Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(с 132 Гл. и. сВОБОдные алгезгы лн Замечания. 1) У„= Х У' (гл. 1, 5 2, и' 7, следствие 4 теом-о ремы 1). 2) Отображение т1 — единственный морфнзм градуированных коалгебр 8(3) в У, при котором ч)(1)=1 и т1(х) а(х) для любого хеи 3. В самом деле, если ч)' удовлетворяет этим условиям, то нндукцией по н покажем, что и' (х") = т) (х") для х еи 3 !!-! н и>1. Так как, согласно (3) и (11), сз+(х")= ) („)х!Эх"-!, ! ! то (ч)!Э ч))(се+(х")) (т)'Э т)')(с+(х")) по пРедположению индУкции. Отсюда следует тогда, что с" (ч)(х ))=с+(т1'(х")); поэтому т) (х") — т)'(х') — примитивный элемент степени и, а значит — нуль (следствие предложения 9).
3) Пусть ф — канонический изоморфизм бналгебры Т8(3) на биалгебру 8(3) (А1п., СЬар. ЪЧ, $5, сого11а(ге 1 бе 1е ргороз!- 11оп 12). Отображение Ч ф: Т8(3) У называется каноническим. Это единственный морфизм ч)' градуированных коалгебр Т8(3) в У, такой, что т1'(1)=1 и т1'(х)=а(х) для любого х~ 3. 4) Пусть à — векторное пространство. Примитивные элементы биалгебры 8(Ч) являются элементами первой степени. Это вытекает из следствия предложения 9, примененного к коммутативной алгебре Ли 1~.
Пусть (е!), т — бааис векторного пространства над К алгебры 3, где множество индексов 1 вполне упорядочено. Для любого а ен Ха! положим )а (!) !~! Элементы е при ~ а!((н образуют базис векторного пространства У„над К (гл. 1, $2, и'7, следствие 3 теоремы 1). Имеем е, 1, е„=а(е,) для любого 1ЕЕ1. Так как градуированная алгебра, ассоциированная е фильтрованной алгеброй У, коммутативна (там же, теорема 1), то для любых а, р из !(<!! е,. ее=((а, р)).е,+аптод. У!,!+!Е! !, (14) где р! П !,Нх!~~~ !а! $ ь оввгтывкюшкя виклгввок Алгввоы лн С другой стороны, з(еь) = 1, е (е„) = О для [ а [ в 1. (15) Наконец, согласно формуле (12), для любого а свого имеем с (е,) Я ез Э ет (16) в+т В Эта формула позволяет определить алгебру У' Нот(У, К), дуальную к коалгебре У (А1б., спар.
1П, р. !43). Пусть К [[ХД),, — алгебра формальных степенных рядов от перемен- ных (Х),, (см. А1б., свар. П1, р. 28); если Лен У', то обо- значим через )х формальный ряд 1г„—— ,1'(Л, е,)Х', где Х'= Ц Х7'", Гх = Е (Л4в, е,) Х' = 1'" (Л Э и, с (е,)) Х' =Х!Л Э Р л' ез Эет) Х' (по фоРмУле (16))= ь 1 а+т к =~,(Л; еа)(и, е„) Х~~"=Я„, т. е. Л~ — »~„— изоморфизм алгебр, что и требовалось доказать. б. Структура фильтрованных биалгебр в случае характери- стики О В этом пункте мы продолжаем предполагать, что К вЂ” поле характеристики О. Если Š— бналгебра, то каноническое вложение Р(Е) -» Е продолжается до морфизма биалгебр[я: У(Р(Е)) — Е (и' 4, предложение 8). Твогвмл 1.
Пусть Š— кокоммутативная биалгебра. а) Морфизм биалгебр )е: У(Р(Е)1-» Е инъективен. б) Если на Е суи(ествует фильтрация, совместимая со структурой биалгебры (и'2, определение 2), то морфизм 1з — изоморфизм. а индекс суммирования а пробегает множество Х">. Пгвдложнния 1О. Отображение Л»-» [„ является изоморфизмом алгебры У' на алгебру формальяых степенных рядов К [ [ХД )г Так как (е,) — базис У, отображение Л»-» [„ является К.линейным и биективным. С другой стороны, для любых Л, и из У' имеем 134 ГЛ. 11. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ (В случае б) биалгебра Е отождествляется, следовательно, с обертывающей биалгеброй алгебры Ли своих примитивных элементов.) ПУсть сз (соотв.
Бл) — копРоизвеДение (соотв. коеДиниЦа) биалгебры Е. Положим й = Р(Е); пусть(е,),,— базис векторного пространства 8 над полем К, где множество индексов 1 совершенно упорядочено, и пусть (е„) нш — базис в У(8), введенный в пред- шествующем пункте. положим х,=тз(е,) для любого аеи Р)1'1. По формулам (15) и (16) имеем Бг(Хе)=1, ез(Х„)=0 для ! а!) 1, (17) сг(Х„)= ~„ХБ Э Х„для ае=в) (18) а+т а так как )г — морфизм коалгебр. Покажем, что 1з инъективен. Это вытекает из следующей леммы; Лемма 2. Пусть 11 — векторное пространство, Š— коалгебра, )': 8()т)- Š— морфием коалгебр. Если ограничение1 на 8ь()т)+ + 81(У) инъективно, то инъективен и морфием 1. Пусть п~)0; положим 8„= ~' 8 (У), сз — копронзведенне 1~и в 8(У), и покажем индукцией по и, что 1 ~8„инъективно.
Так как утверждение тривиально для Л=О и п=1, то предположим, что и) 2 н что иен 8„— элемент, для которого 1(и) =О. Имеем 0 = се (! (и)) = (1' З 1) (сз (и)) = = ) (и) Э 1 + 1 Э 1и (и) + (! Э1) (сзе (и)) = (1и З 1и) (сз+ (и)). Так как с+ (и) ен 8„, Э 8„,, то по формуле (11) и предположе- нию индукции и — примитивный элемент в 8()т), т.
