Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 103
Текст из файла (страница 103)
584 †6), он ') Этя коммутаторы возяикали уже в теория Якоби — Клебща „полных еястем" дифферевцяальяых уравнений с частвымя производяымя первого порядка Х)1 О (! ~(! ~г). Последнее пояятяе эквивалеятво пояятию „вползи иятегрируемой системы" фробеяиуса. фувдамеятальиая теорема (равиосвльяая „теореме Фробеяиуса"), характеризующая эти системы, состоит в том, что коммутаторы (Х!, Х)] должны быть линейными комбииациями (с переменными коэффициеятамя) операторов Хм ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1 — П1 458 отправляется от „непрерывной группы" преобразований над л переменными к!=! (х„..., х„, а„..., а,) (1<1<п), (4) эффективно') зависящих от г параметров а„..., а,. Он замечает, что если преобразование (4) становится тождественным преобразованием для значений ае... „ао параметров з), то члены первого порядка разложения в ряд Тейлора функций )~(~р х, ~~+~р ..
а".+Е,)= г =х, + ~',БЛАХА!(х„..., х„)+ ... (1~1-"=п) (б) Ь 1 определяют следунпцее бесконечно малое преобразование „общего вида", линейно зависящее от г параметров г!! / г в*,=(ь*,г„ьн....*.1)л О<~< ь (е1 З-1 Действуя, как в своем совместном с Клейном мемуаре, Ли интегрирует дифференциальную систему = с[1, (7) зэХА! (11,..., 1 ) ) заХа (1Р ..., 1 ) Чта ДаЕт ЕМУ ДЛЯ ВСЯКОЙ ТОЧКИ (го ..., Ег) ОДНОПаРаМЕтРИЧЕ- скую группу [ь-Рх',.=д!(х1,..., х, гп ..., г„[) (1(~1~4п), (8) такую, что д! (х„..., х„, г„..., г„О) = х, для всякого 1. Искусным приемом, используя тот факт, что преобразования (4) образуют множество, устойчивое относительно композиции, он показывает, что однопараметрическая группа (8) является под- ') ли понимает под этим следующее: функции 11 нельзя выразить посредством меньшего, чем г, числа некоторых функций от параметров а!! другая формулировка: якобнева матрица (д[!!дя ) имеет ранг г в точках „общего положения".
') В первых своих заметках Ли полагает, что умеет доказывать о рг!аг! существование тождественного преобразования н обратных элементов во всяком множестве преобразований [4), устойчивом относительно композиции. Впоследствии он признает, что его доказательство было некорректно, и Вигель представил ему контрпример. привеценный в [1)Г, т.
1, $441. Тем не менее Ли показывает, как принодить непрерывные" системы [4), устойчивые относительно композиции, к групускулам преобразований: такая система имеет зид зт Ь, где Π— некоторая групускула преобразова ний и Н вЂ” некоторое преобравование системы 11У, т. 1, теорема 2б, стр. 188; т.
3, теорема 46, стр. 8721. истОРическии ОчеРК К ГлАВАм / — ги группой данной группы [111, /1)1. Новая идея, ключевая ко всей теории, состоит в том, чтобы продолжить разложения Тейлора функций (4) до членов второго порядка. Ход рассуждений Ли выглядит довольно смутным и эвристическим ((Ш, й)) и (П!, т. 5, стр. 600 — 601) ); его можно представить в следующем виде.
Для достаточно малых г/ в (8) можно подставить /= 1, и мы получаем таким способом новые параметры ги ..., г, для преобразований группы (по сути дела, здесь впервые возникают „канонические параметры"), По определению, в силу (7) ад, -В; — — — т гдХА/(хи ..., хл), откуда д,/ аХы л л д* ( '''' ) l ~( '''"*))' д что дает к - *, -~ (А, *,х„ л„ .... *.~) г -~ + ~ ~ гдгд В„(ХИ ° ° ° ю Хл)ХА/(ХИ ° ° 1 Хл) / + ~д,д,/ Ъ/ откуда при /=1 получаем разложения Тейлора по параметрам г/.' 1 тт-л дХ х,=х, + ~ гдХы + — ~ гдгдХА/ в + ...
(9) (1~/~(п). Запишем соотношения между векторами Х = (ХИ ..., Хл), Х' = (Х'И..., Х'„), г = (гп ..., г,) кратко в виде х'=6(х, г); фундаментальное свойство множества этих преобразований, замкнутость относительно композиции„ записывается в виде 6(6(х, и), о)=6(х, Н(и, о)), (10) где Н=(Н„.. „Н,) не зависит от х. Немедленно получаетсж Н(и, О) =и, Н(0, о) =о, откуда следуют разложения Н, (и, о) и, + о, + — т с„ди,рд+ ..., 1 тл (11) ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ! — ГП где невыписанные члены уже не линейны по и или по о. Пре- Образуя (!0) с помощью (9) и (11), затем сравнивая члены, со- держащие иьоь, в обеих ча тях равенства, Лн получает соот- ношения дХА дК!.,! ~ У ! ю-! (! < /ф, й ( т, ! <~ ! < и).
