atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ЛиалогичпоРВЗ.ВС Найлем РО; РО = /Ю' -ОО' = !4+ 2,25; РО = 2,5 и. Лпкчоги ьчо РВ = 2.5 и. О РС=з)РВ'+ ВС' РС =чг6,25-г)6 = — м, внаД9 2 ц логично РЛ = — и. 2 В,м= — РО ЛО = 5 м"1 Вк„.= 5 м'1 5„„„= ВО АО = 12 и . Гл и:1 /!/ а(но(ос/)анники 80 !!(си,ссч 5;.„н 5„„; сак как ,' РАВ = У.Р/)(' ! !ю !рсч (!пропит!). 1о Мб лос1,!Го'ню н!шн! п ! Нпа.п !.иапо нс г,.т 2 срсугонышкоа.
Рассчосрич './(/)Г: провсссч иысосу /О /рис. 158), !1)сн, Г// - к. д 5-к и х Г 1(и и Р/)( — /)// — Рà — (// = Р//(. 89 /'ис Г.(!н!и абрисом (л25 - !5 «)' — — — а . Л ()!ганна 10к = 41; л = 4.1. Т((г.ш Рв -- С!.2.'- с(К1--:5.44. у,, -( - 5. (5,44 —, 54 ч . Л,, - 5 -. 5 т 12 и, 54 -, 84 —. ) 2- 2 — 2434 ч. М 242. 11) си. Р4 1.,)ВГ/) и у! 11:1 чс,л.!( 1ра!1ыо Р('Л и 1!.шскостью ЛВ(гР р,и!с!145 .
'1',!л лик.!Р.!. Г/) и Ад — ироскшш Р/), со Р/) ' С/). Талом обри кгч .'Р/):! = 45 . О(!с!пса псч сторону лиаарата ы а, А 0 = с! В = ВГ = С/) = а. Го(ня / А = с! /) ' 18 45 РР = /(// = сс~'2, АС = а П. Тал как РА .' АС. го !ю тсорсме 1!ифшора РС = ачба. Такич обратом РС вЂ” напбопьшсс рсбро, пас!'ил!у и Уло /59 Л=)2.а =4,Ь а) Высота пирачи,сы — сао РА: РА = 4 /8(сч. б) 5„, = 5,„„+ 5(„+ 5;„, + Б„„, = — ! РА А В + РВ. ВГ-л РР РС+ 1 + РА АР) =1(4,/5 4Л+4,/8.4чз 434./8+4,/з 4,/з) = -- — (48+48т/2+48/2 т48) = 48!1+ ч!2) см', 2 а! б 2.
/)и амилз Хе 243. Заметим, что (',!)(!// и ' /) !С В нр((чо) гольнь(с, возгому ! ! 5„„,= — !)А.ЛВ = — 9 13 = 5К,5 си . 5 „=' -'- 1)А,Л(' = 5Ь(5 си'. 2 Нзи.(с(( 5„,„; ировслсм мслию(у ЛЗ/ в ЗЛ//С. ')о(лз АЛ/ — высо(з ((. к. ЛВ = АО. 4 Но ЛР — нроек(нш /) !! из плоскоси АВ(. н(юн(му /)(!/ ' ВС. По (с((рсмс Пифагора; 45/=- чч(!// -!И/( ич!3 —.~ =12 с(( /)б/= ч/Л/)( ь Лл/ =-(9' (12' =15см. Знзчи(. 5ь,„=-/)/Г/ ВС' 75см'. 5, -' 192 ем'. Ряс. РФ .ча 245. Ука яви(с: локзуа(ь, побоковосрсбро.
но когор(иб (юрссекакися лис исрнс(мику.шрныс к ос(ювюшк( (р,пш, исрнси.и(ьулярно ь илоскосзи ос(ювниеи азаысс зютло(ич(ю з(ызчс 242, .'(Га?46. л) Пусть яысога ш(рзмнлы— РО, а высо гы боьояык (реей РА, РВ,. РС', (рнс. !б!), ОЛ вЂ” нроскш(я РА„поэтому 0:! ? ВС ЗначигОЛ, — рзссзояние(н зо ки Оло ВС, ! Лналогичпо ОВ и Г)С вЂ” расс нгя нис о( то (- ки Г)ло ЛСи АВсооп(с(с(асино.
Но (ю (со- 4 А В рсмс Пифагора: В (г А, > ' ' ( . ( ОВ. =. ч/Р — РО' = ч41 — 40( = 9 си, Г зналогичноОЛ н ОС равны 9 си. Но оно и Ряг. /З/ означает, что Π— нснгр виисаннои о к ругам((с ( н. б) Плонгальтреу(ильинка 5 вычис шется юрсз рзлиус гвписанной окру кности и нолч!сримсзрР но слелуюпиб! формуле: В = Р г, поэтому 5,„= 9 21 = 189 сил )Ч/а 244, ~я)зина((с: она(и(м( ию га (зчс 243, ио (ю и( и!зоясс ( и высот) трсу(ольникз.АВС 82 Глава )П. Многогранники № 247.
