Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Пусть щ,— пересечение1 11г ~! с подалгеброй, порожденной й! прн «<1, и пусть Ь! — подмодуль в 1;, порожденный элементами степени 1 из Вп ~!. По предположекию икдукции 11 иц96р УПРАЖНЕНИЯ Так как пИ с= «ь то Ь~ можно представить в виде прямой суммы 9Яйь причем «г щгЯйб согласно предположению относительно К, модули рг н йг свободны; заменой лишь элементов степени 1 в В!' ~! можно добиться того, чтобы йг порождался подмножеством системы ВН !.
Применяя упражнение 11 к 1О ! н ее идеалу 1Н1, можно получить систему свободных образующих ВН! подалгебры 11~', обладающую желаемыми свойствами.) б) Вывести из а), что «обладает системой свободных образующих, состоящей нз одиороднык элементов. 1[ !4) Предположим, что К вЂ” поле. Пусть Х вЂ” множество и х, у — элементы из ь(Х), линейно независимые над К.
Показать„что семейство (х, у) свободно в алгебре Лн ь(Х), (Пусть хр (соотв. уч) — ненулевая однородная компонента наивысшей степени элемента х (соотв. у). Прибавляя, если нужно, к х кратное у, можно предполагать, что хр и уч линейно иезавнсниы над К. Подалгебра ь(Х), порожденная хр и у, градунрована, а следовательно. свободна; см. упражнение 13. Вывестн отсюда. что (хю уа) — свободное семейство, н перейтн от него к (х, у).) Ч[!5) Пусть Х=(х, у) — двуэлементное множество и и — автоморфнзм алгебры Б(Х). Показать, что если К вЂ” поле, то и сохраняет градуировку ь (Х) (применить упражнение 14 к однородным компонентам наивысшей степени, отличным от нуля, элементов п(х) и о (у); вывести отсюда нзоморфнзм Ап(Ь(Х) иа ОЕ(2, К). Распространить эти результаты на случай, когда К вЂ” кольцо без ненулевых нильпотентных элементов.
В случае же, когда К содержит элемент е чь О, квадрат которого равен нулю, показать, что отображение х » — эх, у ь-э у+ а [х, у[ продолжается до автоморфнзма алгебры ь (Х), не сохраняющего ее градуировку. $16) Предположим, что К есть (а-алгебра. Если й — алгебра Лн, то обозначим через и(й) ее универсальную обертывающую алгебру, и пусть а — каноническое отображение й в и(й), а 8(й) — симметрическая алгебра К-модуля й. Существует единственное линейное отображение т((й): 3(й) и(й» такое, что т((у) (х") = а(х)" для любого х ему и любого и щ М.
Имеем 1 чз т)(у)(х, ... х„)= — р п(х,О!) ... о(х ( !), х у. амм Докажем, что т)(й) — бяахчпя. а) Проверить, что з)(й) сюръективно, а если К-модуль а свободен, то оно биективно (использовать теорему Пуанкаре — Биркгофа — Витта). б) Пусть « — идеал в й. Обозначим через й) (соотв. пз) идеал в 3(й) (соотв. двусторонний идеал в и(й), порожденный «(соотв. о(«)). Диаграмма О э Фз †"ь 3 (й) — ь 3 (й)«) -э О ч(з! ф ч(врП ~ О- и, — и (О) — и(й)«) - О коммутатизна, н ее строки точны. Вывести отсюда, что образ йз идеала Уй при з)(й) содержитси в пв и что й пр если т[(й) и т[(йг«) ннъективны в частности, когда модули й и йг«свободны), ГЛ. !!.
СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 208 в) Возьмем вг качестве 8 свободную алгебру Ли над семейством (Хь ..., Х„, Н), где в)0, а в качестве й — идеал в 8, порожденный Н. Показать, что 8 н 810 — свободные модули. Вывести отсюда, что в этом случае »!»= и».
