Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 84
Текст из файла (страница 84)
В си'лу в) тогда ф(у„) еи Н. Если К=ь1р, можно, кроме этого, предположить, что У есть аддитивиая подгруппа в 1 и что ~р(па) =~р(а)" для всех а еи У, и всех и е= Х. Тогда ~р (Лу,) еи Н для всех Л еи Х и, зна-" чит, по непрерывности для всех Л еи Хр. Отображение 1: Л р ~р(Лу,) из Хр в 6 аналнтнчно„пРинимает значениЯ в Н н (Трг)(1) =У,. Следовательно, у, еи () — противоречие. Тем самым теорема установлена в случае поля Я . Если К = 11, можно предположить, что У, выпукла и что у„ 1 принадлежит 4 У,— (О).
Заменив (у„) некоторой ее подпоследовательностью, можно найти последовательность (Л„) таких ненулевых скаляров, что Л„у„стремится к некоторому элементу у еи У, — (О). Последовательность (Л„) стремится к О. 1 Пусть элемент Л еи )с таков, что Лу еи 4 Уз; докажем, что ехр(Лу) енН. Можно считать, что ЛЛ„у„еи 4 Уз для всех и. 1 Выберем л еи Х так, чтобы величина )Л вЂ” л„Л„) стремилась к нулю. Если и достаточно велико, то (Л вЂ” Й„Л„)Л„у„~ — Ум 1 стало быть, л„у„еи — У,.
Поэтому ехр(йу„) ~ Н, если й — целое число и О ~~ 3!(~!л„( (это устанавливается индукцией по ) Ы). Тогда ехр(Лу) =!!п1 ехр(ЛЛ„'у„) = л.+ = 1!гп (ехр1(Л вЂ” А„Л„)Л„1у„)ехр(й„у )) = Игп ехрл у ~ Н. л-+ р+» Стало быть, отображение 1: Л~ —:.ехрЛу, где Лу еи 4 Уз, прини- 1 мает значения в Н и (Тзг)(1)=у. Значит, уев.й, и мы получили противоречие. Таким образом, теорема установлена в случае поля 1с.
384 ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ Теорема 2 становится неверной, если не предполагать, что группа 6 конечномерна (упражнение 12). Слндствия 1. Пусть 6' — локально компактная группа, 6 — группа Ли конечной размерности над )ч (соотв. над 14 ), 1 — непрерывный морфизм из 6' в 6. Если ядро морфизма 1 дискретно, 6' является вещественной (соотв. р-адической) группой Ли конечной размерности. Существует компактная окрестность )т элемента е в 6', такая, что 11)т есть гомеоморфизм из 1' на некоторое компактное подпространство в 6. Если Е1 — достаточно малая окрестность элемента е в 6, то условия теоремы 2 выполняются для Н = 1()т)ПЕГ.
Стало быть, Н есть подгрупускула Ли в 6. Пусть В' — ее прообраз относительно отображения 1~)т. Тогда ят является окрестностью элемента е в 6'. Наделим Я7 структурой аналитического многообразия, перенесенной посредством ()'1'ят) ' с Н. Для всякого ге= 6' отображение х -!. 1(г)х1(г) из 6 в 6 аналитнчно; значит, существует такая открытая окрестность %" элемента е в !(т, что отображение х' гх'г ' из И7' в й7 аналитично.
Согласно предложению 18 1, и'9, на 6' существует структура группы Ли, которая на всякой достаточно малой открытой окрестности элемента е индуцирует ту же аналитическую структуру, что и В', и, стало быть, ту же топологию, что и данная топология на 6'. Сладствиг 2. Пусть 6 — конечномерная группа Ли над К, Н вЂ” подгруппа в 6, )т — открытая окрестность элемента е в 6, (М;), ! — семейство аналитических многообразий над К; для всякого ! е= Е пусть !! есть К-аналитическое отображение из )т в М„такое, что НД)т=(хе= )т1)!(х)=1!(е) для всякого ! еп Е).
(!) Если К = С, то Н вЂ” подгруппа Ли в 6. (й) Если К является расширением поля 1."4 конечной степени и Е конечно, то Н есть подгруппа Ли в 6. (1) Предположим, что К =С. Рассмотрим 6 как вещественную группу Ли. Тогда Н является вещественной подгруппой Ли в 6 (теорема 2). Пусть а еп Е(Н). Существует такая открытая связная окрестность ((7 элемента 0 в С, что ехр Ха ~ )т для всякого Х ~ (У'. Пусть ! еп Е. Если Л ~ 14 П Ч7, то )! (ехр Ха) = =!!(е). Стало быть, 1!(ехрХа)=1!(е) при Аеп )у" в силу принципа аналитического продолжения.
