Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 47
Текст из файла (страница 47)
а) Пусть (!, 6) есть Р-пополнение 6 н Ь вЂ” ннльпотентная Р-полная группа беэ Р-крученая. Показать, что для любого гомоморфнзма /: 6-» Ь существует единственный гомоморфнзм /: 0-» Е, удовлетворяющий условию /е!=/ (свестн к случаю, когда Π— группа беэ Р-кручения, и использовать упражнение 14 г)). Вывести отсюда, что если 0 обладает Р-пополненнем '),. то оно единственно с точностью до йзоморфизма. б) Пусть (5 6) есть Р-пополнение О и Н вЂ” подгруппа в 6, а Й вЂ” это Р-пополнение ! (Н) в О, причем !: Н-» Й вЂ” гомоморфнзм, нндуцнрованный !.
Показать, что (/и, Й) есть Р-пополненне Н. Предположим, что Н вЂ” нормальная подгруппа в О. Тогда Й нормальна в 6; см. упражнение 14 б); показать, что если !пНР 6/Н -» 6/Н вЂ” гомоморфизм, индуцированный А то (! и, 6/Й) есть Р-пополнение О/Н. 16) Сохраним обозначения двух предыдущих упражнений. а) Пусть 8 — множество Р-чисел и 2,=Яр Š— кольцо частных 2, Р определенное множеством 8Р (/(омм.
алг„гл. П, $2, п'1). Предположим, что О явннется Р-полной ннльпотентной группой без Р-кручения; пусть г св 2Р, у еи О. Показать, что существует единственный элемент Л в О, та- ') На самом деле любая ннльпотентвая группа облацает Р-пополнением; см. 5 5. упражнение 6; см. также 1.акагб М,. Анна!ез Е. Ф. 8„1. ЕХХ! (1954),. р. !01 — 190, самар.
И, $3. (См. также А. И. Мальцев, Нзе. АН СССР, сер матем., 15 (1949), 201 — 202. — Прим. нерее.) ГЛ. И. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ л14 кбй, что А' = Ум при любом з си Вр, для которого з! гм Х. Элемент А называется 1-й стенанью д и обозначается через йг. Отображение !» †йг является гомоморфизмом Х в 6. Если ! обратимо в Хр, то й ь †:ь йг бнективно. (Использовать упражйенне 14 в).) б) Пусть А — коммутативная группа н ! — каноническое отображение А м А = Х, б)) А. Показать, что (й АР) есть Р-пополиеиие А. Р Р в) Пусть 6 (соотз.
0) — нижняя строго тргагольная группа матриц порядка и над кольцам» (соотв. над кольцом»»®Х ), и пусть ! — го- Р ' моморфизм 6 в О, индуцироваиный каионическвм гомоморфнзмом Ф в» (А)д., сйар. П, р. 145). Показать, что (1, 6) есть Р-пополнение О. г) Пусть 0 — конечная инльпотентная группа, т. е. прямое произведение своих силовских р-подгрупп Ор (А!У., сйар. 1, р. 76, !)ьеогйще 4). Пусть 6 — прямое произведение тех Ор, для которых р ф Р, и ! — каноническая ироекпия 6 на Ор.
Показать, что (1, 6) есть Р-пополнение О. 1) 17) Предположим, что 6 нильпотентна. Пусть Р— множество простых чисел и юр(0) — множество нормальных подгрупп в 6, конечный индекс которых является Р-числом (см. упражнение !4). Пусть У р(6) — топология на О, определенная базисам фильтра юр(0) (Общ. топ„)969, гл.
Ш, $1, п'2, пример). а) Пусть У вЂ” подгруппа конечного индекса в 6, такая, что (6: У) является Р-числом, и У' — пересечение всех подгрупп, сопряженных с У. Показать, что (О: У') есть Р-число (использовать тот факт, что 6)У' — произведение своих силовскнх подгрупп), вывестн отсюда, что У открыта в У (О). б) Пусть Н вЂ” подгруппа конечного индекса в 6.