е. элемент степени 1 (и'5, замечание 4), а значит, — нуль, ибо ! 181(ъ'» инъективно. Отсюда следует, в частности, что семейство (Х ) свободно. Покажем, что морфизм 1з сюръективен, сели Е обладает фильтрацией, совместимой со структурой биалгебры. Пусть (Е„)„>ь — такая фильтрация; положим Е+=Е„ПКег(ае). Ин- дукцией по и покажем, что Е„+содержится в образе 1е. Так как Е=К.1+ () Е„+, то из этого будет следовать сюръектнв- иРО ность 1з. Утверждение тривиально при п = 0 и вытекает из следствия предложения 6 из и' 3 при п= 1; будем предпола- гать теперь, что и )2 и что х еп Е+. Согласно предложению 6 из и'3, и-1 сл (х)ен 2,Е1+ ЭЕ,+1.
1 ! $ Ь ОБЕРТЫБАЮЩАЯ БИАЛГЬБРА АЛГЕБРЫ ЛИ 1ЗБ По предположению индукции существуют скаляры Х,Б для а, В из Рр ~, равные нулю почти для всех номеров и такие, что СВ+ (Х)= Х Х~,БХаЭ ХЗ. (19) ,Б О По формуле (18) имеем: (св Э Ие)(с+ (х))= Х, Х,+Б Х, Э Х Э Х, а, Б, »»аа (!Г(е Э се) (се (х)) ~-" Аа Б+»Ха Э ХБ Э Х . а, Б. »»аа По предложению 3 и' 1 и вследствие линейной независимости Ха имеем Аа+Б, =1~а +„для любых а, (), у из Р(ю — (О).
-(20) Кроме того, копроизведение св кокоммутативно; рассуждение, аналогичное приведенному выше, влечет за собой равенство а„, =ЛБ,, для любых а, (1 из 1»(и~ — (О). (21) Предположим, что существует семейство скаляров (и ) при ~а~ -2, такое, что ра+ =Аа, для любых а, 8 из 1»Р ~ — (О). (22) Тогда вследствие формулы (18) имеем СВ (Х) ~ Ра+БХа Э ХБ ~~ 1А ~СЕ~ (Х»)~ аз~а а+Б " Б ~ИМ " В поэтому у=х — С„1А Х» примитивен, а значит, принадлежит !»!Р~»»» Р(Е) ~1т Ь. Отсюда х=У+ ~ Р 1в(е,)~1т(в.
1»1~2 Доказательство будет, таким образом, завершено, если мы докажем следующую лемму: Лемма 3. Если семейство скаляров (Х~, ) с конечным носителем (а, 8 из РРЛ вЂ” (0)) удовлетворяет условиям (20) и (21), то существует семейство (ра),,> скаляров с конечным носителем, такое, что 1Аа+Б =Ха,з ЛРй а, Р, не Равных нУлю. Достаточно доказать, что а + р =- у + б ГЛ. !!.
СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН влечет за собой Аа,з — — Ат,з при а, р, у, 6, отличных от нуля. По лемме Рисса о разложении (Алг., гл. 1Ч, и 10, теорема 1) существуют и, р, о и т из 1Ч, такие, что (!) а=и+о„р=р+т, у=и+ р, б=о+т. Предположим, что ЛФО; так как о+р=р+6, то соотношение (20) влечет за собой йа.з = !а+а,а = за.а+а= 1!а.р+Б = 1!а+р.з = ат,з Если же и=О, то р=у+т и б=а+т, откуда Да,„-1а,т+, — Да+от — — Ь,,„ согласно (20), но так как 1!е, т — — Ат, Б по формуле (21), то А .З=ат,Ь 5 2. Свободные алгебры Лн 1.
Напоминание о воободиыл алввбрах Пусть Х вЂ” множество. Напомним конструкцию свободного группоида М(Х) над Х (А1д., сйар. 1, р. 77). Индукцией по и) 1 определим множества Х„, полагая Х, =Х и беря в качестве Х объединение множеств Хр К Х„р для р= 1, 2, ..., л — 1; если Х конечно, то конечно и Х, для любого и, Объединение семейства (Ха)„>! обозначается через М (Х); каждое из множеств Х„.
(и, в частности, Х) отождествляется с подмножеством в М(Х). Пусть и и и' — элементы из М (Х); обозначим через р и б целые числа, такие, что и а Хр и и' енХа, и положим л = р+ д; образ пары (и, и') при каноническом вложении Хр Р',Х„в Х„обозначается через и. и' и называется произведейием и и !о'. Любое отображение Х в группоид М продолжается единственным способом до гомоморфизма группоидов М(Х) в М. Пусть и — элемент из М (Х); единственное целое число л, такое, что и ~ Х„, называется длиной и и обозначается через 1(и). Имеем 1(и.
и') =1(и)+1(и') для любых и, и' из М (Х). Множество Х является подмножеством в М(Х), состоящим из элементов длины 1. Любой элемент и длины) 2 единственным образом записывается в виде и и'. и", Алгебра группоида М(Х) с коэффициентами в кольце К обозначается через 11Ь(Х), или 1!Ьх (Х), если есть необходимость уточнить кольцо К. Множество М (Х) является базисом К-модуля Е1Ь(Х), и Х, таким образом, отождествляется с подмножеством в 11Ь(Х). Если А — алгебра, то любое отображение Х в А продолжается единственным способом до гомоморфизма Е1Ь(Х) в А (А1д., сйар. П1, р. 22, ргороз1(юп 7). З в своводныв»лгввты ли !зт 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