Таким образом, ехрХа с= Н при 1!,еп 'чг" и, следовательно, иа ~ Е(Н) для любого 14 ~ С. Поэтому Н есть подгруппа Ли комплексной группы Ли 6 ($4, и'2, предложение 2). ! % 9. КОММУТАТОРЫ, ПЕНТРАЛИЗАТОРЫ, НОРМАЛИЗАТОРЫ 335 (й) Предположим, что К есть расширение конечной степени поля (лр. Рассмотрим 0 как группу Ли над (л . Она конечно- мерна, и из теоремы 2 следует, что Н есть р-адическая подгруппа Ли в О.
Поскольку ( конечно, П !т!! есть многообразие тм! и можно предположить, что семейство (1!) сводится к единственному отображению 1. Пусть а еи Ь(0). Пусть ф — экспоненциальное отображение для 6. Если Х~ игр и ! Л~ достаточно мало, то 1(!р()а)) =) (е). Так как отображение 1 является К-аналитическим, мы выводим отсюда, что 1(ф(2а))=1(е) при Л~ К и достаточно малых ~ 2, ~. Стало быть, ф(Ха) ~ Н для Х еи К и достаточно малых ~ А ~, и потому па е 1. (Н) для всех р еиК. Доказательство завершается, как в (1). Следствие 2 (Н) теряет силу, если опустить требовеиие коиечиостн. множестве Г.
$9. Коммутаторы, централизаторы, иормализаторы в группе Ли В этом параграфе мы предполагаем, что характеристика поля К равна нулю. 1. Коммутаторы в топологической группе Пусть 0 — топологическая группа, Определим группы с)оО„ ГОО, Отб, ... и С'6, Ст0, Сз0, ... формулами Ооб = О, О!"'0 = (О!О, 0'0), С'6 = О, С ~'0 = (О, С 6). ПРедложение 1. Пусть 0 — топологическая группа, А и  — подгруппы вО. Тогда (А, В) =(А, В), У!А = ВНА, С'А=С'А.
Пусть ф — непрерывное отображение (х, у) т х-'у-'ху из ОХ 6 в О. Тогда !р(А Х В) ~(А, В) и, стало быть, !р(А Х В) с:. с:(А, В), откуда (А, В)с(А В); обратное вк.чючение очевидно, следовательно, (А, В)=(А, В). Ясно, что ВЯЛ =ЮА; считая равенство О!А=О!А справедливым, получаем 0"'А =(О'А, О!А) =(Р'А, О'А) =(О!А, 0'А) = 0'+'А; значит, 0'А =1)!А для всех !. Доказательство формулы С'А= = С"А аналогично. 13 н втвеаки 388 ГЛ. П1. ГРУППЫ ЛИ Следствие 1, Если топология группы 6 отделима, то следующие условия эквивалентны: (1) О разрешима (соотв. нильпотентна); (й) 0'6=(е) (соотв. С'6=(е)) для достаточно больших С Имеем ОГО~ОГО, С'Ос=С'О, и потому (й)=3Р(1).
Но (е)= =(е) и, значит, (1)Ф(й), согласно предложению !. Сладствие 2. Пусть 6 — отделимая топологическая группа, А — подгруппа в О. Чтобы А была разрешима (соотв. нильпотентна, коммутативна), необходимо и достаточно, чтобы подгруппа А обладала тем же свойством. Это сразу же следует из предложения 1. ПРздложание 2. Пусть Π— топологическая группа, а А и  — ее подгруппы. Если А связка, то (А, В) также связна. Если элемент и ен В зафиксирован, множество М„ пар (х, у), где х ен А, связно (поскольку отображение х ~ (х, у) из А в О непрерывно). Так как е ен М , объединение )с множеств М„ для всех у ен В связно. Но (А, В) есть подгруппа в О, порожденная множеством )(Г„откуда следует предложение.
2. Комльутаторы в группе Ли ПРндложзниз 3. Пусть Π— конечномерная группа уГи, Н, и Не — ее подгруппы. Пусть $„(Г, и Ь вЂ” касательные алгебры Ли в точке е к Н„Нт и (Но Не) соответственно. Тогда [$„ЬУ) с: (). Пусть а ен ()„Ь ~ Ь,.
