — экспоненциальное отображение для 6, то ф и ф' совпадают в некоторой окрестности элемента О, а потому равны, поскольку Ь(0) связно. Ч. Т. Д. С этого места, если мы будем говорить об зкспоненциальном отображении для 6, то речь будет идти об отображении, рассмотренном в теореме 4. Оно обозначается через ехра илн просто ехр, если это не может привести к путанице. Пример.
Пусть А — полная нормированная ассоциативная алгебра с единицей. Тогда ехрл» есть экспоненциальное отображение, определенное в гл. 11, $ 7, и' 3. ПРедложение 7. Пусть 0 — группа Ли„а — элемент из Ь(6). Отображение Л»-Р ехр(Ла) из К в 6 является единственным мор4йизмом ф группы Ли К в О, таким, что (Твэ) 1 = а. ГЛ. П1. ГРУППЫ ЛИ 350 Отображения (Л, Л') ~ехр(Ла)ехр(Л'а) и (Л, Л') ехр(Л+Л')а из КХК в 6 аналитичны и совпадают в некоторой окрестности элемента (О, 0).
Поскольку КХК связно, эти отображения равны. Стало быть, ф1 Л ехр(Ла) есть морфизм групп Ли из К в 6. Касательное отображение в 0 к Л ~Ла есть отображение Л ~ Ла и Т, (ехр) = !дс 1о~', значит, (Тьф) 1 = а. Утверждение единственности следует из теоремы 1. Пивдложннин 8. Пусть 6 — группа Ли.
Каковы бы ни были х, у в Е(0), имеем, обозначая через и целое число, ехр(х+ у) = Игп Яехр — х) (ехр — у)), (2) ехр!х, у] = м ИП1 ((ехр — х) (ехр — у) (ехр — х) (ехр — у) ) . (3) Это следует нз предложения 4 5 4, и' 3, если положить в нем Л= 1/и и принять во внимание предложение 7. ПРРдложннив 9. Пусть 6 — комплексная группа Ли, 6' — нижележащая вещественная группа Ли. Тогда ехро — — ехро. Это следует из предложения 5 5 4, п' 3, и аналитичности отображений ехро и ехро. ПРндложвниз 10. Пусть 6 и Н вЂ” группы Ли, 1р — морфизм из 6 в Н: (1) 1роехро — — ехрн о Е(ф). (И) Если 6 — интегральная подгруппа в Н, то ехрл = =ехрн]Е(6). Обе части равенства (1) суть аналитические отображения из Ь(6) в Н, совпадающие в некоторой окрестности элемента 0 ($ 4, п'4, предложение 8); стало быть, они равны.
Утверждение 1И) является частным случаем утверждения (1). Следствие 1. Пусть 6 — группа Ли, 6' — подгруппа Ли в 6 и а~ А(6). Следующие условия зквивалентны1 (1 ) а ен Е (6'); (И) ехр(Ла)~6' для Лен К и достаточно малых ] Л ]; (ш) ехр(Ла) ен6' для всякого Л~ К. Рассуждаем так же, как в следствии 1 предложения 8 8 4„п'4.
Следствие 2. Пусть 6 — группа Ли, Н вЂ” интегральная подгруппа в 6 и л енЕ (6). Рассмотрим следующие условия'. (1) аенЕ(Н); $ б. вещественные или комплексные ГРуппы лн 351 (й) ехро(Ла) »ЕН для всякого ЛенК, Тогда (!) Ф (й). Если топология на Н допускает счетный базис, то (1)ФФ(й) Пусть! — каноническая инъекция из Н в 6. Если иена(Н), то ех ро (Ла) = (ехро о Е (1)) (Ла) = — (! о ехрв) (Ла) ~ Н. Стало быть, (!)Ф(й). Обратная импликация для подгрупп Н со счетным базисом следует из предложения 3. Следствие 3.
Пусть 6 — группа Ли, р — линейное аналитическое представление группы 6, хе= А(6) и у~О. (!); р(ехрх)=ехрй(р)х; (й) АГ! (ехрх) = ехр а»( х; (Гй) д(ехр х) у-' =ехр(АЙ у. х). Рассуждаем так же, как в следствиях 2 и 3 предложения 8, 3 4, и' 4. Следствие 4. Пусть Π— связная конечномерная группа Ли. (!) Имеем 1п1(Е(6)) =А»)(6). (й) Пусть 2 — центр группы О. Тогда 2 является подгруппой Ли в 6, алгебра Ли которой есть центр в Е(6).
