Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Следовательно, й = Ц Е(ЗА) — подам! алгебра Ли алгебры Е(Х); имеем Я~й, откуда Е(5)сй, н так как Е(3ь)сЕ(5) для любого а~1, то йсЕ(Я). Поэтому Е(0,З.) - (.),Е(З.) (У) для любого возрастающего фильтрующегося семейства (5„), подмножеств из Х. Применяя предыдущее к семейству конечных подмножеств из Х,можно убедиться в том, что каждый элемент из Е(Х) имеет вид Р(х„,, „х„), где Р— многочлен Лн от я переменных и хь ..., х„— элементы из Х. Пнедложение 3. Пусть К' — ненулевое коммутативное кольцо и и: К вЂ” »К' — гомоморфизм колец. Для любого множества Х существует единстзенный гомоморфизм К'-алгебр Ли ш ЕА.(Х)ЭК'-+Ек'(Х).
такой, что о(хЭ1)=х для любого х~Х. Более того, о — ивом орфизм. Применяя предложение 1 к алгебре й=Ек (Х), рассматриваемой как К-алгебра Ли, и к отображению х» х множества Х в й, получим К-гомоморфизм Ек(Х)-»ЕА.(Х), индущ1- рующнй К'-гомоморфизм о' Ек (Х) Э К'-+ ЕА' (Х). Единственность о и то, что о — нзоморфизм, следует из того, что пара (Ек(Х) Э К', х»-»х Э 1) является решением той же универсальной задачи, что и пара (ЕА" (Х), х»-»х). Замечание. Пусть 5' — некоторая К'-алгебра Ли и 5— К-алгебра Ли, получающаяся нз нее сужением кольца скаляров.
Если РЕДЕА.(Х), то можно определить Р: ()х-»() (и'4). Очевидно тогда, что Р = (о (Р Э 1)) . 6. Градуировки Пусть б — коммутативный моноид, записываемый адаптивно. Обозначим через щ отображение Х в Ь и через ф — гомоморфизм свободного группоида М(Х) в Л, продолжающий ць. Для ГЛ. 11. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 142 любого Ьее/! пусть 1ЛЬА(Х) — подмодуль в 1ЛЬ(Х), базисом которого является подмножество «р-'(б) группоида М(Х).
Семейство (1.!Ьь(Х)) д является градуировкой алгебры 1ЛЬ(Х), т. е. 1.1Ь(Х) = ® 1ЛЬ (Х), (8) ь ь 1.1Ь'(Х). 1ЛЬ' (Х) с= 1ЛЬ + (Х) для 6, Ь' из а. (9) (А!д., сЬар. 1П, р. 31, ехетпр!е 3). Лемма 1. Идеал а из определения 1 градуирован. Для любых а, Ь из 1.!Ь(Х) положим В(а„Ь)=а.Ь+Ь.а. Формулы В(а, Ь) = Я(а+ Ь) — Я(а) — Я(Ь), (10) Я(/1«.э«+ ...
+/«„.э„)=~г' р««с(э«)+ х Х/А/В(э«, э/) (11) «(/ для любых эь ..., э„из М(Х) и 11, ..., 1„из К показывают, что семейства Я(а))„ыь«х1 и (Я(э), В(э, э'))„„...и,т поРождают один и тот же подмодуль модуля 1.1Ь(Х). Так как /' трилинейно, то идеал а порожден однородными элементами (;/(э), В(э, э') и У(э, э', э"), где э, э', э" — элементы из М (Х), а значит, градуирован (А!д., сЬар. Ш, р. 32, ргороз!!!Оп 1). Ч. Т. Д.
Наделим алгебру Ли /'.(Х) = !ЛЬ(Х)/а фактопградуировкой. Однородная компонента степени Ь алгебры В(Х) обозначается через 1.ь(Х); зто подмодуль в 1,(Х), порожденный образами элементов э ~ М (Х), таких, что «р(э) = Ь. Ыы будем использовать обычно два следующих частных случая: а) Моноградуировна. Положим Л = ««! и «рь(х) = 1 для любого х~ Х, откуда «р(э) =!(э), если э лежит в М(Х).
Пусть К-модуль 1."(Х) порожден образами элементов длины и в М(Х), которые мы будем называть одночленами (или коммутаторами, или альтернантами) степени и. Мы увидим позднее, что модуль /."(Х) свободен и обладает свободным базисом, состоящим из Одночленов степени и (и' 11, теорема 1). Имеем 1'. (Х) = 6-3 1,"(Х) в~! и 1.1(Х) обладает базисом Х (и'2, следствие 1 предложения 1). По построению М (Х) имеет место равенство к-1 Ь (Х) = 2. )1.'(Х), 1."-'(Х)) (12) и, в частности, (1. (Х), 1'."(Х)1 с= В"+" (Х).