Существует открытая окрестность 1 элемента 0 в К и аналитические отображения ~„), из Т в О, такие, что ! ! (0) = 11(0) = е, 1! (!) с= НГ, )е (!) с= Нэ (Те)!) 1 = а, (То[1) 1 = Ь. Положим [(Л 1Г) =О!(Л). ГГГ(11)) ~(НГ, НГ) при Л, 1Г ~Е Отождествим некоторую открытую окрестность элемента е в 6 с открытым подмножеством в К' при помощи карты, которая переводит е в О. Тогда Е(6) отождествляется с К'. В силу предложения 1 5 5, и' 2, разложение отображения 1(Л, 1Г) в степенной ряд в начале координат имеет вид Г"(Л, 1Г) = Л1х[а, Ь) + ~ Л'1ГГа!р !ЭГ, Ь!. !+ГЭЗ где ам~К' (коэффициенты при Л' или 1Г! в разложении отображения 1(Л, 1Г) равны нулю, поскольку 1(Л, 0) =1(О, 1Г) =0), 9 $ к коммутАтовы, цвитРАлизАтОРы, иОРИАлизАтОРы зат Фиксируем реп 1. Устремив А к О, видим, что и [а, Ь]+ л, р~аы ~]).
Т>9 Поскольку это справедливо для всякого р ~ 1, отсюда следует, что [а, Ь] ен 5. Замечание. Даже если Н, и Н9 — связные подгруппы Ли в О, подалгебра Ли в 1(6), порожденная множеством [Ьи Я, вообще говоря, отлична от ]). ПРвдложвнив 4.
Пусть 6 — вещественная или комплексная группа Ли конечной размерности. Пусть А, В, С вЂ” интегральные подгруппы в 6, такие, что [1 (А), 1 (С)] ~ 1 (С), [1 (В), 1(С)] с= ЦС) Если [1(А), 1(В)] с 1(С), то (А, В)сС. Еслй [1(А), 1(В)] =1(С), то (А, В)=С. Предположим, что [1(А), 1. (В)]с= 1. (С). Сумма 1(А)+ 1,(В)+ +1(С) есть подалгебра Ли в 1(6).
Рассмотрев интегральную подгруппу в 6, алгебра Ли которой есть 1.(А)+1(В)+1(С), мы приходим к случаю, когда 1 (А) + 1 (В) + 1 (С) = 1. (6) и 6 связна. Тогда 1(С) есть идеал в 1(6). Допустим сначала, что О -односвязна. Тогда С вЂ” нормальная подгруппа Ли в О ($6, и'б, предложение 14). Пусть ~р — канонический морфизм нз 6 на 61С.
Тогда [1(~)(1(А)). 1( )(1(В))]=(б); стало быть, в силу формулы Хаусдорфа подгруппы ~р(А) и ~р(В) коммутируют; следовательно, (А, В) ~ С. В общем случае пусть 6' — универсальная накрывающая группы 6 и А', В', С' — интегральные подгруппы в 6', такие, что 1,(А')=1.(А), 1(В')= = 1 (В), 1 (С') = 1. (С). Тогда (А',. В') с: С' и А, В, С суть канонические образы подгрупп А', В', С' в О, откуда (А, В)с: С. С другой стороны, (А, В) есть множество, лежащее ниже некоторой интегральной подгруппы в 6 ($ б, и'2, следствие предложения 4), и алгебра Ли этой подгруппы содержит [Е(А), 1(В)] (предложение 3). Если [1(А), 1(В)] =1(С), то (А, В):зС, откуда (А, В)= С.
Слвдствив. Пусть 6 — вещественная или комплексная связная конечномерная группа Ли, алгебра Ли которой есть й. Подгруппы 0'6 (соотв. С'6) суть интегральные подгруппы, алге. ГЛ. НС ГРУППЫ ЛИ йвв бралщ Ли которых являются Ю'й (соотв. Ж'й). Если 6 односвязна, эти подгруппы суть подгруппы Ли. Первое утверждение выводится из предложения 4 индукцией по !. Второе утверждение следует из первого и предложения 14 й 6, и'6.
ПРедложение 5. Пусть Π— вещественная или комплексная группа Ли конечной размерности, А — интегральная подгруппа в 6. Тогда РА = РА. В частности, А является нормальной подгруппой в А, и факторгруппа А/А коммутативна. Положим а=В(А). Пусть 6, — множество элементов деиО, таких, что (АЙ д) х х (пюд йуг) для всякого х ен а. Тогда 6, есть замкнутая подгруппа в О. Если у ен а, то ехру ~ 6, согласно следствию 3(В) предложения 10, $6, п'4. Стало быть, 6, содержит А и, значит, А. Таким образом, если и ее А, то алгебра Ли а устойчива относительно Е (1п1 д) и, следовательно, А устойчива относительно 1п1 л; более точно, Е(1п(л) определяет тождественный автоморфизм алгебры а/Яа и, стало быть, !П1д определяет тождественный автоморфизм группы А/РА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