В частности, существует х~мй», такой, что (ц(б))(х)= =о(Х,) ... о(Хв)о(Н). г) Вернемся к общему случаю. Показать, что и» порожден над К элементами ыща о(х,) ... о(х„)о(й) при « )О, х! ни 8 н й»м () (заметить, что и» совпадает с левым идеалом, порожденным (!). Показать, .что такой элемент принадлежит и (исвользовать в) и подходящий гомоморфнзм некоторой свободной алгебры Лн в 8). Вывести отсюда, что и» из. д) Показать, что если т) (0) биектнвно, то таково же в т!(810). Вывестн отсюда, наконец, что для любой алгебры Лн й отображение ц(8) баехгивно (представить 0 как факторалгебру некоторой свободной алгебры Лн) и что канонический гомоморфнзм вк В (8) » йг У (8) (см. гл, 1, э 2, и' 6) является изоморфизлол (теорема Пуанкаре — Биркгофа — Ввтта для алгебр Лн над»л-алгебрами).
Буква Х обозначает некоторое множестно. 1) а) Показать, что любой элемент и»м А+ (Х) запнсываетси в ниде в ~ и„х, где их»ы А(Х). хмл б) Показать, что (0) — единственный подмодуль в А+ (Х), устойчивый относительно всех отображений и»-» и„(х ~ы Х). (Есин а — некоторый такой подмодуль в если а Ф (0), то нужно рассмотреть ненулевой элемент вз а минимальной степени.) 2) Пусть 8 — алгебра Ли, являющаяси свободным модулем; отождествнм посредством о: 8-» 08 зту алгебру с ее каноническим образом в универсальной обертыва»ощей алгебре Уй.
Пусть У й — ядро канонического гомо+ морфнзма 8-» К. Пусть ! — отображение Х в й, такое, что !(Х) порождает 8 как алгебру Ли. з) Показать, что У+й порождается множеством !(Х) как левый 08- модуль. б) Показать, что следующие свойства эквивалентны: (!) 8 — свободная алгебра с системой свободиык образующих 0 Х-» б! (В) семейство 1 является базисом левого Уй-модуля У+8, (Имплнкацня (!) ~ (В) следует нз упражнения 1 а) если использовать изоморфнзм Уй-» А(Х). Для доказательства (В) =;=» (!) применить упражнение 1 б) к ядру гомоморфизма А(Х)-» Уй, индуцнрованному отображением !.) 3) Пусть х »и Х. Показать, что централизатор х в А (Х) является подалгеброй, порожденной х. В частности, едниственвымн элементамн алгебры Ь(Х), перестановочными с х, являются кратные элемента х.
В частности, центр алгебры Ь (Х) равен нулю, если Саед(Х) ~)2, а центр х.(Х)/( ~ Ьз(Х)) ~з>Р равен каноническому образу Ь~ (Х) в втой факторалгебре. 'й 4) Предположим, что К вЂ” поле карактервстнки р)0. а) Пусть Н вЂ” некоторый базис подалгебры Лн ь(Х) алгебры А(Х). Показать (используя изоморфизм Н((.(Х))-»А(Х) и теорему Пуанкаре— УПРАЖНЕНИЯ 209 « Биркгофа — Витта), что элементы Лэ (йщН, пгмй!) лииейио иезависимы иад К. б) Если ш — целое число ~ О, обозначим через Еж подмодуль в А (Х) с базисом йэ для любого й<вН и любого лз ш. Показать, что Ем — подалгебра Лв в А(Х) и что если ащЕм о то аиепЕм(рассуждать ипдукцией по и, используя формулы Джекобсона; см.
гл. 1, з 1, упражиеиие !9), Вьшести отсюда, что Ем яе зависит от выбора Н и являетси подалгеброй Ли алгебры А(Х). порождеииой элементами хэ для любых х гмХ, «(т. в) Пусть Е, (Х, р) — объедвиепие Ет по всем т ~ О. Покааать, что Е(Х, р) является иаимеиьшей р-подалгеброй Ли алгебры А(Х), содержащей Х (см. гл. 1, $1, упражиеиие 20); в качестве ее базиса можио выбрать семейство ЬР для всех йщН, «щН. г) Пусть 0 (Е (Х, и)) — ограиичеииая универсальная обертывающая алгебра для Е(Х, и); см. упражиеиие 6 из $2 гл.!. Показать, что вложение Е (Х, р) в А (Х) продолжается до изоморфизма Ег (Е(Х, р)) иа А (Х). (Использовать теорему Пуанкаре — Бпркгофа — Витта, а также предыдущее угражиеиие.) Вывести отсюда, что Е (Х, р) являетси множеством примитивных алиментов иэ А(х); см.
