Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 71
Текст из файла (страница 71)
~р(Ьл), определенное в некотором открытом подмножестве пространства Ь, Х Ье Р', ... Р', Е„, аналитична. Касательное отображение в (О, О,..., 0) к 9 есть каноническое отображение из Ь, ХЬ,Х... ... ХЕ„в Е. Пусть й, — каноническая инъекция из Ь, в Е, Х ЬеХ... Х Ь„. Для любого Ье=Ь; имеем (Те,.„, и8)((Тьйд(Ь)) =(Тер)(Ь) =Ь. значит, (Т1к..., ь10) ! Ьс является канонической инъекцией Ь, в Е. Ч. Т. Д.
В частности, 0 этально в (О, О, ..., 0). Его ограничение иа достаточно малую открытую окрестность У точки (О, О, ..., О) имеет открытый образ в 6 и является изоморфизмом многообразия У на многообразие 0(У). Обратное к 0 отображение т! из 0(У) на У называется канонической картой второго рода на 6, ассоциированной с данным разложением пространства Ь в прямую сумму. Если, кроме того, 6 конечномериа и если каждое Ь, порождено ненулевым вектором е„то система координат в 8(У), определенных отображением т! и векторами е„называется системой канонических координат второго рода.
ПРедложенне 4. Пусть 6 — групускула Ли, ф — инъективное вкспоненциальное отображение для 6. Каковы бы ни были х, у в Ь(6), имеем х+у= !Пп Л '~р ' Ор(Лх)~р(Лу)), (1) [х, у1= !!Гп Л <р '(~р(Лх) ~р(Лу) ~р( — Лх) ~р( — Лу)). (2) А К,А+О (Отметим, что ~р '(~р(Лх)~р(Лу)) и <р '(~р(Лх)<р(Лу)~р( — Лх)<р( — Лу)) определены для достаточно малого !Л!.) Наделим Ь=Ь(6) нормой, определяющей топологию пространства Е и такой, что !![х, у)!!~(!|х!!!!у!! для любых х, у в Е. Приняв во внимание теоремы 2 и 4, можно предположить, что 6 есть групускула Ли, определенная алгеброй Ли Е, и что ГЛ. !П. ГРУППЫ ЛИ ззо ф = 1бо. Обозначим через (х, у) ° х. у произведение в группе О, Доказываемые формулы запишутся тогда так: х+у= йп Я, '((Ах).(Ау)), (3) Амя, к"ьо [х, у]= !(п! А '((Хх).(Ху).(-Хх).( — Ау)). (4) хая, л-ьо Сушествует такая открытая окрестность )т элемента О в К, что функция )! 1(ц = ()!х).
(ду) определена н аналитична в У. В силу гл. П, $6, и'4, замечание 2, разложение функции 1 в степенной ряд в нуле есть Х( +у)+ — Х [,'у]+ ..., н это доказывает (3). С другой стороны, для и, о из О прн достаточно малых [[ и[[, [[ о[[ произведение и . о является аналитической функцией от (и, о), и сумма членов степени 1 и 2 в разложении в степенной ряд этой функции в нуле равна и+ о+ — [и, о].
В силу Мн. Св. рез., 3.2Л и 4.2.3, члены сте- 1 пени 1 и 2 в разложении в степенной ряд функции 1(Л).1( — ь) в нуле суть члены степени 1 и 2 в ИМ+ П вЂ” Ч+-,' [ж, И вЂ” 1.)], или также в ( +у)+ — ь'[~, у] — ( + у)+ — ьо[х, у]+ + — [Х(х+у), — А(х+ у)] 1,т[х, у], 1 и это доказывает (4), ПРвдложвннв 5.
Пусть 6 — группа Ли, я — замкнутое недискрстное подполе в К, 6' — группа О, рассматриваемая как группа Ли над й и ф (соотв. ф') — зкспоненциальное отображение для 6 (соотв. 6'). Тогда ф и ф' совпадают в окрестности элемента О. В самом деле, ф удовлетворяет условию (!) теоремы 4 для 6', а значит, является экспоненциальным отображением для О'. ПРндложвнив 6. Пусть Π— групускула Ли, 7. — ее алгебра Ли, ф: у'- 6 — зкспоненциальное отображение для О. Для всякого хон'у' отождествим Т„(7.) с Е, так что правый дифферен- 8 9 а.
