Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 79
Текст из файла (страница 79)
У. Экспоненциальное отображение в линейной группе Пгядложвниз 17. Пусть Ь вЂ” множество таких г ен С, что — и С о (г) ( п, и Съ — множество таких з ен С, которь1е не являются вещественными числами (О. Пусть Š— полное нормируемое пространство над С, А (соотв. А') — множество элементов хек Я(Е), спектр которых Яр х содержится в Л (соотв.
в Ь'). Тогда А (соотв. А') является открытым подмножеством пространства У(Е) (соотв. 6?. (Е)), и отображения ехр: А-«А' и 1од: А' — «А (Спектр. теор., гл.?, $4, п'9) суть обратные друг другу иэоморфизм1я аналитических многообразий. Это следует из Спектр. теор., гл. 1, $4, предложение 10 и и'9. ТеОРемА 6. Пусть Š— вещественное или комплексное гильбертово пространство, У вЂ” унитарная группа пространства Е. (1) Множество Н эрмитовых эле.чентов из Х(Е) является (относительно структуры вещественного нормированного пространства) замкнутым векторным пространством в Ы (Е), допускающим топологи ческое дополнение.
(й) Множество Н' элементов О в б? (Е)1') Н есть вещественно-аналитическое подмногообразие в 6?. (Е). (111) Ограничение на Н отображения ехр есть изоморфизм вещественно-аналитических многообразий из Н на Н'. (1ч) Отображение (Ь, и)«-«(ехрЬ)и из Н«',У в б? (Е) есть изоморфизм вещественно-аналитических многообразий. Напомним, что если х ен Ы'(Е), то через х" обозначается элемент, сопряженный к х. Пусть Н, — множество таких хенй" (Е), « 1 1 \ что х = — х. Формула х= — (х+х')+ — (х — х) показывает, что относительно своей структуры вещественного нормированного пространства й (Е) является прямой топологической суммой пространств Н и Н„ откуда следует (1).
ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛН Предположим, что К=С. В обозначениях предложения 17 Н' есть множество таких Ь ы Н ДА', что ЯрЬс= )х+. Поскольку ехр((х) = )с», утверждения (В) и (И) следуют из предложения 17, из Спектр. теор., гл. 1, 5 4, предложение 8, и 5 6, и'5. Ото'бражение (Ь, и)»-Ру=(ехрЬ)и из Н)(П в 61.(Е) бнективно согласно Спектр. теор., гл. 1, $6, предложение 15. В силу изложенного выше оио вешественио-аналитична.
Отображение 1 у Р Ь = — 1ои (уу ) является вещественно-аналитическим, стало быть, таково же и отображение у» — - и=(ехрЬ) 'у. Отсюда следует (1ч). Предположим, что К = К. Пусть Š— гильбертово пространство, являющееся комплексификацией пространства Е, и Х вЂ” отображение $ +1!1»-Р 5 — 11! (для 5, 11, принадлежащих Е) из Е в Е. Обозначим через Й, Й', б множества, определенные для Е таким же образом, как множества Н, Н', П для Е. Тогда Н (соотв. Н', П) отождествляется с множеством таких х ~ Й (соотв.
Й', с1), что УхУ =х. Свойства (В), (ш), (Рч) сразу же следуют тогда из (1) и аналогичных свойств в комплексном случае. ПРедложинин 18. Пусть Š— полное нормируемое пространство над С, о ен 2'(Е) и д = ехр о. Предположим, что Зр (о) не содержит никакой точки вида 21лп, где п~Х вЂ” (О). Тогда для всякого хенЕ условия ох=0 и ух=х эквивалентны. Это следует из леммы 2 п' 4, примененной к функции г»-Р е' — 1.
