Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 72
Текст из файла (страница 72)
ПУсть )1, оы 1 такие же, как в (Ш). ПУсть У вЂ” левое слое-' ние на 6, ассоциированное с $ (и' 1). Для всякого у ен Н' имеем Т„(Н') = у5. С другой стороны, для всякого о ен )т образ пространства Т,(у) относительно Т,(1) содержится в ()1ьа 1(о)() (по определению множества (111,1).
Согласно Мн. Св. рез., 9.3.2, есть морфизм из )т в У. Поскольку Н' является листом слоения У (Мн. Св. рез., 9.2.8), то 1(о) ен Н' для любою о, достаточно близкого к с,. Пусть (а„..., а,) — базис в (). Существуют открытая окрестность .* элемента 0 в К н такие отображения !1, . „1, класса С' из ! в 6, что !1(0)=е, !1(1)~Н, (Т11)1=а! для всякого 1.
В силу (И!) 11(Л) енН' для достаточно малых 1Л!, Значит, элементы 11 (л,) 11(лз) ... ~,(л,) пРи достаточно малых ! л1!, ..., ! ль ! составляют окрестность элемента е в Н', и эта окрестность содержится в Н. Отсюда следует (!У). Если а~(), то существуют открытая окрестность 1 элемента 0 в К и отображение класса С" из Т в 6, такие, что 1 (0)=е, ! (1) ~Н', (Ть)) 1=а.
Вместе с (1ч) это влечет за собой (ч). Опввдялвния 2. Говорят, что () есть касательная подалгебра кНее. ПРвдложвнив 9. Пусть 6 — конечномерная группа Ли, Н вЂ” подгруппа в 6. (1) На Н существует одна и только одна структура аналитического многообразия со следующим свойством: для всякого Г, заключенного между 1 и сь, для всякого многообразия 11 класса С' и для всякого отображения 1 из )1 в Н отображение 1 принадлежит классу С' как отображение из )1 в Н тогда и только тогда, когда 1 принадлежит классу С' как отображение из $' в 6.
(В) Относительно этой структуры Н является группой Ли, каноническая инъекиия 1 из Н в 6 есть иммерсия, а Т. (1) (Ь (Н))— ггодалгебра Ли, касательная к Н в е. Единственность в (1) очевидна. Докажем существование. Пусть (! — алгебра Ли, касательная к Н в е. Пусть Н' — подтрупускула Ли в 6 с алгеброй Ли (1. Заменив Н' некоторой юткрытой подгрупускулой в Н', можно предположить, что Н'с:Н (лемма 4 (!У)). Для всякого хенН множество хН'х ' ~сть подгрупускула Ли в 6 с алгеброй Ли х!)х '=$.
Стало врыть, Н'Д (хН'х ') открыто в Н' (и' 2, теорема 3), и отображение у —: хух"' есть изоморфизм из Й Дх 1Н'х на хН'х 1()Н'. Ь з а. пн вход от длгев~ ли к и нппдм ли 325 Учитывая предложение 18 $1, и 9, мы видим, что существуют открытая подгрупускула Ли ЯУ в Н' и структура группы Ли на Н со следующими свойствами: йУ открыта в Н, и структуры многообразия на Н и Н' иидуцируют одинаковую структуру на Ф'. Отсюда следует, что каноническая инъекция 1 из Н в 0 есть иммерсия и что Е (1) (Е (Н)) = Е (Н') = 5.
Кроме того, пусть )г и ! такие же, как в (!), Если ): У-ьН принадлежит классу С', то 1 е ): У -ь 0 принадлежит классу С'. Предположим, что ! е): )г- 0 принадлежит классу С', и докажем, что 1: )г-+Н принадлежит классу С'. Поскольку можно сделать сдвиг, достаточно рассмотреть случай, когда существует такой элемент овен У, что 1(оо) = е, и доказать, что Т: У-+ Н принадлежит классу С' в некоторой открытой окрестности элемента ое. Но согласно лемме 4 (Ш), ! (о) е=- Н' для о, достаточно близкого к ое, откуда следует наше утверждение. Таким образом, (!) доказано, а (й) было получено по ходу дела.
Опрвднлвнив 3. Структура группы Ли на Н, определенная в предложении 9, называется структурой, индуцированной на Н структурой группы Ти на О. Если Н есть подгруппа Лн н О, ее структура группы Ли индуцирована структурой группы Ли на 0'(Мн. Св. рез., 5.8.5). Если О=8 и Н= с), то 5 = (О), а аначит, структура, индуднрованиая на Н, есть структура дискретной группы Ли. То же самое пронскоднт, если О = С (рассматрнваемая как комплексная группе Ли) и Н=Д. б.
