Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 49
Текст из файла (страница 49)
') Относительно типовых последовательностей подробнее см. Ьахагб М., Алла(ез Е. Ф. 8., ЬХХ! (1954), 101- 190, свар. П, $1, 2. УПРАЖНЕНИЯ г) Показать, что существует последовательность оз, ом ... злементов мз Р, где о, гм Сгр для любого С такая, что (н1 (нт (х", у) ив(х, у)неч ЯУ ...
вц '~шобС'+тР лля любого нее 2 н 1~1. (Применить упражнение 8 е) к последовательности (х", у).) Вывести отсюда, что если р — простое число, то существуют !г сн С'Р при 3 ~ ! ~ р н з ен Св~ Р, такие, что (хг у) ( у) (з" Показать, что образ й злемента г в (.г+'(Х)равен(абх)г(у). (Тем же г Р способом, что и в в),) $10) Пусть р — простое число и 0 — группа, наделеннаи центральной' вещественной фильтрацией (Оз).
Предположим, что соотношение хгм Ов влечет за собой яр ем Ор„, иначе говоря, что фильтрация (Оа) ограниченная. а),Показатгь что алгебра Ли йт (0), ассоциированная с (О„), такова что р . йт (0) (О), т. е. она может быть наделена структурой алгебры над Рг б) ПУсть в се йга(0) н х — пРедставнтель $ в 0 . Показать, что обРаз хг в пгрз(0) не зависит от выбора х (использовать упражнение 9 в)). Если обозначить зтот образ через $Щ1, то можно доказать, что $ ь-э. В!г! — линей- ное отображение йти(0) в игра(0) н что (3+ с')!г! в!г!+ $ "'!+йг($, $'). (Тем же способом.) Показать, что егин $ гл йги(0) н Ч сн йгй (О), то [й!г! г)[ (аг) Цг (г!) (Использовать упражнение 9 г).) в) Показать, что существует единственное р-огобразггниг уг(О) в себя (гл. 1, 5 1, упражнение 20), которое продолжает отображения $ г — э я!Р)„опре- деленные на йгв(0).
Наделенная этой структурой, йг(0) является р-алге- брой Ли, про которую говорят, что оиа ассоциирована с ограннчециой фильтрацией (Ов). 1(1!) а) Пусть А — фильтрованная алгебра, удовлетворяющая условиям из 5 4, и'5, н Г А*()1(+ Ас+). Наделим Г фильтрацией (Г„), индуцирован- иой фильтрацией А (там же, предложение 2). Показать, что если К вЂ” поле характеристики р > О, то (Го) — ограничгннал фильтрации (упражнение !О) и вложение йг(Г) в йг(А), тзм же определенное (см.
предложение 3), совместимо со структурамн р-алгебр Лн на ег(Г) н йг(А), б) Предположим, что К= Рр. Применим предыдущее к фильтрованной алгебре А(Х), в которую посредством гомоморфнзма у вложена группа Р = Р (Х). Фильтрация (Г„) группы Г индуцирует фильтрацию (Р„) группы Р, являющуюся ограниченной. Далее, р-алгебра Лн йг(Р) совпадает с некото- рой р-подалгеброй Лн алгебры А (Х), содержащей Х. Вывести отсюда, что йг (Р) содержит свободную р-алгебру Ли й(Х, р); см. упражнение 4 д). в) Пусть Н вЂ” семейство Холла над Х; для любого целого числа ! пусть Нг — множество ллементов Н длины г.
Пусть' гг гы Р н а, гм 2( ") таковы, что н =П П ф( )"'"' бС""Р ! тмнг гл.ы. своводнын длгкнгы ли 222 для любого и, см. и' 4. Для любого т >и П обозначим через !(е) длину е, а через д(т, в) наибольшую степень р, делящую а,. (т), где > 1(в) (если а (т) О, то положим и(т, в) +со). Пусть Н= >п! (1(т).д(т, в)).
евн Показатгь что ~р(т) принадлежит Р, а если !(в).и(т. в) > ИГ, то о 1е> ог >е> н Р +Г Показать, что если Е (в) . д (т, в) = Н, то образ в (т) ' в йг (А (Х)) А (Х) является ненулевым кратными>141е' в>1, где т — элемент н из С (Х), определенный элементом т (з 2, и'11). Но эти элементы линейно независимы ($3, упражнение 4): вывести отсюда, что образ в в цен(Р) не равен нулю н принадле>кит Е(Х, р), откуда следует, что дг(Р) Е(Х, р). 12) Пусть Π— елгебра Лн над полем И характеристики р > О.
а) Пусть И вЂ” целое число ~р — 1. Говорят, что 3 удовлетворяет И-му условию Энгеля, если (аб х)" (у) 0 для любой пары (х, у) элементов из 0. Показать, что это эквивалентно тождеству аб (хиб>) ... аб(хаги>) = 0 на для любых хь ..., ха из 0 (применить формулу (айх)" 0 к линейным комбинациям х ). б) Пусть х, у — элементы нз О, такие, что Лр(ах, Ьу) =0 для любых а, Ь из И, Показать, что если Лг г — биодиородная компонента Л бистепени г (г, з), то Лг' г(х, у) =0 для любой пары (г, г).
Вывестн отсюда (полагая г=р — 1, з=1), что (аг(х) > (у)=0. В частности, если Лр(х, у) =О для любых х, у нз 0, то алгебра Ли 9 удовлетворяет (р — 1)-му условию Энгеля. в) Пусть с — ' центр 9, Предположим, что (аб х)и 0 для любого х зм 9. Показать, что р/с удовлетворяет (р — 1)-му условию Энгеля. (Показать, что Лр(абх, абу)=0 для любых х, у из 9 н применить б) к алгебре Лн ай 3 = а/С.) г) Пусть У вЂ” группа, в которой хи=1 для любого 'хгмв, и пусть (Со) — центральная вещественная фильтрация на С.
