Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Для всякого ненулевого идеала а кольца А, содержащегося в ж, имеем Ь„(0(а)) =6(а). Для всякого к~ 0 имеем сь(х") =се(х). Это сразу следует из предложения 8. гл. пь г»типы ли З74 ПРедлОжение 9. Предположим, что рчьО. (1) Пусть а, » — ненулевые идеалы кольца А„такие, что $ с а с= ш. В группе 6(а)!6(5) порядок любого элемента есть степень числа р.
(И) Предположим, что о(р)=1. Если элемент хен6 таков, что ы(х) > 17(р — 1), то а(х») = в(х) + 1. В силу формулы (4) из й 5 для всякого хеп6 х»=рх+ ~ сьт» !ь!>з где с„~ А" для всякого а. При доказательстве утверждения (!) также можно предполагать, что о(р)=1. Тогда, если в(х)' 1, мы получаем отсюда, что в(х»))а(х)+ 1; стало быть, в(х» ) стремится к + со, когда п стремится к + сь; зто доказы- вает (!).
Поскольку ~, 1 делится на р для 1 ~~1(р — 1, пред/»'1 ложение 2 и 5, и' 3, показывает, что с ы рА' для 2 (! а )( (~р — 1; значит, ы(сьх") > а (рх) = в (х) + 1 для 2<)а !( С другой стороны, если )а))р, то ы(с„х»)=' р (х) и ( ) > а(х)+ 1, если в(х) > 1/(р — 1). Это доказывает (И). б. Логарифмическое отображение Лемма 1. Предположим, что р чь О. Пусть 6 — группа Ли, 6, — открытая подгруппа в 6, изоморфная стандартной группе, .и х~ 6, Следующие условия эквивалентны: (1) существует степень элемента х, принадлежащая группе 66 (И) существует такая строго возрастающая последовательность (и;) целых чисел, что х"~ стремится к е, когда ! стремится + оо, Импликация (И) »(1) очевидна.
Для доказательства импликации (!) =Ь(И) предположим, что у=х'" еп 6,. Согласно предложению 9 (!) п'5, у» стпьемится к е, когда и стремится к + ьо; другими словами, х"» стремится к е, когда и стремится к + оо. Пгвдложвние 10. Предположим, что рным. Пусть 6 — конечно..иерная группа Ли и 6! — множество элементов х ~ 6, для каждого из которых существует такая строго возрастающая лоследовательность (и;) целых чисел, что х"~ стремится к е, лсогда 1 стремится к + со. б 3 ъ ГРуппы ли ПАЛ ультРАметРическими пОлями ать (1) Множество О! открыто в 6. (В) Существует одно и только одно отображение зР из От в 1,(6), обладающее следующими свойствами: а) ф(х") =пф(х) для всякого х еи 6! и всякого и ен Е; б) существует такая открытая окрестность У элемента е. в 6П что ф!У является обратным отображением к некоторому инъективному экспоненциальному отображению.
(!!!) Отображение зр аналитична. Существует открытая подгруппа в 6, изоморфная стандарт- ной группе (и'3, теорема 4). Утверждение (1) следует тогда из леммы 1. Пусть Π— открытая подгруппа в Е (6) и ф: О- ф(О)— экспоненциальное отображение для О, обладающее свойствами, указанными в предложении 3 и'2. Можно считать О настолькб малой, что ф(О)с:Ор Пусть хяО!. Существует такоетеиŠ— (О)„, ! т что х ~ ф(6). Элемент — ф '(х") не зависит от выбора числа т.