Отображение из 6/Я в 1п!Ь(6), получающееся из д ~Аду переходом к фактору, есть изоморфизм групп Ли, Утверждение (1) вытекает из следствия 3 (й) и замечаний, следующих за определением 2. Пусть у~О. Чтобы Абд=!де<о>, необходимо и достаточно, чтобы !и!д совпадало с 1до в некоторой окрестности элемента е 5 4, и'1, теорема 1 (й)), а потому во всей 6; другими словйми, необходимо и достаточно, чтобы у»ЕХ. Коль скоро это так,' то (й) вытекает из следствия 1 предложения 1. Опгеделение 3. Пусть Π— связная конечномерная группа .7и.
Группа Ли !п1(Е(6)) =Ад(6) называется присоединенной группой к 6. ПРедложенне 11. Пусть Π— коммутативная связная группа Ли. (!) ехр есть этальный морфизм аддитивной группы 7и Е(6) на 6. (й) Если К= 1» и 6 конечномерна, то 6 изоморфна группе Ли вида 1(РХТ» (р, д — целые числа )0). В силу формулы Хаусдорфа (ехрх)(ехру) =ехр(х+ у) для х, у, достаточно близких к О, а, стало быть, по аналитическому продолжению и для произвольных х, у в Е(6). Значит, ехр есть гл, пь итоны ли гомоморфизм групп, и он этален, поскольку Т, (ехр) = 1йс <о! ° Отсюда следует (1). Утверждение (Е) вытекает из (1) и из Общ.
топ., 1969, гл. Ч11, 5 1, предложение 9. Пввдложвнин 12. Пусть 6 — группа Ли и Е =Ь(6). Для всякого х~Ь отождествим Тх(Ь) с Е, так что правый дифференциал ет(х) отображения ехр в х будет линейным отображением из Ь в Ь. Для любого хевЬ хв (х) = ~ („+, (ай х)". л>0 Оба члена являются аналитическими функциями от х и совпадают для всех х, достаточно близких к О ($4, п' 3, предложение 6).
Замечание. Имеем ет(х). (айх) =ехрабх — 1. Допуская вольность в обозначениях, пишут ехр ач х — 1 ет(х) = аьх Слвдствив. Пусть 6 — комплексная группа Ли и х~Ь(6). 1Тдром касательного отображения в х к ехро является Я Кег (ао х — 2(пп). пах-10! Нулями целой функции х э т х", равной (е' — 1)/а 1 пР~ при а~О, являются точки из 2п(Š— (О), все они — простые нули. Следствие вытекает тогда из предложения 12 и такой леммы: Лемма 2. Пусть Š— комплексное банахово пространство, и — элемент из Ы(Е), 5 — спектр элемента и в Ю(Е) (Спектр. теор., гл. 1, 9 1, и'2), )' — комплексная голоморфная функция в открытой окрестности ьг мнозсества 5.
Предположим, что 1 имеет в Й только конечное число попарно различных нулей хп ..., г„, имеющих кратности Ьо..., Ь„соответственно. Тогда В~ Кег!'(и) есть прямая сумма пространств Кег(и — г„) для 1(1< и. (Относительно определения элемента 1(и) см. Спектр. теор., гл.
1, $4, п'8.) а Е. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ИЛИ КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ ЛИ ззз Существует голоморфная функция д в ав, нигде не обра« «в щающаяся в нуль н такая, что Г (г) =(г — г,) ... (г — й„) "д(г). Тогда й(и) у-' (и) = д — '(и) д(и) = 1, стало быть. Кег((и) = = Кег П(и — з,) '. Пространство Кег1 (и) можно рассматривать г=1 как С 1Х)-модуль, поскольку на нем задан внешний закон (й, х)а-+Ь(и)х, где йенС(Х!,- хяКег7(и). Используя А(д., с)гар, ЧП, $2, и 1, ргороз111оп 1 '), мы видим, что Кег)(и) есть прямая сумма пространств Кег(и — г,)"г.