и 1, унражнеиие 12. д) Пусть ! — отображение Х в иекоторую р-алгебру Ли О, Показать, что ! едипствеииым образом продолжаетси до р-гомоморфизма и: Е (Х, р)-»9, (Начать с продолжеиия ! до гомоморфяэма алгебры А (Х) и 00.) (р-алгебра !и Е(Х, р) называется свобод«од и-алгеброд Ли иад миожеством Х.) В последую«!ик упразгненияк буквой О обозначаегса группа. 1) Пусть (О„) — целочислеииая цептральиая фильтрация группы О. Показать, что алгебра Ли Ег(0) порождается йг, (6) тогда и только тогда, когда 0„=6«+,.С«0 для любого п~1.
Показать также, что в этом случае 0„=0м. С"6 для любого т>п, из чего вывести, что (О„) (С"6), если существует целое ш, такое, что 6„, =(е). 2) Пусть (О«) — веществеиная фильтрация иа группе 6 и о — соответствующая ей фуикция порядка. Пусть Н вЂ” подгруппа группы О, а) Пусть Й«НДО«.
Показать, что (Н«) — веществеииая фяльтрация иа Н и что соответствующаи ей фуикции порядка являетси ограиичеиием о на Н. Кроме того, Н«+ НПО«и йт(Н) мокло отождествить с градуироваииой подгруппой группы йт (6). б) Предположим, что Н вЂ” иормальиая подгруппа и что о(0) П В вЂ” дискретное подмножество в 1!. Положим (6)Н)«(0«Н)(Н. Показать, что ((0)Н) ) — иеществеииая фильтрация иа 6)Н и что соответствующая ей фуикцив порядка задается формулой опуи (к) ьпр о (у), эыэ Показать, что для любого а еи $~ точиа такая последовательиостгс 0-» пг«(Н) -» йг«(6) -» пг«(0)Н) -» О. в) Сохрапии посылки б), предположим также, что (О«) — центвазь«ол фильтрации. Показать, чтз таковы же тогда и фильтрации на Н и 6!Н, ипдуцироваииые (6«), й что алгебра Лп цг(0/Н) может быть отождествлеиэ с факгоралгеброй алгебры йт(6) по идеалу йг(Н).
ГЛ. И. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 2!О $3) Пусть (Н„) — вещественная фильтрация группы Н и о — соответствующая ей функция порядка. Предположим, что 6 действует слева на Н н что для любого ЕЛО отображение Ьр-эд(А) является автомор. физмом фильтрованной группы Н. а) Если аги)1, то через Оэ обозначим множество дрмО, таких, что ед(Ь 'к(й)))ем(Ь)+а для любого ЬрмН, Показать, что (О ) — вещественная фильтрация на 6 и что 6 =6, если а- 'Гь Обозначим через е соответствующую функцию порядка. б) Предположим, что фильтрация (Н ) центральна и что Ор = 6.
Показать, что (Ор) — центральная фильтрация на О. Если Врм цге (6) и т! рм пгр (Н), то рпусть д (соотв. А) — представитель 3 (соотв. ц) в Оо (соотв. Нр); показать, что образ Ь н(й) в иге+3(Н) не зависит от выбора я и л, обозначим его через 01(ц); показать, что 61 продолжается до дифференцировании степени в алгебры Лн цг(Н) и что $ь-ь61 — гомоыорфиэм алгебры Ли пг (6) в алгебру Ли дифференцирований алгебры цг(Н). Если и (Н)[)!( содержитси в некоторой дкскретиой подгруппе Гс:)(, то то же самое верно и для «(6)6Гс, а для любого арн !( отображение ьр-э Р!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