Следствие 1. Пусть Š— полное нормируемое пространство над С, Р— пространство непрерывных и-линейных отображений из Е" в Е. Для всякого о ~ 2'(Е) пусть о (о) — элемент из ж (Р), определенный формулой (о(о)1)(х„..., х„) = о()(х„..., х„)) — ~, 1(х„..., ох„..., х„). Для всякого йс= 01.
(Е) пусть р(д) — элемент из 61. (Р), определенный формулой (р(д)1) (х„..., х„) =д(1(д 'хо ..., й 'х„)). Пусть элемент и ял1'(Е) таков, что всякая точка гя Зр и удовлетворяет условию ~ о (г) ~ ( 2л~(п + 1). Тогда для всякого !' еи Р условия о(и)) =0 и р(ехри)1=!' эквивалентны. Имеем Ь(р) =о 5 3, п'!1, следствие 1 предложения 41); стало быть, р(ехри) =ехро(и) (п' 4, следствие 3 предложе- р $6. вещественные или кОмплексные ггуппы ли аа! ния 10). Принимая во внимание предложение 18, мы видим, что достаточно тогда доказать, что Зрв(и) не пересекает множе- ство 2!Л(Х вЂ” (О)). Но это вытекает из следующей леммы: Лемма 6. Если о~Я(Е), то Зри(о) с: Зри+ Зри+ ...
+ Зро, где сумма включает и+ 1 членов. Определим элементы о„он ..., о„из,У(Е), положив для всякого ! ен Е (ор()(х1 ..., х )=о() (х~ ..., х )), (о;1)(хи ..., х„)= — )(х„..., охо ..., х„) при 1«! и. л Тогда в(о) = ~' о, и элементы о; попарно перестановочны. Пусть р А — замкнутая наполненная подалгебра в х'(Е), порожденная" элементами об она коммутативна (Спектр. теор., гл. 1, 5 1, и' 4), и Зрепоо(о)=Зрло(о)с: ~, Зро, (Спектр.
теор., гл. 1, $3, предлор-р жение 3 (В)). Но если точка ХенС такова, что элемент о — !р обратим, то ясно, что элементы о, — 7р обратимы, а стало быть, Зр о, с= Зр о для всякого !. Следствие 2. Пусть. Š— полная нормируемая алгебра над С и ар~У(Е). Предположим, что любая точка ген Зрю удовле- творяет условию )д'(г) ~ <(2п)/3. Следующие условия эквива- лентны: (1) ю есть дифференцирование алгебрьр Е; (11) ехрв является автоморфизмом алгебры Е. Это вытекает из следствия 1, где мы полагаем и =2 и в ка. честве 1 берем умножение в Е.
Пведложение 19. Пусть Š— полное нормируемое пространство над С, ее=.2'(Е) и у=ехро. Предположим, что всякая точка г ен Зр о удовлетворяет условию — и < 2(е) < и. Тогда для всякого замкнутого векторного надпространства Е' из Е условия о(Е') с: Е' и у(Е') = Е' эквивалентны. Из условия о (Е') с: Е' следует, что у (Е') с Е' и д-' (Е') с Е', и потому у(Е') = Е'. Предположим, что д(Е') =Е'.
Воспользуемся обозначениями Л, Л' предложения 17. Поскольку Зр о есть компактное подмножество в Л, существует компактный прямоугольник Я=(а, Ь)Х(а', Ь'), такой, что ЗросЯсЛ. Множество Л вЂ” (1 связно. Стало быть, ЗрусехрЯсЛ', множество ехр(1 компактно и множество Л' — ехр Я связно. Замыкание последнего множества в С содержит ) — со, О), и потому (Л' — ехрЯ) Ц) — ьь, О) = С вЂ” ехрЯ связно. Тогда ехрЯ полиномиально выпукло (Спектр. теор., гл. !, $3, следствие 2 ГЛ.