Нерзообразные для дифферена)иальны» форм со значениями в алгебре Ли Лемма 5. Пусть Х вЂ” многообразие класса С', Р и Р' — векторные расслоения класса С" с базой Х и ~р — морфизм из Р в Р'. Дли любого х ~Х пусть Б„— множество влементов (а, ~р (а)) ен Р,9 Р,'„, где а ~ Р„. Тогда объединение 3 множеств Я„есть векторное подрасслоение в Р9Р'. Пусть 0 и 0' — отображения из Р9Р' в себя, определенные следующим образом: если (и, о) ен Р,9Р,', то В (и, о) = (и, о + <р(и)), 0'(и, о) = (и, и — <р(и)).
Согласно Мн. Св. рез., 7.7.1, 0 и 0' суть морфизмы векторного расслоения Р9Р' в себя. Ясно, что 8 ь8' 8'ь 0 =1йещг . Значит, 0 и 0' — автоморфнзмы расслоения Р9Р'. Следовательно, З=В(Р9(О)) есть векторное подрасслоение в Р9Р'. зеа ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ Лемма 6. Пусть 0 — групускула.Ли, е — каноническая левая. дифференциальная форма на О (3 3, и' 18.9), М вЂ” многообразие класса С' (г'-ь2), а а — дифференциальная форма класса С' и степени 1 на М со значениями в г. (0). (1) Элементы из Т(М Х 6), на которых дифференциальна»г форма 8 = рг', а — рг', е обращается в нуль, образуют векторное подрасслоение Б класса С' ' в Т(МХ О).
(й) Для всякого (х, у) ~ МХ 0 отображение Т(рг,) ~5ы,г» есть изоморфизм из 5ы,г~ на Т„(М). (ш) Если йа+ [а7= О (см. $3, и' 14), то векторное подрасслоение 5 интегрируемо. Если (х, й) ее М Х 0 и (и, о) ен Т„(М) Х Тг (0), то Оы,г~(и, о) =а(и) — й-'о. Следовательно, ядро отображения Оьв г1 есть множество 5ы, г» элементов (и, да(и)) для ига Т„(М), откуда вытекает (й). Рас- смотрим Т (М Х 6) как прямую сумму двух векторных рас- слоений Р и Р' с Ры,г> — — Т,(М)Х(О) и Р~,,г1 — — (О)ХТ,(0) для любого (х~ й') ~ М Х О. для и ее Тл(М) Х (О) положим ф(и) =(О, да(и)). р)спользун левую тривиализацню расслоения Т (О), видим, что ф есть морфизм из Р в Р', откуда следует (1) (лемма 5).
Наконец, если да+(аР=О, то й8 = рг*, (йа) — рг,' (йе) = 1 = — — (рг', а Л рг', а — рг', е Л рг' е) = 1 = — — (рг',а — рг'е) Л(рг',а+ ргге)= 1 = — — 8 Л (рг', а + рг' е), значит, 5 интегрируемо (Мн. Св. рез., 9.3.6). ТеОРемА 5. Пусть 6 — групускула Ли, М вЂ” многообразие класса С' (г) 2), а — дифференциальная форма класса С' ' и степени 1 на М со значениями в Ь (О), такая, что йа + 1ар = О. Для всякого х~ М и всякого деиО существует отображение 1 со значениями в О, определенное и принадлежащее классу С' ' в некоторой открытой окрестности элемента х, такое, что е ь к пеРехОд От АлГеБР ли к ГРуппАм ли 327 ~(х) = д и !' '. 4 =а. Два отображения, удовлетворяющие этим условиям, совпадают в некоторой окрестности элемента х.
Пусть хен М и дев О. Согласно лемме 6 (обозначения которой мы принимаем) и Мн. Св. рез., 9.36, существуют открытая окрестность 6 элемента х в М и отображение ПГ~-Р~р(т)= =(и, !(т)) класса С' ' из 6 в МХО, такое, что ~(х)=й и что <р'(О) =О. Тогда Г'. а7 = ~ (Гь) (% 3, и' 18.9) = =(ргхо<р)'(а) (ибо 1=рггюф)= <р*(рг',а — О) (лемма 6) = ~р'(рг',а) (ибо ср'(О) =О) = а (ибо рг, уф=!до).
Пусть 1' — отображение класса С ~ из 6 в О, такое, что !'(х) к н 1' .й!' а. В силу $3„18.9, ]]' локально постоянно, стало быть, !' = 1 в некоторой окрестности элемента х. Пвидложение !О. Пусть М вЂ” аналитическое многообразие, Π— полная нормируемая алгебра Ли, а — дифференциальная форма степени 1, аналитическая на М, со значениями в имеющая следующие свойства: а) для всякой точки и ееМ значение а,„есть изоморфизм изТ (М)най; б) аа+]а]~=0. Тогда длЯ всакой точки Гпь ен М сУЩествУют откРытаЯ окРестность М' точки ть в М и структура групускулы Ли на М', согласованная со структурой многообразия на М', с единичным элементом ть, имеющая следующие свойства: (!) а, есть изоморфизм из Ь(М') на О; (В) дифференциальная форма т~-Ра ' ~а есть каноническая левая дифференциальная форма на М'.