(13) $ а своводные Алгевты ли 143 б) Полиградуировка. Выберем в качестве Л свободный коммутативный моноид Р(~ ' с множеством свободных образующих Х. |х| Отображение фь множества Х в Л определяется формулой (фа (х)) (х') = б»»ч где б»» — символ Кронекера. Для любого Гв ен М (Х) и любого х я Х целое число (ф (Гв)) (х) является |х| „числом вхождений буквы х в Гв". Для любого а из Р(~ положим $ а ! = Х а(х), откуда 3 ф (Ге) ~ =1(Гв), если |е принадлежит М (Х). »~х Выводим отсюда, что Ь"(Х) = ф Ь'(Х); |а|=а очевидно также, что 1Ь (Х), Ь" (Х)1~ Ь'+З(Х) для любых а, р из Р('х'. (15) Пиедложение 4.
Пусть 5 — подмножество в Х. Если отождествить Х1~~ с его каноническим образом в г)~~ (А1д., с(|ар. 1, р. 89), то Ь(5)= ~ Ь (Х). Более того, для любого а~11~~1 одноаен родная компонента степени а по отношению к полиградуировке Ь(5) равна Ь (Х). Пусть а~(2Р 1. Модуль Ь (5) порожден образами в Е(Х) элементов Гв из М(5), таких, что ф(Гв) =а, т. е. (А(д., с)|ар. 1, р. 91, 1огпш1ез (23) е1 (24)) множеством элементов Гв из М (Х), таких, что ф(Гв) = а. Следовательно, Ь (5) = Ь'(Х).
Отсюда и из соотношения Ь(5)= ~ Ь'(5) вытекает наше пред„|3| лож ение. ЕЯ5,) = П Е(51). Это вытекает из предложения 4 и очевидной формулы (16) й)1 '= Д й(( '), 1а1 (17) в которой нужно положить Следствие. Для любого семейства подмножеств (5,) множества Х выполняется соотношение ГЛ. и. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН 7. Нижний центральный ряд П~едложение 5.
Пусть й — алгебра Аи и Р— подмодуль в й. Определим подмодули Р„модуля й формулами Р, = Р и Р„ь,= =[Р, Р„1 при и) 1. Тогда [Р, Р„1 с=р +, н-1 Р„= ~ [Рр, Р„Р1 при п)2. (19) Докажем (18) индукцией по и. Случай л1 = 1 очевиден. Согласно тождеству Якоби, имеем [[Р, Р.1, Р.1 [Р., [Р, Р.И+ [Р, [Р., Р.И, т. е. [Р,,1, Р„[ ~ [Р, Р„+11 + [Р, [Р, РД. По предположению индукции [Р, Р„+,)с: Р ь„+, и [Р, Р„1~ с: Р т„, откуда [Р „Р1с:Р +„+1+[Р, Р +„1=Р +,+,. л-1 По формуле (18) имеем Р„=з ~„'[Рр, Р„р1 ~ [ЄЄ,1 = Р„, р=1 т. е. верно (19).
В случае когда Р й, последовательность (Р„) является нижним центральным рядом (Ж"й) алгебры й (гл. 1, 5 1, и' 5). Поэтому имеет место ПРедложение б. Пусть й — алгебра Ли и (У"й)„>1 — ее нижний центральный ряд. Тогда ~Ж 6, Ю"81с=%' +"й для 1п)! и п)1.
Обобщая определение 1 гл. 1, $4, и'1, назовем алгебру Ли й нильпотентной, если У"й = (О) для достаточно большого и. Назовем классом нильпотентности нильпотентной алгебры Ли й наименьшее целое п, такое, что Ж"~ й (О). ПРедложение 7. Пусть Х вЂ” множество, и пусть и — целое число ) 1. а) Ь"~ (Х)=(1. (Х), Ь" (Х)1. б) Модуль 1."(И) порожден элементами [х„[хм ..., [х„„ хР1 ° 11, где (хн ° ., х„) пробегает множество последовательностей из и элементов множества Х. в) Нижний центральный ряд алгебры 1. (Х) задается форму- (У" (1.
(Х)) = ~: 1.Р(Х). $ Ь СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН 145 а) Будем применять предложение 5 с й=Е(Х) и Р=Е'(Х). Индукцией по и выводим из (12) (и'6) и (19) равенство Р„ = Е (Х). Искомое соотношение эквивалентно тогда определению [Р, Рч]=Р„+и б) Это следует нз а) индукцией по и. в) Положим 8 Е(Х) и а„= Я ЕР(Х). Имеем й=й, и форр>а мула (13) из и'6 влечет за собой включение [й„, й ] с й„„ в частности, [а, йч] ~ й„чо ИндУкцией по и полУчаем, что Ю"8 ~ й„. Кроме того, из а) индукцией по и выводим, что Е" (Х) с= от а. Так как У а — идеал в 8, то вследствие а) соотношение ЕР(Х) с: У'й влечет за собой равенство 1."'(Х) = [Е'(Х), Е.'Х)1~ с= У"а.