пеРехОд От АЛГеБР ли к ГРуппАм ли зз! циал ет(х) отображения ар в х есть линейное отображение ив Е в Е. Для любого х, достаточно близкого к О, имеем (х) = ~~ „+ (айх)". к>ь Наделим групускулу Е нормой, согласованной с ее топологией и такой, что !!!х, у!)!<~!!х!!!1у!1, каковы бы ни были х, уенЕ. Достаточно разобрать случай, когда 6 есть групускула Ли, определенная алгеброй Ли Е, и когда у = 1йо. По определению ек(х) есть тогда касательное отображение в х к отображению у а-Р у. х-' из 6 в 6. Если обозначить через Н (Х, У) ряд Хаусдорфа, то для достаточно малых !)х!! дифференциал ав(х) есть, стало быть, касательное в О отображение к отображению уа-~о(х+у, — х) из 6 в 6.
Сумма членов первой" степени по У в О(Х+У, — Х) есть +, (адХ) У аа~ь (гл. П, $6, и'5, предложение 5). Предложение следует тогда из Мн. Св. рез., 3.2А и 4.2.3. Пусть 6 — групускула Ли и !Ее К. Отображением степени ! групускулы 6 называется всякое отображение, определенное н аналитическое в открытой окрестности элемента е со значениями в 6 и совпадающее в некоторой окрестности элемента е с отображением а'" р(!ч '(у)) 'где у — иньективное экспоненциальное отображение для 6.
Пгедложенне 7. (!) Если 1~7, то отображение степени 1 совпадает в некоторой окрестности элемента е с отображением Ы' ~Я. (й) Касательное отображение в е к отображению степени 8 есть гомотетия, отвечающая элементу Е (й!) Если Ь вЂ” отображение степени ! и И' — отображение степени Е для 6, то Ь а Ь' есть отображение степени !!' и у а-Р Ь (д) Ь' (у) есть отображение степени ! + Е. (!у) Если Ь вЂ” отображение степени ! и если и~У" (6) (см.
стр. 31), то Ь,(и) = !"и. Достаточно доказать предложение в случае, когда 6 есть групускула Ли, определенная полной нормированной алгеброй Ли, и когда рассматриваемые отображения степени ! строятся с помощью экспоненциального отображения ~р=1бо. Но тогда все очевидно. 1! И. Втрбакк ГЛ. !П. ГРУППЫ ЛИ 4. Функториальность экспоненциальных отображений Прядложяния 8. Пусть 6 и Н вЂ” групускулы 7и, Ь вЂ” морфиэм иэ 6 в Н, !ро и !рн — экспоненциальньге отображения для 0 и Н. Существует окрестность У элемента О в Ь(0), такая, что Ье!ра и фи ей(Ь) совпадают в (г.
Наделим Е(6) и Е(Н) нормами, определяющими их топологию и такими, что ([х, у)~!(!|хну)1, каковы бы ни были х н у. Можно предполагать, что 6 (соотв. Н) есть групускула Ли, определенная алгеброй Ли Ь(6) (соотв. Е(Н)), так что фо (соотв. фн) совпадает с 1бо (соотв. 1бн) в окрестности элемента О. С другой стороны, существует открытая симметричная окрестность (Р элемента О в Е (6), такая, что Л (Ь) есть морфизм групускулы Ли (у" в Н. Согласно теореме.1, Ь(Ь) совпадает с Ь в окрестности элемента О, откуда следует предложение. Образно говоря, если отождествить гг и Н с некоторыми окрестностями единичных элементов в Ь (О) и ь (Н) соответственно посредством экспоненпиальных отображений, то всякий морфизм из 0 в Н линззн в некоторой окрестности элемента О.
Слядствия 1. Пусть 6 — групускула Ли, 0' — подгрупускула Ли в О, ф — экспоненциальное отображение для 6. (1) Существует открытая окрестность 1' элемента О в Ь(6'), такая, что ф) 'у' есть иэоморфиэм многообразия т' на некоторую открытую окрестность элемента е в 6'. (й) Пусть х~ Е (6). Следующие условия эквивалентны: а) х~Ь(0'); б) ф(Хх) ея0' для достаточно малых (Х(. (1) получается в результате применения предложения 8 к канонической иньекции из 6' в 6, а (й) следует из (1).