(!2) Опыт в теории уравнений с частными производными побуждает его записать (12) в более простой форме: руководствуясь примером формулы (1), он сопоставляет с каждым из т бесконечно малых преобразований, получающимся при подстановке еь — — 1, еь=0 при й Ф й в (6), дифференциальный оператор ААЩ=~ХА! — д' д! (13) ! ! и переписывает соотношения (12) в виде [Аь, Аь) =2 си„Ап Е (14) Эта формула — краеугольный камень его теории. До сих пор Ли употреблял термины „бесконечно малое преобразование" и „инфинитезимальное преобразование" как равноправные (см., например, [!П, с))); простота соотношений (14) склоняет его теперь назвать оператор (13) „символом" гнриннтезимального преобразования а!х! = Хы с(! (1 ( ! ( и), и очень скоро именно оператор (13) он назовет инфинитезимальным преобразованием ([И1, е)[ и [П1, т. 5, стр.
589]). Он осознает тогда тесные связи, объединяющие теорию „непрерывных групп" с его предыдущими исследованиями по контактным преобразованиям и уравнениям с частными производными. Сближение этих теорий наполняет Ли энтузиазмом: „Мои старые работы были, если можно так сказать, заранее готовы составить основу новой теории групп преобразований", — пишет .он Майеру в !874 г. [1П, т. 5, стр.
5861, В последующие годы Ли продолжает изучение групп преобразований. Кроме общих теорем, которые резюмированы ниже .(з 1П), он получает некоторое число более частных результатов: нахождение групп преобразований прямой и плоскости, подгрупп малой размерности в проективных группах, групп, зависящих не более чем от 6 параметров, и т, д. Тем нв менее он не оставляет занятий дифференциальными уравнениями. В самом деле, кажется даже, что с его точки зрения теория групп преобразований должна была стать средством интегрирования диффе- истогически)г ОчеРк к ГлАЕАм ! — гы 46 У репциальных уравнений, причем группа преобразований играла бы ту же роль, что группа Галуа алгебраического уравнения ').
Отметим, что зги исследования Ли приводят его также к введению некоторых множеств преобразований, зависящих от бесконечного числа параметров, которые он называет „бесконечными непрерывными группами" з). Термин „конечные непрерывные группы" он резервирует для групп преобразований, зависящих от конечного числа параметров типа (4). П1. „Словарь": группы Ли — алгебры Ли Теория „конечных непрерывных" групп, развиваемая Лга в многочисленных мемуарах начиная с 1874 г., систематически излагается во внушительном трактате „Т)!еог!е бег Тгапз1оппаПопздгцрреп ([1Ч), 1888 — 1898 гг.), написанном в сотрудничествес Энгелем' ); она составляет предмет первого тома и пяти по- следних глав 'третьего, в то время как второй том посвящеж контактным преобразованиям.
Как следует из заглавия итого труда, речь в нем всюду идет только о группах преобразований в смысле уравнений (4)„ где пространство «переменных» х! и пространство а! „параметров" играют вначале одинаково важную роль. Впрочем, идеи „абстрактной" группы в зто время не была ясно выделена в самостоятельное понятие. Когда в 1883 г. 1П1, д)] Ли замечает, что (в обозначениях формулы (10)) уравнение ти = Н (и, о), задающее параметры композиции двух преобразований из группы, определяет новую группу, то он рассматривает ее как группу преобразований пространства параметров и называет ее „группой параметров" (он получает таким путем даже две группы, яляющиеся не чем иным, как группами левых и правых сдвигов соответственно ').
') Эти исследования оказали лншь небольшое влияние на общую теории» дифференциальных уравнений, ибо группа автоморфизмов дифференциального уравнения, как правило, тривиальна. Зато для некоторых типов уравнений, например линейных уравнений, интересные результаты были получены позднее Пикаром, Вессио, а несколько позднее Рнттом и Колчином. з) Теперь они называются „псевдогруппами Ли"; их не следует путать с „банаховымн" группами Лн, определеннмми в настоящей книге. з) С 1886 по 1898 г.
Ли возглавлил в Лейпциге кафедру, покинутую Клейном, и Энгель был его ассистентом. Это обстоятельство содействовалгь зарождению активной математической школы, а также широкому ознакомлени!о с идеями Ли, до того (довольно мало известными (в особенности по той причине, что первые его мемуары были написаны чаще всего по-норвежски и опубликованы в Отчетах Академяи Христиании, журнале, мало распространенном). Именно поэтому в эпоху, когда для молодых французских математиков отнюдь не было обычаем ездить учиться в Германию, Э. Вес«но и А. Тресс провели год занятий в Лейпциге у Софуса Ли. !) Аналогичное понятие для групп подстановок было введено н изученэ Жорданом в его „Трактате". 462 ИСТОРИЧЕСКИЯ ОЧЕРК К ГЛАВАМ Г-Ш Переменные х, и параметры аг в уравнениях (4) в принципе предполагаются комплексными (за исключением глав Х[Х-ХХ1Ч ° т.
3) и функции [, — аналитическими. Разумеется, Лн и Энгель отдают себе отчет в том, что эти функции, вообще говоря, ие определены для всех комплексных значений переменных х; и параметров а) и что рассмотрение композиции таких преобразований приводит к серьезным трудностям [1Ч, т. 1, стр.
15 — 17, -33 — 40 и далее). 'И хотя в дальнейшем они почти всегда выражаются так, будто композиция преобразований выполнима без ограничений, несомненно, что делают они это лишь для удобства формулировок, и „локальная" точка зрения восстанавливается в явном виде всякий раз, когда это необходимо (см. гам же, стр. 168 или 189, например, либо таль жн, т. 3, стр. 2, подстрочное примечание).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
