Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Св. рез. показывает, что Е'(Е'(х)) = Е'(Е'(х))=х при х еиб. Стало быть, Е' является изоморфизмом многообразия Ь на себя, и обратный морфизм есть ограничение отображения Е' на Л. Для целого числа л)О справедливо равенство Е(Х!»1)= =ПЕ(Х) (см, з 5, и'4). Поскольку 6 содержится в области строгой сходимости п»ядов Е и Х!"1, для всякого х~ 6 получаем, следовательно, Е'(х ) = пЕ'(х). Из соотношения Е'!Ь Е' вытекает, что Е'(х") =!опх" для достаточно больших н. Значит, Е'(х) = !оп х. Таким образом, мы доказали утверждения (1) и (!1). $ з ГРуппы ли ньд я или яе Пусть Н = ~ Н,,— формальный ряд Хаусдорфа и Ь вЂ” функг,з~ь ™ ция Хаусдорфа для алгебры Ли Е(6).
Область строгой сходи- мости Й содержит Л ХЛ, и Ь определена в Лк', Л (гл. П, 5 8,. предложение 2). Если х, у достаточно близки к О, то Е'(х) Е'(у) = Е'(Ь(х, у)) ($4, теорема 4(ч)). Стало быть„в обозначениях определения ! и'3 формальные ряды Р(Е(Х), Е(У)) и Е(Н(Х, У)) совпадают. Пусть х, у лежат в Л. В силу формулы (14) гл. !!, 5 8, зпр)(; ~(зпр(! х1~,1у ~/)) < 1, знр ~! Н,, Ц х !' !! у К ( ~ р |'л Согласно Мн.
Св. рез., 4.1.5, заменяя в ряде Р(Е(Х), Е(У)т элементы Х, У элементами х, у, мы получаем Е'(х) Е'(у), н делая в ряде Е(Н(Х, У)) такую же подстановку, получаем Е'(Ь(х, у)). Стало быть, Е'(х) Е'(у) =Е'(Ь(х, у)). 5 8г Группы Ли над К или Яр 1. Неирернвные тиорфизмы Твогнмь 1. Пусть 6 и Н вЂ” две групуслулы Ли над К или Яр. Пусть ! — непрерывный морфием из 6 в Н. Тогда ! аналитичей. Наделим Е(6) и Е(Н) нормами, определяющими их топологию и такими, что ~! [х, у) 'з (~! х з ! у з, каковы бы ии были х, у.
Существует открытый шар 1' с центром О в Е(6) и определенное в У экспоненциальное отображение ф для 6, такие, что- 1) ф(К) — открытая окрестность элемента е в 6; 2) ф — изоморфизм аналитического многообразия У на аналитическое многообразие ф()т); 3) ф(пх) =.ф(х)" для всех таких х~ У и п ен Х, что ах~ )т. Определим аналогичным образом Ю и ф для Н. Уменьшив, если понадобится У, можно предполагать, что !(ф()т)) с='ф(1т). Тогда д=ф 'о ! оф является непрерывным отображением из )т в йт.
Покажем, что (х ен (т, Л ен 0 и Лх еи $/) =)>у(Лх) = Лд(х). (!) Можно считать, что Л чь О. Пусть Л= —, где р, д принадлежат л,— (О). Пусть у= — х. Р ч ГЛ. [П. ГРУППЫ ЛИ Если К=К, положим г= —" — ен У. Тогда х=ух, у = рг, о откуда л(х)=ф (1(ф(дг)))=[р (~(ф(г)о))=ф '(~(ф(г))о)= = [[[р ([ (ф (г))) = [)й (г). Аналогично, д(у) =рд(г), откуда следует (1). Если К = [),„положим г = рх =' Чу ен У откуда у(г) = =ар(х) =[[я(у), и мы опять получаем (1).
Поскольку !о плотно в К, (1) влечет за собой (х ен У, Л он К и Лх ен У) = р д (Лх) = Лд (х). (2) Пусть х он Л(0) и Л, Л'он К' таковы, что Лхя У, Л'хя У. Тогда, согласно (2), я (Л'х) = д ( — „Лх) = — я (Лх); ! 1 значит, — „д(Лх) = —,д(Л'х). Поэтому мы определим продол! жение Ь отображения д на Л(6), положив Ь(х) = — у(Лх) для любого такого Л, что Лхеи У, Ясно, что Ь непрерывно.
Покажем, что (хенЛ(О) и ЛонК)ФЬ(Лх)=ЛЬ(х). (3) Пусть элемент Л'я К' таков, что Л'х я У и Л'Лхе У. Тогда Ь(Лх)= л, д(Л Лх) = —,Лд(Л'х) = Л Л, д(Л'х) =ЛЬ(х). ! о ! о 1 Пусть х, у принадлежит Л(0). В силу предложения 4 $4, и' 3. Ь(х)+Ь(у)= !Пп Л 'ф '(ф(ЛЬ(х))ф(ЛЬ(у)))= ь кь о~о 11т Л '[р '([р(Ь(Лх))Ф(Ь(ЛУ))). Если !Л! достаточно мало, то Лх он У и Луон У и, стало быть,' предыдущее выражение равно !1[п Л [ф Д (ф (Лх)) 1 ([р (Лу))) мк', л оо 1!Гп Л [([р [~!)(ф(Лх)[р(ЛУ))= Вп Л 'д(ф '(ф(Лх)ф(ЛУ))) = [~кно оо 1пп Ь(Л '[р '(ф(Лх)[р(ЛУ)))= ь к, ь.+о =Ь( 1!п[ Л 'ф '(ф(Лх)ф(ЛУ))) =Ь(х+ у). г в з. ггтппы ли над н нлн оа зв! Таким образом, Ь есть линейное непрерывное отображение и, следовательно, ц = й 1 У аналитична, но тогда )' аналитична в гр(Р); значит, )' есть аналитическое отображение ($ 1, и' 10). Слвдствив 1.