В самом деле, пусть т'ЕПŠ— (О) таково, что хы' ~ф(О). Тогда х ' ее ф (О) и т'ф '(хы)=ф '(х )=тф '(х"'), откуда следует наше утверждение. Положим ф(х) = — „ф ' (х ).. ! Имеем ф1ф(О) =ф '. С другой стороны, если п еи Х, то ф(х") = — ф' ' (х" ) = — ф '(х"') =пф(х). Стало быть, ф обладает свойствами а) и б) предложения. В окрестности элемента х отображение ф является компози! цией отображений ХР— Рх, у Рф-'(у) и г Р— г; значит„ ф аналитична в Ор Наконец, пусть ф' — отображение из 61 в ь (6) и У' — окрестность элемента е в Ор такие, что ф'(х")=пф'(х) для ХЕЕОГ и п ее Е, и такие, что ф' ~ У' является обратным к некоторому инъективному экспоненциальному отображению, Тогда ф н ф' совпадают в некоторой окрестности Ю элемента е. Если х ~ 6р существует такое и еи Х, что х" еи К Тогда ф ( Х ) ф ( Х ь ) ф ( Х ) П $ ( Х ) а потому ф = ф'.
Оп~~деление 2. Отображение ф из предложения 10 называется логарифмическим отображением для 6 и обозначается через 1оуа или просто 1од. ГЛ. [П. ГРУППЫ ЛИ зте т, е. р'(1ояХ+ !оду") =!од(х" у" ), пр'(!од х+1оа у) = пр'1оп (ху). откуда ПРадложанив 12. Предположим, что р~О. Пусть хабр Следующие условия эквиваленты: (1) !пах==О; (й) х имеет конечный порядок в 6. Если существует такое целое число и > О, что х" =е, то мы получаем п!одх =!одх" = О, откуда !од х = О. Если ! оп х = О, обозначим через )т окрестность элемента е в 6р такую, что 1оя !)т является обратным отображением к некоторому инъективному экспоненциальному отображению.
Су!цествует такое целое число п > О, что х" ен*г'; равенство 1оях"= О влечет за собой х"=е. Пнндложаниа 13. Предположим, что р Ф О, Если 6 компактна или стандартна, то 6! — — 6. Если 6 стандартна, достаточно воспользоваться леммой 1. Допустим, что 6 компактна. Пусть х ~ 6 и )т — некоторая окрестность элемента е в 6.
Обозначим через у некоторую предельную точку последовательности (х")„ . Каково бы ни было и > О, существует два целых числа и„ пз, такие, что и, ) 2п,~) 2п и х"'яу)т, х"'я у)т, откуда х"' "*ен)т ')т и и,— — п,)-п. Следовательно, х ~ 6р Пнадложгниа 11. Предположим, что рчЛО. Пусть х, у — два перестановочных элемента в 6р Тогда ху ~ 6! и !од (ху) = = 1оя х + 1оя у. То, что ху ен6и следует из леммы 1. Пусть 0 — открытая подгруппа аддитивной группы Е(6) и ф: 6- ф(0) — экспонен- циальное отображение для 6, обладающие свойствами, указан- ными в предложении 3 и' 2; можно считать 6 настолько малой, что !оп!ф(6) будет обратным отображением к ф.
При подхо- дящем выборе числа и ен 2~ — (О) получаем х" ен !р(6), у" ен !р(6). Положим и=!опх", о=!оду", откуда х"=!р(и), у" =!р(о). Согласно формуле (2), [и, о) = — О. Формула Хаусдорфа показы- вает тогда, что !р(А(и+ о)) =- ф(д.и) ф(1.о), если ! !! ! достаточно мало; стало быть, для всякого достаточно большого целого' числа !' !р(р'(и+ о)) = ф(р'и) ф(р'о), б Э т. гнэппы ли ньд эльтеьматэическими полями зтт Слвдствив. Предположим, что К локально компактно.
Тогда 6! является объединением всех компактных подгрупп группы 6. Пусть х~6. Если х принадлежит некоторой компактной подгруппе в 6, то хеп 6! (предложение 13). Предположим, что х епбр Поскольку К локально компактно, существует открытая подгруппа 6, в 6, которая компактна. Далее, существует такое целое число гп ) О, что х ен 6,. Замкнутая подгруппа 6„ порожденная эяементом х'", содержится в 6! и, значит, компактна.
