Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 74
Текст из файла (страница 74)
у аих+ [х, у[гпоб Йеи3, (1ч) х~ И.у~ Н.х.уаи[х, у)ГПОГ(Г(еиЗ, (ч) х ° у ° х'"".у' н-=а[х, у)ПГОГ(деиЗ. (В (1), разумеется, х1-н представляет собой разложение в степенной ряд в начале координат отображения х1 — ~х~-Я; остальные формулы интерпретируются аналогично.) Пусть у и у,— однородные компоненты степеней 1 и 2 ряда х~-И. Тогда О=х.х' "=— = — х + у, (х) + В (х, д, (х)) Гпоб ахеи 2 (в силу (6)) =-и =х+ у~(х) Итог Г(ед2 а значит, у1(х) = — х. Далее, О=х.х' И= = — х+( — х+ да(х))+ В(х, — х+Уа(х)) птоГ(Г(енЗиж а=у,(х) — В(х, х) ГПОГ( Г(еи 3, (Формула (10) выражает тогда ассоциативность алгебры У(6).) В частности, поскольку ь (6) устойчива относительно операции коммутирования [ео еГ[ = ~ (сна — сиа) еа.
(12) ГЛ. !П. ГРУЛПЫ ЛИ 336 следовательно, до(х) =В(х, х). Это доказывает (!). Пользуясь свойством (1), получаем х.у.х! ')= — (х+ у+ В(х, у)). (-х+ В(х, х)) Гпоб деи 3= == х + у + В (х, у) + ( — х + В (х, х)) + В (х + у, — х) глод деи За!о — = у + В (х, у) — В (у, х) п)об бед 3 -= =у+ [х, у) п)об бей'3 (в силу (13)), откуда следует (Е).
Доказательство формулы (Ш) аналогично. Комбинируя (1) и (ш), получаем х! ') . у! ') ° х. у оо ( — х + В (х, х)) . (х + (х, у1) )пой бей 3 —= 'аа — х + В (х, х) + х + (х, у] + В ( — х, х) )пой ахеи 3 ев — = о (х, у) и) од ))ей' 3, откуда следует (!у). Доказательство формулы (ч) аналогично. Ю. Степени Рассмотрим 1 точек в О х(1) =(х(1)„х(1)„..., х(1)„), х(2) =(х(2)„х(2)та ..., х(2)„), х(1) =(х Ц)„х(!)„..., Х(1)а). Отображение (х(!), х(2), ..., ХО)) ) х(1).х(2) ...
Х()) допускает разложение в степенной ряд в начале координат: х (1). х (2) ., ° .. х ()!) = ~ аа)ц...„ао) х (1), ° ° х Ц) э а)ц, а (о)..., а)!)ыи (14) где аа)ц,...,а)л суть элементы из К". Положим для 1=0, 1, 2, ... ф (х) = Х а щ,щх'!') "'+'!) (13) а! ц~о, ..., ап)а о правая часть есть сходящийся степенной ряд от переменного х енК". Этот ряд.получится, если изъять из (14) члены, в которых не присутствует явно овио из переменных х(1), ..., Х()), а потом положить х(1) =х(2) = ... =Х(1) =х.
Если 1 он К, все отображения степени 1 группы 6 имеют одно и то же разложение в степенной ряд в начале координат, поскольку произвольные два из них совпадают в некоторой окрестности точки О. Мы обозначим через х!') это разложение в степенной ряд. $5. ФОРМАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ГРУППАХ ЛИ ПРедложвние 2. (1) Имеем фу = — 0 Гной деду. (й) Если уев К, то х('1= ) (.)ф((х), (16) (-О где формальный ряд справа приобретает смысл благодаря . (1). (Мы полагаем ( . ) = '",, для всякого уеиК.) Утверждение (1) очевидно по определению рядов фр Докажем (й) для целого У)0.
В силу (14) «1(> = Х аа(п "., а(ОХа(1>+."+а(О а(!Ь ..., а(пс1Ч Для а=(а(1), ..., а(У)) ен(!>1") обозначим через а(а) множество чисел у~(1, ..., У), таких, что а(у) ФО. Если в сумме (17) сгруппировать члены с одним и тем же а(а), получится х"> = ~ йьа(х), (!8) ас(1, () где У>(,а(Х) = ~Е аа(1>, "., а(ОХ ( + "' + а(а>=а (19) ПОЛОЖИМ а=(У>, Уэ ..., Уа) С У> < УЗ < ... а. У,. В (14) (ГДЕ У' заменено на У) подставим 0 на место х(я) для й х1 а; поскольку 0 есть единичный элемент в 6, получаем разложение в степенной ряд в начале координат произведения х (у(), х(ух).... ....