оказанное: при обозначениях как в задаче 246 доказать, что КРОА, = ЕхРОВ, = г3РОС„откула непосредственно следует п, а) и и. 6), п. в). Р № 248, Пусть АВ=АС=!О ем, ВС'= = 12 ем, По залаче 247 лосгпочно найти В высоту одной боко|юй грани, и нобы най- иГ ти плогдаль боковой поверхности надо нс- рсмножнть высоту на нолунеримстр О основания. Найдем радиус вписанной в основание Рис. ! 62 окружности: о„(АВ+ ВСч АС) г= — ", гг!ср = Р 2 5„„.'= Гб(!6-!О)(16-1ОК16 — 12) =48 см' (но формуле Герона).
48 '1'аким обраюм г= — =3 см. Тогла высота бокгнкгй грани равна 16 , .= 3 Г2 си. Тогла Х „„„„= 3~) 2 16 = 4842 ем'. соз45'" Р № 249. а) Рассмотрим пирамиду и РА А, ... А„и пусть высота пирамиды 1 О. Заметим, что Е,РОА, = КРОА, но признаку равенства прямоугольных треугольников ( по двум сторонам). ЗначитОА, = ОА,,' / аналогично ОА, = ОА, = ... = ОА„.
Но В / это и означает, что точка 0 — нентр 1 С описанной окружности. О б) Так как ОА — проекння стороны РА „то угол РА,О и есть угол мсжлу рсбРис. !63 ром РА, и основанием. Но из равенства треугольников: Гх РА,О = т3РА,О = ... = гхРА,О следует равенство углов между боковыми ребрами и плоскостью основания. вз В2. //и амида Ла 250. Ю вЂ” высота пирамиды, АВ = АС и ~А = 120' (см. рнс. 164).
Тогда по условию л'.АРО = ~ВЮ = к'.СРО = 45'. Отсюда нрямоугольныс треугольники /ЗАРО, ЛВРО и ЬСЮ равны по катету и острому углу, причем эти треугольники раююбедренные, поэтому точка Π— центр описанной вокруг /зАВС окружности и ОА = ОВ = ОС = 16 см. г Так как ОВ=ОС, АВ=АС, то В С /зА/В = езАОС но трем сторонам. Значит М ~САО = ~ВАО = 60', ноэтому Р ВАО и ттСАО равностороннис. Таким образом АВ = АС = 16 ем. Потсорсмс косинусов ВС = АВ'+ АС' — 2АВ АС сов 120" = 1б' 3; ВС =- 16~ГЗ.
Тогла плогнадь треугольника через стороны и ралиус описан- ной окружности получается так: АВ ВС АС р 4/( 16.16 1бд 5., = — — см', 4 16 Ль 251. По задаче 249 высота проходит через центр описанной окружности основания, а так как основание — прямоугольный треугольник, то высота проходит ~срез середину гипотенузы М(рис. 164) 1 МС = — ВС = 5 си, 2 вс оьк' °,юс' ~з Ответ: 13 см. Рис.
/65 ЛЪ 252. По залачс 249 слелует, что точка О, гле Π— проекция точки О, является центром описанной окружности. Найлем ралиус И этой окружности из: АВ ВС АС 4/1 ~в- зв' нв'=~ьл А // /) Рис. /66 / папа ///. Многогранники В4 54 3,/(() ( 3.'И 4В '! ' ОВ='5 ' и»' ! ' '!!и!. рп 00 " /) — ОВ. 00 = (2 сч. .'лс 254.п) РΠ— пысо(п нирпчипы /Ч//С. р.!.ппс й гнн!с!и!ион гголрч нрпии.и,но!и н;3 !рс)!опы!илп окруькносн! рписн Н вЂ” - — -. 3 и 3 нол!ол!у РВ =,'П' - - ('!ис, !б)). о! В .'.Р/К' РВ = РС' =:,'П ' и —. РК-- ')! !и !сог г,;! спс.инги!с.гьно, и чс.нгдгнь Р! . /!.; а !!!!А!ол!у чп .'.В/'Л'-'- — .
= , // и пгс !и .:= .,)нп !и!. к'./5/!Г // 3 с,!сион;пс:!ыи! ~//РЛ' = 2 ~//И~ "2 пгсчп 2 '// 3 п! )4!см ! ый у!и ! . !гг!.СР//Г) // ыпо.РВΠ—, -..-.:=, к/П/0' // // исып =--.— :П 3 Лп 253. По ю.шпс 249 пь!ганс !пцх!ч!ыы ирггло.и5! исрс! иснгр И ои!ынсноиоло гогрппнпи5окрул носгнын>ноч! !О=О/5 = (Х 00. ! !ропоыч пь!со!у // //, нср«! т!ылу О. Чик кок Г.ВГК и !'.г!Г)0 рнии ос.!рспиыы. 5о П вЂ” ссрс.ииы ВС', //.