Фильтрация (Ои) огранингннал (упражнение 10), и уг(У) является р-алгеброй Ли с нулевым р-отображением. Вывести отсюда, что йт (0) удовлетворяет (р — 1)-му условию Энгеля '). $6 кч ! 1) Показатгь что ехр (У) ехр (У) ехр ( — У) ехр ~ — (ай У)" (У) Е и( Вывести отсюда, что Н(У, П (У, — У)) =~ — (ай У)" (У) =(ехр(ай У)) (У). ч-з и о ч 1 2) Показать, что Н(У, У) = ~ — (ай У)н(Н(У, У)). (Применить упраж- Л и( и о пение 1, замечая, что П(У, Н(Н(У, У), — У)) Н(У, У).) ') Относительно свойств алгебр Ли, удовлетворяющих условию Энгеля, н их приложений к „ослабленной проблеме Бернсайда" см. Кострнкин А. И., Изв.
АН СССР, т. 23 (1959), стр. 3-34. хполжнпнип 3) Положим М (У, )г) = Н (- У, У + <г). Тогда ехр (М (У. <г)) = =ехр(-У) ехр(У+ )г). Обозначым через Мг(У, У) (соотв. Н,(У, У)) сумму бноднородных компонент ряда М (соотв. ряда Н), степень которого относительно )г равна !. а) Показать, что М, (У, <г) = ) (ай У)е(<г) (/(ай У)) (<г), и где /(Т) =(1 — е </Т. (То же рассуждение, что н в доказательстве предложения 5. Можно также ограничиться предложением 5, если испольэовать тождество ехр (<7) ехр (М (У, <г)) .
ехр ( — У) ехр (Н (У+ т', — У)) в сочетании с упражнением 1.) б) Показать, что Н (У, М(У, )г)) =У+ 1'. Вывестн отсюда, что Н, (У, М, (У, <г)) = 1'. СО ч 1 в) Положим д(Т) =1//(Т) ' 1+ Т/2+ ~ — Ь,„Тт", где Ь,е — числа Л.г (2а)! и ! Веряуллы (Теор. !ррык. действ. пер., гл, !71, $1, и'4). Показать, что Н,(У, <г) (д(ад У)) (1') =)г+ — <У, У)+ хт — Ьтэ(ад У) "(<г). 2 ' е.л (йя) е=! Получить отсюда первые члены разложения Н, (У, )г)! Н! (У. У) <г+ — (ад У) (<г) + — (аб У)! (<г) — — (аб У)! ()г) + 1 1 ! 1 2 12 720 .<- — (ад У)е()г)— 1 30 240 г) Показать, что сумма бнодноропиых компонент в Н(У, )г), нмеюпглх степень 1 по переменному У, является рядом У+ — , '(У, У)+~ —,', Ь,„( 4У)т" (У).
ы=! Применить в) к Н()г, У) и использовать упражнение 2 пля перехода от Н <1, У) «Й <У, <7).) д) Пусть йг — еще одно переменное и Х(У, )г, йг) — сумма трноднород- ных компонент рида Н(У, У+ йт), имеющих степень 1 по 1Г. Показать, Х(У, Н,<У, УР))=Н,<Н<У, У), 2). Использовать тождестно Н(У, Н(т', Ят)) Н(Н(У, )г), Ят).) Вывести нэ него, что Х(У, У, %7) (д(адН(У, У))е/(аб)г))(Ф), $4) Пусть Х вЂ” конечное множество и Е=Е(Х). Наделим Е законом композиции Хзусдорфа (а, Ь) ! — ьа !-! Ь, который мы обозначим просто че- рез аЬ. Если <щ)(, оепЕ, то положим а' <а.
гл. и. своводнып ллгпвры ли а) Пусть зэ — семейство Холла над Х. Если яг еп М, то через т обо- А значим соответствующий элемент алгебры Ли Е (Х) ($2, и'11), а через щ — базисный коммутатор группы / определенный элементом ю (й б, и'4, замечание). если 1 — длина яг, то показать, что тв, ть+р, где р имеет степень ~1+ 1 (рассуждать нндукцией по 1).
Вывестн отсюда, что любой элемент и группы /. может быть единственным образом записан в виде — ТТ, эгм1 ле ммпс где п(т) ~м К, причем это произведение в топологической группе Е сходится, б) Пусть Р— множество всех простых чисел, а с — целое число ~1. Положим К О. Показать, что группа Е/А совпадает с Р-пополнением гээ с группы Рс Р(Х)/С'Р(Х). см. э б. упражнение б. в) Положим теперь Х равным двуэлементному множеству (У, )г). Показать, что существуют два семейстпа рациональных чисел а(ю), () (ю), такие, что Например, г) Пусть я — ннльпотентная 1)-алгебра, наделенная законом композиции Хаусдорфа.
Пусть н, о — алемеиты из я. Показать, что в + о = Ц гл. (и, а)э 1"'1, м я ла [., о) = Ц щ„(в, о)б ммлс, где а и [) — определенные выше семейства рациональных чисел (формула собран(алия Хаусдорфа). (Использовать непрерывный гомоморфпзм йс Е -ь й, такой, что ф(У)=и, ф(У) о, н заметить, что он является также н гомоморфвзмом относительно закона композиции Хаусдорфа.) д) Пусть 0 — полная ннльпотентиая группа без кручения (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
