Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Показать, что для всякого хемй справедливы равенства )(х)=р(х), д(х) й(х). УПРАЖНЕНИЯ Чзз б) Предположим, что 3 коиечномерна. Пусть 6 — комплексная одиосвязная группа Ли с алгеброй Ли 3, Пусть 6 — сопряженная к ней комплексная группа Ли, Оэ — нижележащая вещественная группа Ли. Тогда С(0) =й, Л(О,) йэ. Пусть М (соотв. Н) — комплексная односвязная группа Ли с алгеброй Ли ш (соотв и). Тогда 1 определяет нзоморфизм <р из 6 на М, (Г определяет нзоморфизм у из 0 на Н и комплексная односвязная группа Ли 0', отвечающая алгебре Ли й', отождествляется с М Х Н. Показать, что вещественная интегральная подгруппа в 0' с алгеброй Лн 3, замкнута, односвяэна и отождествляется с Оэ.
Ограничение на 0 г= М Х Н проекции рг, (соотв. рг,) совпадает с изоморфиэмом ~р (соотв. 7) из 6 (соотв. О) на М (гоств. Ф). в) Вывести из б) и замечания 2 и'!О, что группа О' вместе с канонической инъекцией из Од в О' является универсальной комплексифякацией группы Оэ.
г) Пусть Н вЂ” некоторая комплексная связная группа Ли с алгеброй Лн 3, Н вЂ” сопряженная к ней комплексная группа Ли, Н, — нижележащая вещественная группа Ли, так что О есть универсальная накрывающая группы Н. Пусть К вЂ” (дискретное) ядро канонического морфиэма из 0 на Н. Показать, " что К вЂ” центральная подгруппа в 0', Каноническая инъекция группы 67 в 0' определяет, стало быть, инъекцию г группы Н, в 0'/К. Показать, что (О /К, 1) есть универсальная комплексификация группы Н,. (Заметить, что эта пара обладает свойством универсалыюсти предложения 20.) д) Положим О'(К= (На) .
Получить из г) канонический морфизм ф из (Н,) на Н Х 77, являющийся накрытием. Показать на примере группы Н=С', что ф, вообще говоря, ие обизательно является иэоморфнзмом. 17) а) Пусть О, 6, О, такие, как в упражнении 1бб). Пусть У вЂ” конечиомерное комплексное векторное пространство, р — неприводимое линейное представление группы Оь в У. Показать, что существуют конечномерные комплексные векторные пространства Х, у, непрнводнмое линейное аналитическое представление о (соотв. ч) группы 0 (соотв. О) в Х (соотв.
У) в изоморфизм из У на Х® у, преобразующий р в о® т. (Применить упражнение 1ба), предложение 2 гл. 1, э 2, и Алг., гл, ЧП1, э 7, и'7, следствие предложения 8.) б) Показать, что заключение п. а) может стать несправедливым, если опустить предположение об односвяэности группы 6. (Рассмотреть комплексную группу Лн С'.) 13) Пусть А — комплексная коммутативная связная конечномарная группа Ли с алгеброй Ли а; пусть Л вЂ” ядро отображения ехр, так что А отожда- А' ствляется с а)й. а) Следующие условия эквивалентны: а1) Каноническое отображение С 19 Л-ьо инъекгивно а2) А изоморфна некоторой подгруппе Ли в (С")".
а3) А иаоморфна (С')э Х Сч. а4) А обладает точным конечномерным комплексным линейным представлением. аб) А обладает конечномерным комплексным линейным представлением, которое точно, полупросто и имеет замкнутый образ. б) Следующие условия эквивалентны: б1) Каноническое отображение С ® Л-ьа сюръективно. б2) А нзоморфна факторгруппе группы Ли (С')".