Показать, что У (Н) Р совпадает с топологией, нндуцнрованной иа Н топологией У (6). (Тем же способом.) в) Пусть Н вЂ” нормальная подгруппа в 6, такая, что 0)Н изоморфна Х мк — представнтельв6образующегоО)Н.ПустьУеп6 (Н)иУ' Пх"Ух ныл Показать, что У'гкВР(Н) н хУ'х-'=У'. Показать, что если У" — подгруппа, порожденная У' и х. то (О;У") (Н:У'). Показать, что тогда У (Н) иидуцируется а Р (О).
г) Пусть 6 имеет конечное число образующих. Показать, что если Н вЂ” подгруппа в 6, то существует цепочка подгрупп Н НасН,с...~Н» О, такая. что Н! нормальна в Нг+, для любых О ~( ! <» н что Нь+УН! конечна пли изоморфна Х. Вывести отсюда, что У (Н) индуцнруется У' (0) (использовать б) н в)). д) В обозначениях г) пусть Р' — дополнение к Р в множестве простых чисел. Показать, что замыкание Н относительно У ,(6) совпадает с Р -радикалом Н в 6 (упражнение 14); в частности, 6 отделима тогда и только тогда, когда она ие имеет Р'-кручения. 18) Верхний центральный ряд (ХгО) группы 6 определяется по нндук.мщи слеиующим образом: (! ) Хг6 = (е), если ! ч~ О; (П) Хг6)Хг-ь0 — центр группы 0(Х! г0.
УПРАЖНЕНИЯ 216 Имеем (е) = Хеб с Х~О с... и Х~Π— центр группы О; все Х;Π— харак-. теристические подгруппы в О. а) Показать, что 0 .нильпотентна класса ~ с тогда и только тогда, да О=ХО. б) Показать, что (С"О, Х„,О) ~= Хм „0„ в) Пусть 0 — нильпотентная труппа без Р-кручения (Р— множество. простых чисел; см. упражнение 14). Показать, что все Хз0 совпадают со, своими Р-раднкаламн. (Достаточно убедиться в этом в случае, когда ! 1; еслии есть Р-число несли элемент дщ О таков, что ймщ Х, О, то хизх-' й" лля любого хщ0. Значит, хйх-'=х по упражнению 14 в), откуда мы, сразу выводим, что и принадлежит Х,О.) В последующих упражнениях предположения н обозначения те же самые, ° что и в $5. Через Р мы обозначаем свободную группу Р(Х), а и — единственный гомоморфизм Р в группу Магнуса Г(Х), такой, что й(х) 1+к. для любого х щ Х (см.
теорему 1]. 1) Наделим групповую алгебру К [Р] группы Р фильтрацией, состоящей из степеней наполняющего идеала ! (4 4, упражнение 6). а) Пусть й: К[Р]-ь А(Х) — епнзствениый гоиоморфизм злгебр, продолжающий йт Р-ьА(Х) . Показать, что й отображает !и в идеал А,(Х! (см. п' 1) и индУциРУет пРн фактоРизации изомоРфизм йи алгебРы К [Р]71" на А(Х)]А„(Х).
(Определить обратный гомоморфизм к йи прн помощи гомоморфизма А(Х) в К[Р], отображающего х в х — 1 для любого х ся Х.) Вывести отсюда, что А(Х) изоморфен огделимомр пополнение К[Р] относительно топологии, определенной (!и). б) Предположим, что К = Х. Показать, что фильтрация (!") отделима (использовать предложение 3 и упражнение 6 д) нз 5 4) и что фильтрация Р„ ею определенная (упражнение 6 а) из $4), совпадает с фильтрацией (С"Р). Вывести, что гомоморфизм йр Х(Р)-ь Ах(Х) инъектнвен. 2) Пусть 0 — группа, К]6] — ее групповая алгебра, ! — пополняющий идеал этой алгебры (в 4, упражнение 6). Обозначим через е канонический гомоморфизм К [0] на К; тогда Кег(в) = !. а) Пусть М вЂ” левый К [О]-модуль и Х (О, М) — группа скрещенных еомоморфизмоэ О в М (А!ф, сйар. 1, р. 131, ехегс.