Слядствия 2. Пусть 6 — группа Ли, р — линейное аналитическое представление группы 6 и ф — экспоненциальное отображение для О. Существует окрестность )г элемента О в Е (6), такая, что р (гр (х)) = ехр (Ь (р) х) для всякого хая )г. Это следует из предложения 8 и из примера 2 и'3. Слядствия 3. Пусть 6 — группа Ли, ф — экспоненциальное отображение для 6. (1) Существует окрестность 1' элемента О в з.(0), такая, что Аб (!р (х)) = ехр ай х для всякого х еп (г. % ч пеРеход от АЛГевР ли к ГРуппАм ли 323 (й) Если д е= 6, существует окрестность )т элемента 0 в Ь (6), такая, что ур ( х) д ' = ~р (Ай у . х) для всякого хан )у. (!) вытекает из следствия 2 и из предложения 44 $ 3, и' 12.
(й) вытекает из предложения 8, примененного к 1п! д. б. Индуцированная структура на подгруппе Лемма 4. Пусть 6 — группа Ли конечной размерности, Й вЂ” открытая симметричная окрестность элемента е в 6 и Н вЂ” подмножество в 11, содержащее е, такое, что условия х ее Н, у я Н, ху ' ~ 11 влекут за собой ху-' ~ Н, Пусть Ген А!». Для всякого х ев Н пусть ()„— множество элементов а ~ Т„(6), обла-' дающих следующим свойством: существуют открытая окрестность 1 элемента 0 в К и отображение ! класса С' из 1 в 6, такие, что !(0) =х, !(1) с= Н, (Ть!)(1) = — а.
(!) Положим (),=!). Тогда () есть подалгебра Ли в Е(6), инвариантная относительно Аде <о>(Н). (й) Имеем ()„=х!) = ()х для всякого х~ Н (х() и !)х вычисляются в Т(6)). (Ш) Пусть )т — многообразие класса С', оь — точка в У, ! — отображение класса С' из 'у' в 6, такое, что !(оь) =е и !(У) ~ Н. Какова бы ни была подгрупускула Ли Н' в 6 с алгеброй Ли )), 1(о) ~ Н' для элементов о, достаточно близких к оь. (1ч) Какова бы ни была подгрупускула Ли Н' в 6 с алгеброй Ли !), Н'() Н есть скреетноеть элемента е в Н . (ч) Для всякого хан Н и всякого а е=()„существуют открытая окрестность 1 элемента 0 в К и такое отображение ! класссг С" из 1 в 6, что !(0) =х, !(1) с: Н, (Ть!)(1) =а. Ясно, что К()=-() и что х() г=()„э„если х, у, ху, хух лежат в Н.
Это влечет за собой (Я) и тот факт, что () инвариантна относительно Аде<а(Н). Пусть ао аз лежат в !). Пусть 1 — открытая окрестность элемента 0 в К и !ь 1,— отображения класса С' из 1 в 6, такие, что !!(0)=е, !!(1)с: Н, (Тс)!)(1)=а! (1=1, 2). Определим 1: 1 — «6 формулой !()с) = 1, (А) !,(Л). Тогда ! принадлежит классу С' и !(0) =е. Уменьшив, если нужно, 1, получаем включение !(1) с: Н.
С другой стороны, отображение из Т,(6) н. Р', Т,(6) в Т,(6), касательное к отображению (д, д') ду', есть сложение; стало быть, (Тс!)(1) =а, + а,. Значит, а, + а, еи(т и () есть векторное подпространство в Е (6). Поскольку х5х-' = 5 для всякого х~ Н, имеем (Ас) ),(!,)).а,ее() для всякого 1.~1. Отображение, касательное в 0 к отображению А «А41,(А), со- ГЛ. П1. ГРУППЫ ЛИ гласно предложению 44 $ 3, и' 12, есть отображение Л ~ — 1 ад (Ла,); стало быть, (а„а,) = (аб а1) . а, ~ $, поскольку !) замкнуто в Ь(6). Стало быть, мы доказали (1), В заключение доказательства мы зафиксируем подгрупускулу Ли Н' в 6 с алгеброй Ли ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