бЗ) Никакая подгруппа Ли в А, являющаяси прямым слагаемым, не изоыорфна С. бч) Всякое комплексное линейное представление группы А нолупросто. в) Следующие условия эквивалентны: в1) Каноническое отображение С ®д Л-э а биективно. ГЛ, ПД ГРУППЫ ЛИ в2) А изоморфна (С')". г) Пусть Р— конечная подгруппа в А и А'=А/Р. Показать, что А удовлетворяет условиям а! (соотв. О,.), в,)) тогда и только тогда, когда этим ' условиям удовлетворяет А'.
19) Пусть Π— вещественная группа Лн. Показать, что существует окрест вость г' элемента 0 в Е (6). такая, что для х, у иэ )) дл ехр(1(х+у)) = 1пп (ехр — ехр — и1, л-»+ ь л л3' 1Х !У вЂ” гх — 1у Тли ехр (В (х у) ) = 1!т 1уехр — ° ехр — ехр †. ехр л»+ ~ и л л и равномерно по гщ (О, 1). 20) Пусть Π— группа Ли, Н вЂ” подгруппа Лн в О, А — интегральная подгруппа в О. такие. что Ь(Н)ДЬ(А) =(0). Показать, что Н()А днскретнв в группе Ли А. 2!) Пусть Π— вещественная группа Ли, Н вЂ” нормальная интегральная подгруппа размерности 1. а) Если Н не замкнута, то Н компактна (Слехгр. теор„ гл.
11, й 2, лемма 1), значит, изоморфна Т", а потому центральнц если 6 связиа (применить Общ. гол., 1969, гл. ЧП, й 2, прелложение 5). б) Предположим, что Н замкнута. Пусть а — элемент иэ 6, С (а) — множество перествювочных с а элементов из 6. Предположим, что Н СП С (и). Если Н изоморфна К, то С (а)ДН (е). (Рассмотреть автоморфнзм а: Ьг-»а-1йа группы Н.) Если Н изоморфна Т, то С (а)()Н состоит нз двух элементов. (Снова рассмотреть а и применить Общ. гал., !969, гл. Ч1[, $2, предложение 6.) Этот последний случай 1.евозможен, если 6 связна (использовать а)). в) В предположениях п. б) допустим, кроме того, что 0(Н коммутативна Тогда О=С(а).Н.
(Заметить, что отображение Ь»-»И а(Ь) из Н в Н сюръективио.) 22) Пусть 6 — вещественная группа Ли, Н вЂ” нормальная интегральнаа подгруппа размерности 1, А — замкнутая подгруппа в О, такая, что АН не замкнута в О. Тогда Н пентральна в компоненте единицы группы АН,(Свести все к случаю, когда 6 = АН и О свнэна.
Тогда множество В элементов из А, перестановочиых с элементами подгруппы Н, является нормальной подгруппой в 6. Факторизуя по В, свести все к случаю, когда В = (е). Поскольку всикнй комйутатор в 6 перестановочен с элементами нз Н, группа А в этом случае коммутативна. Считая Н замкнутой н используя упражнение 21в), показать, что АН будет замкнутой, т. е. получить противоречие.
Стало быть„ Н ие замкнута; применить упражнение 21а).) $ 23) Пусть Π— вещественная группа Ли и с = (У, 1р, Е) — карта много образна О, центрнрованная в единичном элементе е. Если к щ У, обозначим через | х ), норму элемента ф (х) в банаховом пространстве Е. а) Показать, что если с' (У', ф', Е') — другая карта, центрированная в е, то существуют константы л > 0 и )ь > О, такие, что р(х) ~(х)„ «,)1(к! для любого х гм 6, достаточно близкого к е.
б) Показать, что для всякого р > 0 существует окрестность УР элемента а, содержащаяся в У и такая, что для х, у из Ур имеем (х, у) еи Уа м ((х у) (а ~ р ° 1п1 ( ! х )с. (у (и) УПРАЖНЕНИЯ в) Предположим, что С конечномерна. Пусть à — дискретная подгруппа и С, Применим б) с таким р, что О ( р (1, и выберем Ор относительно компактной. Множество НрПГ конечно.