— ссрс.ииы и!). Обо иынич ОП вЂ”.сТгн.гг! ОС' = ОП. -' ПС", О/) =- ОП..ь П,0, О(' — ГП), и ы ! и г 3 ! !. -". (2.6)! ! (5 -л)ли!к)пал"-'4сч. !)ооыьчу ОС =.ОН! ь .ь ПС;. ОС'-- 5 сч, !о(„ы РО ' РС' — ОО .- )44, РΠ— !2 сч. 85 42.
Пи амида л) Проведем высоту СМ в 25РВС (рис. 168).Тогда из равенства АРОВ и йРВС следует, ч~о АМ вЂ” высо1а ЮАВ и АМ= СМ. Найлом Г ЛЕ пусть ВМ = х, тогда СЛ1' = СВ' — ВМ' = СР— РМ', таким об- разом и' , а' а' — к = И' ч — — ( ( И - — — х)', 3 ')1 3 огкула Рао )ах а г! х= — —,.— —, СМ = а' — — — — -..—,-, 21И'+ 4(Н'ч- 3/ :12 а П ' + а' СМ= 1 —,, Тогда Ъ'12Н' +4 ' — — гг.:~/: ..
) 12У'-4а' 4 глс МŠ— высота и медиана езАМС. Тогла ЗаУ 1 ч)2П 4а ',~та-,зэ кСМЕ = агс(8 ЗаИ е'.СМА = 2 ЕСМЕ = 2 а гар —: — — —. э(чг'(' е а' ЗИ а = 2агсв(п ср 2,'И'+ 3 )ча 255. По залаче 254 и. Г>) слелуез, что гр глс и = 8, а Лг — высота пирамиды. Поэтому ~) Пскомыи )тол — это угол кРЛ(Л чак как РКЕ ГВ по иос~рое- иикк а ОК ВС иотсорсмс о трал псриси.икслврак. а 13, 6У .
2ИчЗ ОК=---, иоэгому г8 кРКО=. ----, ЕРКО = агсчр: — - . 6 а43 а Глава Ш. Многог анники 86 Ф и, а' а' 16 64 а!и — = .. Н' -ь — = —, Н= 2,(Н'.ь 4 агп 3 2 № 256. Аналоги'и!о задаче 254. №257. Позалаче254п, г)!845'= — ',з:ачита=2 ГЗ)паапо- 2 136 а ! — гфсма, очевилио, Равиаичг2 поэтомУ5;,„. =-В 12 3. 2 136 =.
Зз!6)г'. 2 ! /3 12и 'Л г - г- 5,„„= — и и — = ' = Зч'3(г. 5„,. = 3 !3(42 ч1)1г'. 2 2 4 № 258. Прополем высо!у РО пира- милы РАВСО, так как АВСΠ— к|кырат, то цс!пр описанной окружиосзи ! зто точка !!ерессче~~ия диагоналей (рис, 169). ф ! Тогла й. РВО = 60', так как ОВ— 5 ! ф~ .! С проскиин РВ па плоскость осло!кивок ! ,71 - -"-ъ4,- - Тогла ОВ = РВ соз 60' = 12 — = 6 см 2 ВО = АС= 2 ОВ= 12 ем. Значит !2Л I' . 149 'иг.
ВС=АВ=АО= СВ= — =6~2 см. 2 5„„,=62 62=72см'. 1 5 „= — РН АВ, глс РН вЂ” высота. а значит. и мег!гапка ь, ГВ равпобелрсппого треугольника АРВ. РН = -1РВ" — ВН ' = з!) 44 9 2 = чг) 26 = ЗЛ4 см. 5,„„„= — ' Зз() 4 '6Л = 18ъ!7 см, 1огла 5,„„, = 72чг7 скГ'. 5,„,„„„= 72 (1 ь.ч7) сч'. № 259.
РΠ— высота пирамилы. Провслсм ОН 3. АВ, тогла ~ОНР и есть угол межлу боковой грагп ю и основанием, так как 87 62. /)и амида РН 3 АВ по тсорсмс о трех перпендикулярах (рис. ) 69). Таким образом к Р/10 = 60'. Но замстим, что ОН = — А0 = 3 см. 2 ! 6Г2 Тогда РО = ОН /Ь1 60' = 3 л/3 см ОВ = — ВЛ = — = ЗлГ2 см. 2 2 РВ = ч//зОг л ВО' = 127 ь)8 =-/45 5= Зч/5 см. № 260. Провалом прямую СО.
СО поро- д сечет А В и точка Н. Так как Π— пснтр трс- угольникаАВС,тоСНЗ.АВнАН= ВН. Но зогда ЛН вЂ” медиана, а слслоиагсльно, и высота ран1нзбслрснного трсугольника АЛВ, т. с. 0Нанофема грани АЛВ. А л-=и С а) АВ Х СН, АВ 2 И1 значит прямая АВ псрнснлнкулярна плоскости и по признаку Н нерпе или кулярности примой и плоскости. В б) Перпендикуляр СМ к апофсмс грани Раг. /70 АЛВ лсжит в плоскости СЛН, поэтому СМ з АВ. Но СМ2 И1, поэтому но признаку пср~~снликулярности прямой и плоскости СМ2 АЛВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