Пусть б — топологическая группа. На б может существовать не более одной структуры аналитического многообразия над К (соотв. над Я ), согласованной с групповой структурой и топологией на 6. Это сразу следует из теоремы 1. Опрндалвнив 1. Говорят, что топологичгская группа 6 есть вещественная (соотв. р-адическая) группа Ли, если на б существует структура вещественной (соотв.
р-адичгской) группы Ли, согласованная с гг топологией. Эта структура тогда единственна, и можно поэтому говорить ' о размерности подобной группы. Если б и Н вЂ д такие группы, всякий непрерывный гомоморфизм из 6 в Н аналитичен. Слндствие 2. Пусть б — топологическая группа, 7 — открытая окрестность элемента е.
Предположим, что )г наделена структурой аналитического многообразия, которая превращает ев в вещественную (соотв. р-адическую) групускулу Ли. Тогда 6 является вещественной (соотв. р-адичгской) группой Ли, Пусть д ~ 6. Существует такая открытая окрестность )г' элемента е в б, что )г'()д)г'д ' ~ )г. Отображение ог-ьдед-г из )г' в Р есть непрерывный и, стало быть, аналитический, морфизм групускулы Ли )г' в групускулу Ли )г. Достаточно теперь применить предложение 18 5 1, и'9.
Залггчания. 1) Теорема 1 и ее следствие становятся неверными, если заменить в них К (соотв. (г ), например, на С (упражнение 1). 2) Пусть б — топологическая группа. Можно доказать ') эквивалентность следующих условий: а) 6 — вещественная группа Ли конечной размерности; б) б локально компактна и существует окрестность элемента е, ие содержащая никакой подгруппы, отличной от (г); в) существует открытая окрестность элемента г, гомеоморфная открытому шару пространства 11".
(По поводу значительно менее трудного результата см. упражнение 6.) Првдложнния 1. Пусть 6, б' — топологические группы, !в непрерывный морфизм из б в б'. Допустим, что имеет место один из следующих трех случаев; ') См., например, Гг. Моп!Копгегу, 1.. Е!рр!и, Торо!ои!са! 1гапз1оппа1!оп дгопрз, 1п1егвс!епсе 1гас1в !п риге апг) аррпей пга)непга11сз, и'1, !п1егзс!епсе р»Ыгвьегв, Ые» Уог)г, !955 (з частности, стр. !69 н !84).
ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ 382 а) 6 есть вещественная группа Ли и 6' есть р-адическая группа Ли: б) 6 есть р-адическая группа Ли и 6' есть вещественная группа Ли; в) О есть р-адическая группа Ли и 6' есть р'-адисеская группа Ли, причем р Ф р'. Тогда морфием 1 локально постоянен. Случай а). Пусть Оь — компонента единицы группы О. Тогда 7(Ос) — связная подгруппа в О' н, стало быть, 1(Оь) = (е), а Оь открыта в 6. Случай б). Пусть 1" — такая окрестность элемента е в 6', что всякая подгруппа в 6', содержащаяся в у", сводится к (е) ($4, п'2, следствие 1 теоремы 2).
Существует такая окрест. ность у' элемента е в 6, что )(у')с:'у". Далее, существует открытая подгруппа О, в О, такая, что О,с: у' ($ 7, п' 1, предложение 1). Тогда 1(6,) = (е). Случай в). Согласно теореме 4 и следствию предложения 8 $ 7, существует такая окрестность у" элемента е в 6', что для всякого х' ен У' — (е) выражение х' не стремится к е, когда п стремится к + со. Найдется такая окрестность элемента е в 6, что 1(у') ~ У'. В силу теоремы 4 и предложения 9 $ 7 существует такая открытая подгруппа 6, в 6, л что О, с: У' и для всякого х ен 6, выражение хР стремится к е, когда и стремится к + со.
Тогда )' (6,) =(е). 2. Замкнутые подгруппы Тяогнмл 2. Пусть 6 — группа Ли конечной размерности над К или Я . Всякая замкнутая подгруппа в О является подгруппой Ли в 6. Более общо, пусть П вЂ” открытая окрестность элемента е в О и Н вЂ” такое замкнутое непустое надпространство в П, что условия х ен Н, у сн Н и ху-' ~ 6 влекут за собой ху ' ~ Н.
Тогда Н есть подгрупускула Ли в 6. Пусть )) — касательная подалгебра Лн к Н в точке е ($4, и'5, определение 2). Существует подгрупускула Ли Нь в О с алгеброй Ли )), содержащаяся в Н. Мы покажем сейчас, что Н, открыта в Н относительно топологии, индуцированной топологией группы 6, т. е.
что Н вЂ” аналитическое многообразие в 6; тем самым теорема будет установлена. Найдутся дополнительное к 5 векторное подпространство х в Б(6), открытые симметричные окрестности нуля Ро Рз в Ф и 1 соответственно и определенное в $~, + $', экспоненциальное отображение ~р для 6, обладающие следующими свойствами: 3 а группы ли над я или о, 383 а) отображение (ао а,) ~р (а,) ~р(а,) есть аналитический изоморфизм из У, Х У, на некоторое открытое- подмножество У в 0; б) 'р (У1) ~ Нр1 в) Узс: Н. Мы покажем сейчас (и это завершит доказательство), что существует такая открытая окрестность У,' элемента О в У„ что НП (~р(У~)ф(Уз)) =~>(У1). Допустим, что это утверждение неверно. Тогда можно так выбрать последовательность (х„) в У, и стремящуюся к О последовательность (у„) в У,— (0), что ~р(хр) ~р(у„) ~ Н для всех и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