Тогда х коммутирует с элементами нз бм а потому бгЦхбзЦ ... ()х -'бь есть компактная подгруппа в 6, содержащая х. Пример. Предположим, что К локально компактно. Пусть У вЂ” множество обратимых элементов кольца А; это открытац и компактная подгруппа группы Ли К . В силу предложения 13 бс:(К")!', с другой стороны, если элемент к~К' таков, что хФУ, то либо х" стремится к О, когда п стремится к +со, либо х" стремится к О, когда и стремится к — оо; стало быть, У=(К*)р Функция 1од, определена и аналитична в У, принимает значения в Е(К") =К и такова, что 1ои .(ху) =1ои .(х)+ +1оик. (у), каковы бы нн были х, у из У; элементы нз У, такие, что !од.,(х) = О, суть корни из единицы в К.
Вернемся к обозначениям из и'и'3, 4, 5. Пэндложннив 14. Предположим, что рФО и о вь!браню так, что о(р)=1. Пусть 6 — стандартная группа, Е(Х) (соотв. Е (Х))— разложение в степенной ряд в О некоторого экспоненциального отображения для 6 (соотв. логарифмического отображения для 6). (!) Область строгой сходимости (Мн. Св. рез., 4.1.3) ряда Е содержит множество Л таких х ~ 6, что ы(х) ) 1/(р — 1). Обозначим через Е' отображение, определенное в й с помощью этого ряда. Тогда Е' является экспоненциальным отображением для 6 и изоморфизмом многообразия а на себя.
(В) Область строгой сходимости ряда Е содержит 6. Обозначим через Е' отображение, определенное в 6 этим рядом. Тогда Е' есть логарифмическое отображение для 6, и ограничение отображения Г на а является обратным отображением к Е'. (ш) Отображение Е' есть изоморфизм множества Л, наделенного законом умножения, определяемым формулой Хаусдорфа, на подгруппу Л в 6. Вернемся к обозначениям из 3 5, и'и' 3 и 4. Имеем Е = х ч!,„/гп1 ($ 5, и' 4, предложение 3). Поскольку коэфы~1 фициенты с принадлежат кольцу А, получаем !!фм,„!(<~1 ГЛ. П1, ГРУППЫ ЛИ (Мн. Св.
рез., приложение; мы предполагаем, что К' наделено нормой Ц(Е„..., д,) Ц= зпр()Х, 1, ..., ! з., 1).) Согласно лемме 1 гл. 11, $8, и' 1, о (т!) ~ ((т — 1)/(р — 1). Если в(х) ) 1/(р — 1), мы видим, что тв(х) — о(т!) стремится к +оо вместе с т, откуда следует, что — ЦхЦ стремится ! !»11! к О, когда т стремится к + оо, /1Р,» (х) ~ т»1 — ! 1 — — — для т) 1. т! ) р — 1 р — 1 р — 1 Следовательно, Л содержится в области строгой сходимости ряда Е и Е'(Ь) с= Л.
Ясно, что Е' — экспоненциальное отображение. Если Е обозначает однородную компоненту степени т ряда Е, то предложение 3 5 5, и' 4, показывает, что всякий 1 1 коэффициент в Е,„имеет вид а, + — аз+ ... + — а, где а„ в принадлежат Л; но ш1 (о(1), в( — ), ..., о( — )) = 0(1оКт), когда т стремится к + оо, и ( '(-') ' (-.'))- ( —.',)-- —;:,' Следовательно, если а(х) > О, то 11Е Ц.!)х!!'" стремится к О, когда т стремится к + оо, так что О содержится в области строгой сходимости ряда Е. С другой стороны, если в(х) > 1 т т — 1 ) —, то а(Е (х)) > — — = при т) 1 и потому Е'(А) с= Ь. Поскольку формальные ряды Е(Е(Х)) и Е(Е(Х)) равны Х, и' 4.1.5 из Мн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