7). Для ] ел Нощл!и!(1, М) через ], обозначим отображение д ь-ь [(й — 1) группы 0 в модуль М. Показать,что ], — скрещенный гомоморфизм (использовать тождество лй' — 1 = й(у' — 1) -(- й — 1 для того, чтобы показать, что ]1(йй') = Ю ° ]1 (д ) + ]1 (й)) и что ! ь-ь ], — изоморфизм Ноп1л!а! (7, М) на Х (О, М). б) Возьмем в качестве 0 свободную группу Р Р(Х). Показать, что для любого отображении 6: Х-ьМ существует единственный элемент группы Х (Р, М), который продолжает 6. (Использовать интерпретацию Х (Р, М) в терминах полупрямого произведения Р на М; см. А!и., сйар.
1, гам же.) Вывестн отсюда, используя з), что семейство (х — 1)„мх является базисом ! как левого К [Р]-модуля. в) Согласно б), любой элемент и щ К [Р] единственным образом записывается в виде и е (и) + ~ !)х (и)(х 1) х м Н ГЛ. Н. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН 216 где О» (и) !м К [Р[, причем О» (ь) равны нулю, за исключением, возможно, конечного. нх числа. Отображение и ь-л 0»(и) называется частной производной по х.
Оно характеризуется следующими свойствами: (!) О» есть К-линейное отображение К [Р[ в К[Р[; (И) 0»(ио) и.0»(о)+е(о).0»(и) для'любых и, ищК[Р[; (!!!) О» (х) =1 и 0»(у) =О, если у щ Х- [х). Если и >1, то 0»(хл) 1+х+ ... +хи (х-л) х-л х-л+1 г) Пусть е — канонический гомоморфизм А(Х) на К. Показать, что А любой элемент и»м А (Х) единственным способом записывается в виде - „( )+ 2.' д.(и) »мд где д (и) !ыА(Х), причем А»(и) равны нулю, за исключением, возможно, конечного их числа.
Показать, что д„: и ~-ь»(» (и) — эидоморфнзн алгебры А (Х). который по непрерывности продолжается на А(Х) н обладает свойствами, аналогичными свойствам (!), (!!), (ГП, приведенным выше. Показать, что А»~у у О», где й — гомоморфнзм К[Р) в А(Х), продолжающий у (см. упражнение 1) '). ЯЗ) Сохраним обозначения упражнения 2. а) Пусть 1 — правый идеал в К[Р[, содержащийся з 1, и и — элемент нз /.
Показать, что и щ/.1(ф 0»(и) ем/ для любого х щ Х. В частности. элемент 1 принадлежит /л (и ~1) тогда и только тогда, когда все его частные производные принадлежат /л б) Пусть // — яормалъная подгруппа в Р, О Р//с н 1 — ядро канонического гомоморфнзма у: К[Р[-ь К[О[. Показать, что 1 как левый идеал (а также и как правый) порождается элементами г — 1, где ген /г. Доказать точность последовательности 0 -ь 1/(1 . 1) — ь 1/(1 . /) ь К [О) — з К -ь О, (») .где а инчуцируетси прн факторизации включением 1 в 1, а 6 индуцнруется при факторизации ограничением у на 1. в) Для любых и щ 1, х щ Х обозначим через 0»(и) образ 0»(и) в К [О) при у.
Используя а), показать, что семейство (О»)» х определяет прн факторизации изоморфизм 1Д1.1) на К[О[! !. г) Для любого ген /! пусть 8(г) — образ г — 1 в 1/(1, 1). Показать, что .8(щ') 6(г) + 6(г') и 8(угу-') У.8(г) для любых г, г' щ/!, у щ Р. (Использовать тождества гг' — 1 = (г — 1) (г' — 1) + (г — 1) + (г' — 1), угу-! — 1 у(г — 1) (у-1+ 1) + у (г — 1).) Вывестн отсюда, что 6 — гомоморфизм Я/(/1, //) на 1/(1.1), совместямый .с ДЕйетВИЕМ О, И Пскзчатэ, Чта ОБРап ЭТОГО ГОМОМОРфнЗМа ПОРОжДаст ') Подробности относительно О» см, в работе Рох)! Апп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