Имеем, следовательно, ЕР (Х) ~ 1у"й для р) и, так что 8„~У"й. Следствие. Пусть 8 — алгебра Ли и (х,), — ее система образующих. В качестве системы образующих и-го члена (У"й ее нижнего Г4ентрального ряда как модуля можно выбрать систему коммутаторов вида [хгн [хс,, ..., [хг~ о х~Д ... 1], где р)п и 1„..., (р — индексы из 1.
Пусть 1 — гомоморфизм 1.(1) в а, такой, что 1(1) х, для любого 1~1. Так как (х,),, порождают й, то а 1(Е(1)), откуда 2Г"8 =)($'"(Е(1))) в силу предложения 4 гл. 1, $1, и'5. Следствие вытекает, таким образом, из утверждений б) и в) предложения 7. 8. Диффереицироваиия свободных алгебр гхи Пиедложение 8. Пусть Х вЂ” множество, М вЂ” произвольный Е(Х)-модуль и а' — отображение Х в М. Существует единственное линейное отображение Е) алгебры Е (Х) в М, продолжающее й и удовлетворяющее соотношению П([а, а'])=а.В(а') — а'.Й(а) для любых а, а' из Е(Х).
(20) Определим, структуру алгебры Лн й на модуле МХ Е(Х) введением коммутатора по формуле [(т, а), (т', а')] = (а. т' — а,'т, [а, а'] ), (2!) где а, а' из Е (Х) и т, т' из М (гл. 1, $ 1, и'8). Пусть 1 — гомоморфизм Е(Х) в й, такой, что 1(х)=(й(х), х) для любого х из Х; положим )(а)=(Р(а), и(а)) для любого а из Е(Х). По формуле (21) и является гомоморфизмом Е(Х) в себя; так как и(х) =х для х из Х, то и(а)=а для любого а из Е(х), откуда 1 (а) = (А' (а), а). (22) гл. и. своводныв ллгввгы ли Согласно формулам (21) и (22), соотношение (20) вытекает из того, что 1((а, а'))=У(а) 1(а')).
Обратно, пусть Р' — отображение Ь(Х) в М, удовлетворяющее соотношению (20'), аналогичному (20), и продолжающее А Положим Г(а)=(Р'(а), а) для любого а~ А(Х); по формулам (20') и (21) [' — гомоморфизм Е(Х) в 9, совпадающий с [ на Х, откуда 1=1' и Р'=Р. Слвдствив. Любое отображение Х в А (Х) продолжается единственным образом до дифференцирования алгебры Ь(Х).
В случае, когда М совпадает с модулем А(Х) относительно присоединенного представления, соотношение (20) означает, что Р†дифференцирован. У. Теорема об искяючении Пнвдложвнив 9. Пусть 5, и 5г — два непересекающихся подмножества и Ы вЂ” отображение 5, )~ 5э в Е(5г). Пусть 9 — алгебра Ли, являющаяся факторалгеброб алгебры (, (5, () 5т) по идеалу, порожденному элементами [зь зД вЂ” Ы(зь зг), где з, ~ 5,, зэ ен 5э; пусть Ф вЂ” каноническое отображение ь (5, () 5э) на 9.
а) При 1=1, 2 ограничение Ф, отображения ф на 5; продолжается до изоморфизма алгебры 1. (5,) на подалгебру а~ алгебры 9. б) 9=а, + ам а,() аз=(0) и аэ — идеал в 9. При 1=1, 2 обозначим через ф, гомоморфизм алгебры Ь(5;) в 9, продолжающий Фн н через а,— его образ. Ясно, что Ф;(5,) порождают ар Пусть з, ен 50 положим Р=адФ,(з1). Вследствие соотношения [Ф1(зв)> Фэ(зг)3 = фь(сЕ(зю> зг)) для любого зэен 5г дифференцирование Р алгебры 9 отображает Ф2(5) в а; так как подалгебра аэ алгебры 9 порождена Ф~(5г), то Р(аг) ~ а,. Множество хен9, обладающих тем свойством, что аэ устойчива относительно абх, является подалгеброй в 9, содержащей по предыдущему Ф,(5,), а значит, и а,. Таким образом, [аь аг')с= а,.
(23) Поэтому а, + а~ — подалгебра в 9, и так как оиа содержит множество образующих ф1(51)()Фг(52), то а, +а =9. (24) для любого з еи5 существует дифференцирование Рз, алгебры Р(5г), такое, что Рз,(з,)=д(зь з2) для любого зь з 5 (и'8, следствие предложения 8). Отображение з,>-тРз, продол- э з з. своводные длгнвры ли 147 жается до гомоморфизма 0 алгебры 1.(5,) в алгебру Ли диф- ференцирований алгебры 1,(5з). Пусть () — полупрямое произве- дение Ь(5,) и Ь(5,), соответствующее В (гл. 1, $1, и'8). Как модуль р равен Ь(5,)91,(5з) и, в частности, [(з„О), (О, з,)]=(0, а(зь зэ)) (25) для любых з, я5, и за~ 5,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