Если М( и Мг суть две такие групускулы, то М( и М] обладают общей открытой подгрупускулой. Существует такая групускула Ли 6, что Е(6)=О. Пусть пГь ен М. В силу теоремы 5, существуют открытая окрестность М' точки Гпь в М и аналитическое отображение 1 из М' в 6, такое, что 1 (ть) = е и 1 . й! = а. тогда т~ (!) = ам, есть изом орфизм нз Т (М) на О; значит, уменьшив М' и О, можно предположить, что ! есть изоморфизм многообразия М' на многообразие 6. Перенесем иа М' структуру групускулы Ли на О посредством отображения 1 '.
Тогда Тм,Д) становится изоморфизмом из Ь(М') на Ь(О)= О, откуда следует (1). С другой стороны, 328 ГЛ. Пъ ГРУППЫ ЛИ обозначив через в каноническую левую дифференциальную форму на 6, получаем а 'о а„=(Т,)) о(7 ° сЦ)(пс) =(Т„,,Т) 'ьв(7(т)) ° Т„,р, стало быть, Гп с а 'о а есть каноническая левая дифферен-' циальная форма на М'. Пусть М" — открытая окрестность точки псь, наделенная структурой групускулы Ли с единичным элементом пср и со свойствами, аналогичными свойствам (1) и (В). Тогда а„„есть изоморфизм из Ь(М') на й, а также из Ь(Мп) на й, а значит, Е(М')=Е(М"), Следовательно, уменьшив М' и М", можно предположить, что сушествует изоморфизм ф групускулы М' иа групускулу М" (и' 1, следствие 1 теоремы 1).
Тогда ср ' ° йф есть каноническая левая дифференциальная форма на М'. С другой стороны, пусть ср — каноническая инъекция многообразия М'ДМ" в групускулу Ли М"; ясно, что ср ° йф есть ограничение на М' Д М" канонической левой дифференциальной формы на М".
Стало быть, (ср ~Ц)(т) = а, ° а, = (ф ° Йр) (т). Следовательно, ф и ср совпадают в некоторой окрестности точки ть 5 3, 18.9). Это доказывает последнее утверждение предложения. Следствии. Пусть М вЂ” аналитическое многообразие конечной размерности и. Пусть в„..., в„— аналитические формы степени 1 на М со скалярными значениями, линейно независимые в каждой точке из М и такие, что для всякого й=1...„п форма йвс есть линейная комбинация с постоянными коэффициентами форм в, Л вр Тогда для всякой точки псьенМ существуют ее открытая окрестность М' в М и структура групускулы Ли на М', согласованная со структурой многообразия на М', с единичным элементом псь и такая, что в,1М',, „в„~М' образуют базис гроетранетва скалярньсх левоинвариантных дифференциальных форм степени 1 на М'.
Если Мс и Мэ суть две такие групускульс, то Мс и Мэ обладают общей открытой подгрупуекулой. Пусть Х„..., Մ— векторные поля на М, такие, что в каждой точке пс из М векторы (Х,) образуют базис в Т (М), дуальный к ((в,), ..., (в„) ). Эти поля аналитичны. Согласно условию, сушествуют такие сиь е К (1(с, 1, й(п), что сиз= — спь и что йвь — — ~ еиьв, Л вс. В силу Мн. Св. рез., с<с 8.5.7, формула (11), отсюда вытекает, что ((Хс, Хс), вь) = — (йв,) (Х„Хс) = Х сыьвт Л вс) (Хь Хс) = — ецы ~г < г т $ А ПЕРЕХОД ОТ АЛГЕЗР ЛИ К ГРУППАМ ЛИ зев значит, (Х„Х/) = —,)' си»ХА. Следовательно, злементы — с,/А суть структурные константы некоторой алгебры Ли 8 в базисе (е„..., е„). Для всякой точки Гп ~ М пусть а — линейное отображение из Т (М) в 8, преобразующее (Х,) в е,, ..., (Х„)ы в е„.
Тогда а есть аналитическая дифференциальная форма степени 1 на М со значениями в й, и а есть изоморфизм из Ты (М) Р на й. С другой стороны, а= ~ вьеА, следовательно, А-» Р »» да= Х (двь) ВА Х ( Х сп»/ь/ Л в/) еь А=! А-! 1/</ (а)'= ~ (вьеь)з+ ~ (в,е,) Л (в/е/) (5 3, формула (80))= А=! / </ = Х (в, Л в/)(е„е/) = /</ »» — ~, (с,/Ав, Л в/)еь= А-! /</ = — с/а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