НЬ ГРУППЫ ЛИ предложения 9), и, следовательно, функция 1оп, определеинан в а', есть предел в ст(ехрЯ) полииомиальных функций (Спектр. теор., гл. 1, $4, предложение 3). Значит, о =!оду является пределом в,У(Е) элементов вида Р(й), где Р— многочлен (Спектр. теор., гл. !, 3 4, теорема 3). Поскольку Р(й)(Е') ~ Е', то о(Е') ~Е'. Следствие. Пусть Š— полное нормируемое пространство над С, о е У(Е) и д=ехро. Предположим, что всякая точка ген Зри удовлетворяет условию — и/2 < У(г) < и/2.
Тогда для всякого замкнутого векторного пространства М в Ж(Е) условия йМд '=М и [о, М[с: М эквивалентны. Пусть Р=-Ж(Е), й' — отображение [~-У д1д ' из Р в Р н о' — отображение [~-~[о, П из Р в Р. Имеем д'=ехро' (и'4, следствие 3 предложения 1О, и 5 3, и'!1, следствие 1 предложения 41).
Лемма 6 показывает, что — и < т (г) < и для всякого г ~ Зр о'. Достаточно теперь применить предложение 19. И. Комплексификация вещественной конечномерной группы Ли Лемма 7. Пусть  — группа, А — нормальная подгруппа в В, С вЂ” группа В!А, 1: А — +В и р: В-+С вЂ” канонические морфизмы. Пусть А' — группа, ! — гомоморфизм из А в А' и в — морфием из В в группу автоморфизмов группы А'.
Предположим, что для а ев А, а' еи А', Ь еи В [(Баб Г)=в(Ь)[(а), в(а)а'=[(а)а'[(а) Пусть В" — полупрямое произведение группы В на А' относительно в, д — канонический морфизм из В" на В. (!) Отображение а ~.(!'(а '), 1(а)) из А в В" есть морфизм из А на некоторую нормальную подгруппу П в В". Пусть В'=В [П и 1'. А' — ьВ', д:  — эВ' — морфизмы групп А' и В в В', полученные при переходе к фактору из канонических инъекций групп А' и В в В". (В) Морфизм род из В" в С при переходе к фактору определяет морфизм р' из В в С. (1!!) Морфизм У инъективен, р' сюръективен, Кег(р') =1Гп (У) и нижеследующая диаграмма коммутативна А — '-~ В Р+ С [г '[ыс (4) А' — 'ь В' Р -~ С (1ч) Если Ьеи В и а'е А', то й(Ь)Р(а')д(Ь) ' =у(в(Ь)а'). и $ а Ввщественныв или комплвксныв гвгппы ли 363 (1) Для ао а, из А в группе'В" (7 (а ), Е (а,)) Яа '), 1(аз))=(Р (а, ')(в(а,) 1 (а, ')), 1(а,) ю' (а,))= = (7 (а ) 7 (аа, 'а, '), 1(а а )) = (7 ((а1аз) '), 1(а,а )); стало быть, а~ (7(а-'), 1(а)) есть гомоморфизм Ь из А в В".
Пусть а ен А, а' ен А', Ь ен В; тогда в В" ЬИ(а)Ь 1=Ь|(а 1)аЬ ~=(в(Ь)1(а ~))(ЬаЬ )= =1(Ьа 'Ь ')(ЬаЬ ') И(ЬаЬ ), а'Ь(а)а' '=а'7(а-') аа' ' =а')(а ')(в(а) а' ') а= = а'7 (а-') 7(а) а'-'~ (а-') а = Ь(а); слевовательно, группа Ь(А) =Р является нормальной в В". (й) Для а ен А (род)(И(а)) = р(д(1(а ')а)) =р(а) =е, а потому рос тривиален на Р. (гВ) Пусть элемент а' ен А' таков, что ю'(а') =е; имеем а' ен Р, и„стало быть, существует а~ А, такой, что а' =~(а ')а; это влечет за собой а = е, откуда а' = е; таким образом, ю' иньекти- вен. Поскольку р и д сюръективны, р' сюръективен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