Пусть (=у уь" у) — его элементы, занумерованные так, что ( уз 1а <! у! 1с < . ~ ) у ) Показать, что если (~лг и (~т, то коммутатор (у., у ) равен одному из ц / элементов Тз, где й (1п1(1, 1). Вывестн отсюда, что подгруппа, порожденная мнолсеством ОРПГ, является нильпотентной группой класса ~ш. Доказать с помощью изложенного выше существование такой окрестности У элемента е, что для всякой дискретной подгруппы Г в С существует ннльпотентиая интегральная подгруппа Н в О. содержащая У 6Г. г) Предположим, что О связка, конечномерна и содержит возрастающую последовательность дискретных подгрупп Дю объединение которых плотно в С.
Тогда О нильпотентна. (С помощью в) доказать существование одиопараметрической центральной подгруппы Н, пересекающей Да в некоторой точке, отличной от е, коль скоро н достаточно велико. Провести индукцию по д!шС, различая два случая в соответствии с тем, замкнута Н илн относительно компактна (упражнение 2!а)) .) 24) Пусть С, С' — вещественные конечиомерные группы Лн, ( — сюръектнвный морфизм нз С в С', Н вЂ” его ядро, Н вЂ” интегральная подгруппа э О и Н'=((Н). а) Предположим, что Н конечно.
Для замкнутости Н' необходимо и достаточно, чтобы Н была замкнута. б) Предпопожим, что Н компактно. Если Н замкнута, то Н' замкнута. $25) Пусть Π— вещественная нлн комплексная конечномерная группа Ли. Пусть Вг=Е(6). Предположим, что В(6), нак алгебра Ли, порождается множеством В н что В устойчиво относительно гомотетнй, а) Пусть Н вЂ” подгруппа в О, порожденная множеством ехр 8. Показать, что Н открыта в О.
(Пусть А — мнонсество таких к ~ й (6), что ехр (Кх) г=. Н, н  — векторное подпространство в В(С), поронсдениое множеством А. Показать, что [А, В) г= А, а затем, что (А, А) ~ В:Вывести отсюда, что В есть подалгебра в ). (6) и йрименить далее предложение 3 $4.); б) Предположим, кроме того, что (кем В н у~ В)=)ь((Аб ехрк) (у) ~Ю). Тогда 'векторное подпростраиство У в В(6), порожденное множеством 8, совпадает с Е(6). (Используя а), показать, что (й (6), У) ~ У.) 26) Пусть С вЂ” комплексная компактная связная группа Ли размерности и, Х вЂ” комплексно-аналитическое связное конечномерное многообразие, (у, х) ь — ~ ух — закон аналитического левого действия группы С на Х.
Для всякого у ем О пусть р(д) — отображение к ь — ь ух из Х в Х. Предположим, что пля всякого д ~ 6, отличного от е, р(д) ~ 14 . Тогда всякая орбита группы С в Х является замкнутым подмногообразнем в Х размерности л. (Пусть к — точка иэ Х, Н вЂ” ее -стабилизатор, Н' — компонента единицы группы Н. Для всякого у ем Н' обозначим через и (д) касательное отображение к р(у) в к. Рассуждая так же, кан в доказательстве предложения 6 п'3, показать, что и (у) — тождественное отображение для всяхого у гмН'.
Используя упражнение 4 $1 н связность многообразия Х, вывести отсюда, что Н' =(е).) ГЛ. П1, ГРУППЫ ЛИ 436 'Ц 27) Пусть О-вещественнзя компактная группа Ля, М вЂ” компактное многообразие клзсоа С', Х вЂ” открытый интервал в )(, содержащий О. Пусть, (з, (х, $)) 1-ь(тэ(з,х),$) — отображение класса С' нз 6 Х (М )4/) в М >(/, посредством которого 0 действует слева на М К /. а) Пусть Х вЂ” векторное ноле класса С' нэ М )( Л такое, что для всякого (х, 3)1м М )с У проекция вектора Х1х 1! на второй сомиожйтель есть касательный к l вектор 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