х (у ): х(у() ° х(уа) ° ° ° ° ° «(уа) = Х вань ..., а(ох(11) ' х(!г) а(а>са . „. Х(у )а (~а> стало быть, приняв во внимание определение ряда (рр, получаем В силу (19) и (20) видно, что У(1,(х)=ф,„,(х). Тогда (18) влечет за собой равенства х(П=~ ( ) (Р((х) = ) (,.) ф, (х).
1-О (=о Установив это, положим х"> = у ~ ) ф, (х) для всякого УЕНУ('. (=а В степенных рядах х('> и х('1' каясцый коэффициент есть поли- гл. пс г эппы ли Замечания. !) Выпишем условие (й) предложения 2 для це- лого числа ! ) 0: О = фо (х) х = ф, (х) + ф (х), х"' = фэ (х) + 2ф, (х) + ф, (х), Этих формул достаточно для определения рядов фо 2) Ясно, что фе(х) = О, ф, (х) =х, Ф,(х) =хо! — 2х, х' и = ~ ( — 1)'ф, (х).
3) Предыдущие выражения для ряда ф, и формула (6) доказывают, что фз (х) = — В (х, х) той 4еп 3. (21) Учитывая предложение 2 (1) и (В), видим, что х!'! ээ !х + ( ) В (х, х) гпод дец 3. (22) 4) Обозначим через ф (х) и Ь, (х) однородные компоненты степени т рядов ф (х) н хн!. Имеем фр — — 0 для гп < р. С другой стороны, предложение 2 (В) дает р~и (23) т. е.
й, „(х) = Х !'<р, (х), 1 ~г ~щ (24) где ~р„~ — однородные полиномиальные отображения степени пт из К" в К". В частности, в силу (23) ~рь (х) = г ф (х), ч (-»' ' Р я 63 ! ~р„, „ (х) = †, ф„, „ (х). (26) номиальная функция от !. В самом деле, это очевидно для хигс Что касается ряда х!", достаточно доказать, что для всякого и ен У (0) образ элемента и относительно х хщ есть полиномиальная функция от !.
Но для и ен (! (6) этот образ равен ! и (э 4, и'3, предложение 7 (!ч)). Поскольку хгп =хш' для целого !) О, заключаем отсюда, что х!п=х!и для всякого !~К. О О. ФОРМАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ГРУППАХ ЛИ 339 5) Ясли К имеет характеристику > О, результаты и'и' 1 и 2 остаются справедливыми при том условии, что в и' 2 элемент е определяется формулой (ео, ~ А хо) =)оо, В и'3, если определить ряды ф! как выше, наше рассуждение показывает, что хи! = ) ( ) ф! (х) для 1~ Х, !-о ПРедложеиие 3. Справедливо! формула! 1)Р-! (27) р 1 Е = ~~~ — !фр р (28) Р ! (напомним, что фр Р— однородная компонента степени р ряда фр).
Имеем Е (Гх) = (Е (х)) !", где, согласно (24), Е (Гх) = ~ 2„Г'!р, (Е (х)). Ф~О!<г~„ Обе части равенства являются формальными рядами от Г и х. Приравняем члены первой степени по Г. Получается х= 2; !рь (Е(х)). >о (29) Но обращение системы формальных рядов, в случае если оно возможно, единственно (А1д., СЬар. 1Ч, $ б, сого1!а!Ге йе 1а 4. Экепонено(иалъное отобраусение Пусть Е(х) — разложение в степенной ряд в О некоторого экспоненциального отображения для 6.
Пусть Е(х) — разложение в степенной ряд в О отображения, обратного к некотором)А инъективному экспоненциальному отображению для 6. Поскольку касательное отобра кение в О ко всякому экспоненциальному отображению есть тождественное отображение в Е (6), то Е (х) — = х Гной йед 2 и Ь (х) — = х пюй йеи 2. Поскольку Е (Е (х))= =Е(Е(х)) для любого х, достаточно близкого к О, формальные ряды Е и Е таковы, что Е(Е(Х)) =Е(Е(Х))=Х. Аналогичное рассуждение показывает, что Е(ГХ) = (Е(Х))! !, 1,(ХИ~) = 11,(Х) для Г~ К.