б. Применение к линейным представлениям Предложение 13. Пусть 6 — связная группа Ли, р — линейное аналитическое представление группы 6 в полном нормируемом пространстве Е и Ен Ее — два замкнутьгх векторных падпро- странства в Е, таких, что ЕусЕг. Следующие условия экви- валентны: (г) р(д) х=х(гпоб Е,) для любых де6 и х енЕ;, (В) элементьг из Е(р)(Ь(6)) отображают Е, в Е,. В самом деле, р(и)х— = х(тог(Е,) для любых ден6 и хеЕ,Д мафр(ехра) х= — х(тобЕ,) для любых аяЬ(6) и хен Е,чф 4$(ехрЕ(р)а)х=х(тобЕ) для любых апнц(6) и хенЕг. С другой стороны, если и енсУ(Е), то (ехрЛи)хк— м х(тог) Е,) для любых Л~К и хееЕ,ФФи(Ег) с= Ее, откуда следует предложение.
Следствие 1. Для устойчивости Е, относительно р необхо- димо и достаточно, чтобы Е, было устойчиво относительно Ь(р). Достаточно положить Е, =Е, в предложении 13. Следствие 2. Предположим, что р канечномерна. Чтобы р было простым (соотв. полупрастым), необходимо и достаточна, чтобы Ь (р) бегло простым (соотв. полупростым), Это вытекает из следствия 1. Следствие 3, Для того чтобы хенЕ был инвариантен относительно р(6) необходимо и достаточно, чтобы х, аннулиравался злементами из Ь(р)(Е,(6)) (т.
е. чтобьг х бьгл инвариантен относительно Ь(р) в смысле гл. 1, $ 3, определение 3). Достаточно положить Е, =Кх, Е«=0 в предложении 13. ') См. также Алв., гл. УП, з 2, п'2, предложение 3.— Прим. перев. 12 Н. Бурбаав ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛН Следствие 4, Пусть р' — другое линейное аналитическое представление группы 0 в полном нормируемом пространстве Е'. Пусть Тенй(Е, Е'). Следующие условия эквивалентны". (с) Тр(й) = р' (й) Т для всякого д ен 0; (И) ТЕ (р) (а) = Е (р') (а) Т для всякого а ~ Е (0). Пусть о — линейное представление группы 0 в сс'(Е, Е'), полученное из р и р' (5 3, и' 11, следствие 1 предложения 41). Условие (1) означает, что Т ннвариантен относительно о(0).
Условие (В) означает, что Е (о)(Ь (О)) аннулирует Т. Теперь достаточно применить следствие 3. Следствия 5. Предположим р и р' конечномерными, Для эквивалентности р и р' необходимо и достаточно, чтобы Е(р) и Е(р') были эквивалентны. Это частный случай следствия 4. Следствия 6. Предположим, что 0 конечномерна. Пусть МенП(0). Чтобы Т.с (соотв. Ес) был инвариантен справа (соотв. слева), необходимо и достаточно, чтобьс 1 принадлежал центру алгебры 0(0). Чтобы (,с (соотв. сгс) был ннвариантен справа (соотв. слева), необходимо и достаточно, чтобы ее ь1=1ь ее для всякого у~0, т.
е. чтобы (1п1й),1= С Существует целое число п, такое, что 1е=П„(0). В силу следствия 3 н предложения 45 $3, и'12, (1п1й),1=1 для всякого ден0 тогда и только тогда, когда (а, 1)=0 для всякого аенЬ(0), т. е. тогда и только тогда, когда 1 коммутирует с 0(0). б. Нормальные интегральные подгруппы Лемма 3. Пусть 0 — группа Ли, Нс и Нз — интегральные подгруппьц топология которых допускает счетный базис, и а ~0. Тогда йНсй ' = Н,Я(Ас)д)(Е(Н,)) =Е(Нс). Имеем Аб д = Т,(1п1 а). Стало быть, благодаря переносу структуры (1п1 а) (Н,) имеет в качестве алгебры Лн (Ай д)(Е(Н,)). Поскольку Н, н Нт имеют счетный базис, совпадение множеств Н, н (!п1д)(Нс) эквивалентно тому, что интегральные подгруппы Н, и (1п1у) (Н,) совпадают (п' 2, следствие 3 предложения 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