ГЛ. Пт. ГРУППЫ ЛИ ргороа!!!оп 8). Тогда Е(х) = ~~1 1р1, (х) (в силу (29)) мЭ О вЂ” фр, (х) (в силу (25))= (-1)Р р,,а — фр (х), откуда следует (!). Аналогично, при ! а~О Е (гх) = 11. ((гх)!1 !) = =1Ь( г~'„~, Г 'ф,, (х)) (в силу (24)). (та> 01с(т Сравним члены первой степени по Г. Получим х = Ь ( ~ ф,„(х)) откуда е (х) = ~1 ф „,(х) = м~ о 1 — (х) (в силу (26)). м>О Предложанив 4. Для того чтобы используемая в вычислениях этого параграфа карта на П была канонической, необходимо и достаточно, чтобы ф) —— 0 для 1>2.
Достаточность следует из предложения 3. Предположим, что карта каноническая н что трг = 0 при 2 » (1 < ч. Тогда а пх=хьи =~( )туг(х)=их+ зР„(х), откуда ф„=О. Таким 1-О образом, индукцией по !' получаем, что ф) —— 0 для 1)2. $6. Вещественные или комплексные группы Лн В этом параграфе предполагается, что К равно (с илн С.
г. Переход от морфизмов алгебр Ли к морфизман групп Л» Лемма 1. Пусть П вЂ” односвязная') топологическая группа, й7 — открытая связная симметричная окрестность элемента е, ') См. гл. Х! Тор. яеп. В этоЛ газне доказано, что еслл 61 и 6з — саязные топологическне ~рупии, ф — открытый непрерывный гомоморфизм из 6„ на 6, с дискретным ядром и 6, односаязна, то е является гомеоморфизмом. Напомним, с другой стороны, что односзязное пространство сзяано. т З Е ВЕШЕСТВЕННЫЕ НЛИ КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 34Е Н вЂ” 'некоторая группа, 1' — отображение из )уз в Н, такое, что 1(хуг) =1(х)1(у)1(г) для х, у, г из 97.
Существует такой морфием )' из б в Н, что ~'! Я7=~! И7. Для (д, Ь)енбХН и открытой окрестности 6 элемента е в йт пусть А(й, Ь, 6) — множество элементов (ди, Ь) (и)) ен ее 6Х Н, где и ее0. Имеем (д, Ь) ен А(д, Ь, 6) и А(у, Ь, Ц) П П А(й, Ь. 6) = А(д, Ь, 6, ()0е). Пусть (е, 1) ~ А(д, Ь, 6); тогда з=ди и 1=Ь)(и) для некоторого и ен6; существует открытая окрестность 6' элемента е в %7, такая, что иб' с= 6; при этом для и'гни' (еи', г1(и')) =(уии', Ь) (ии')) е= А(у, Ь, 6), значит, А(з, 1, 6')с=А(у, Ь, 6). Отсюда следует, что множества А(д, Ь, 6) образуют базис топологии на бр',Н. Мы обозначим через У множество 6Х Н, наделенное этой топологией, и обозначим через р каноническую проекцию нз У на 6, которая является открытым отображением. Ограничение проекции р на А(д, Ь, 6) есть гомеоморфизм из А(д, Ь, 6) на дб.
Следовательно, (У, р) есть накрытие пространства б. Пусть Уь — подгруппа в У, порожденная множеством А (е, е, Ф"), и пусть З вЂ” множество окрестностей А (е, е, 6). Ясно, что З удовлетворяет условиям (О'ч'() и (О'у'и) из Оби(. топ., 1969, гл. 111, $1, и 2. Множество У,' таких уенуь, что отображения г~-«угу-1 и г«-«у 'гу из У, в Уь непрерывны в (е, е), есть подгруппа в У,. Пусть вен Н7. Отображение и' «ии'и ' из Ф в 6 непрерывно, значит, отображение (и', 1(и')) « — «(ив'и ', )(ии'и-1)) из А(е,' е, ЯГ) в У непрерывно в (е, е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
