atnasyan-gdz-10-2001 (546292)
Текст из файла
Домашняя работапо геометрииза 10 класск учебнику «Геометрия. 10-11 класс»Л.С. Атанасян и др., М.: «Просвещение», 2001 г.учебно-практическоепособие4ОглавлениеВведение ...............................................................................4Глава I. Параллельность прямых и плоскостей ...............8Вопросы к главе I ...............................................................39Дополнительные задачи к главе I .....................................42Глава II. Перпендикулярность прямыхи плоскостей...................................................................58Вопросы к главе II..............................................................97Дополнительные задачи к главе II..................................100Глава III.
Многогранники..............................................112Вопросы к главе III ..........................................................162Дополнительные задачи к главе III ................................167Глава IV. Векторы в пространстве................................200Вопросы к главе IV ..........................................................232Дополнительные задачи к главе IV ................................2375ВВЕДЕНИЕ1.Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямаяпринадлежит плоскости.
Поэтому:а) РЕ ⊂ пл. ADB;MK ⊂ пл. BCD, DB = ADB ∩ CBD, DB ∈ ADB, DB ∈ CBD;АВ = ABC ∩ DAB, AB ∈ ABC и AB ∈ DAB;EC ⊂ ABC, т.к. С ∈ АВС, и Е ∈ АВС.б) DK ⊄ ABC, С ∈ DK, C ∈ ABC, значит, DK ∩ ABC = C(см. рис. 5, б) на стр. 6 учебника);Е ∈ СЕ, Е ∈ ABD, CE ⊄ ABC, значит, СЕ ∩ ADB = E;СЕ ∩ ADB = E;в) A, D, B, P, M, E ∈ пл. ADB; D, B, C, M, K ∈ DBC.Точки, лежащие в ADB и DBC одновременно: D, B, M.г) АВС ∩ DCB = BC; ABD ∩ CDA = AD; PDC ∩ ABC – CE.2.а) Точки, лежащие в DCC1: D, D1, C1, C, K, M, R;точки, лежащие в плоскости BQC: B, B1, C1, C, P, Q, M.точки, принадлежащие этим плоскостям: С1, С, М.б) АА1 ⊂ АА1D1 и AA1 ⊂ AA1B1.в) MK ∩ ABD = R; DK ∩ A1B1C1 = D1; BP ∩ A1B1C1 = Q.г) АВ – прямая пересечения АА1В и ACD;ВС – прямая пересечения РВ1С1 и АВС.д) MK и DC пересекаются в точке R; B1C1 и ВР пересекаются вточке Q; C1M и DC пересекаются в точке С.3.а) Да (аксиома А1).б) Неверно.
Например,А, В, С ∈ β, D ∈ β.в) Неверно. Например,6А, В, С, D ∈ α.г) Через любые 3 точки проходит плоскость. Но утверждение оединственности неверно. Не всегда.4.а) Рассмотрим два случаяПо теореме п. 3 D и пряНикакие три точки не лежат наодной прямой. Сама пл. α суще- мая лежат в одной плоскости,ствует по аксиоме А1. Условие за- что противоречит условиюзадачи.дачи выполненоОтвет: нет.б) Если АВ ∩ CD, то через них можно провести плоскость, тогдавсе точки будут в одной плоскости, а это противоречит условию задачи (по следствию из аксиом).Ответ: нет.Ответ: а) нет; б) нет.5.Выберем произвольно т. D ∉ AB.По теореме п.
3 через D и прямую можно провести единственную плоскость, таких плоскостей можно провести бесконечно много, в силу того, что точка D выбрана произвольно.Ответ: бесконечное множество.6.Через три точки можно провести единственную плоскость. В силутого, что две точки каждого отрезка принадлежат этой плоскости (концы отрезков), то и все отрезки лежат в этой плоскости (аксиома А2).77.Пусть l1 ∩ l2 = M; n – произвольная прямая, М ∉ n и n пересекает l1и l2 в точках А иK, значит, через т. А и прямую l2 можно провести единственную плоскость (по теоремеп.
3). Поэтому отрезки АМ, AK и KM лежат водной плоскости (по аксиоме А2 п. 2),и прямые, которым принадлежат эти отрезки, лежат в одной плоскости.Все прямые, проходящие через т. М, не лежат в одной плоскости.Если в теореме п. 3 речь идет только о двух пересекающихсяпрямых, через которые проходит единственная плоскость. Еслипрямых несколько, то утверждение неверно.Например:l3 пересекает пл. α, но М ∈ l3Ответ: нет.8.а) Неверно. Пример:А ∈ α, В ∈ α. Но окружность пересекает α и не лежит в ней.б) Верно, так как три точки однозначно задают окружность, поэтому все ее точки будут лежать в заданной плоскости.Ответ: а) нет; б) да.89.А, В, О ∈ α.Так как А, О ∈ α, по А2, то С ∈ α(поскольку С ∈ АО, АО ⊂ α).
Так какВ, О ∈ α, по А2, то D ∈ α (D ∈ ВО,ВО ⊂ α). Значит, С и D лежат в α.Ответ: да.10.Если MN пересекает стороны ∆АВС,а ∆АВС ∈ α, то М ∈ α и N ∈ α. Из аксиомы А2 прямая MN лежит в пл. α.Прямая l пересекает α в точке В, ноне обязательно лежит в ней.Ответ: а) да; б) нет.11.Пусть есть прямая а, точка Ми М ∉ а.Из теоремы п. 3, через а и Мпроходит единственная плоскость α. Прямые, пересекающиеа, пересекают ее в точке, лежащей в α. Точка М – общая длявсех прямых l1, l2, l3 и М ∈ α.Тогда по аксиоме А2 каждая прямая l1, l2, l3 лежит в плоскость α, таккак две точки каждой прямой лежат в α.12.Поскольку плоскости АВС и ABDимеют общую точку А, то они пересекаются по прямой, проходящейчерез т.
А (аксиома А3).Ответ: да.13.а) Неверно, по аксиоме А3 они пересекаются по прямой.б) Неверно, по той же причине.в) Верно, по аксиоме А3.Ответ: а) нет; б) нет; в) да.914.Рассмотрим два случая:а) Из теоремы п. 3 имеем, что через каждый две пересекающиесяпрямые можно провести единственную плоскость; поэтому черезданные три прямые проведено 3 плоскости.б) Если все три прямые лежат в одной плоскости, то плоскости,упомянутые в п.
а, совпадают.Ответ: или три или одну плоскость.15.Каждая из трех точек принадлежит одновременно прямым.Через три точки по аксиоме А1можно провести единственнуюплоскость α. Поэтому отрезки АВ,ВС и АС лежат в плоскость α(по аксиоме А2), значит, прямые, которым принадлежат эти отрезки, тоже лежат в α.Рассмотрим второй случай:l1, l2 ⊂ α, a l3 ⊄ α, но и пересекается с l2 и l1 в точке М.То есть прямые имеют общую точку, но не лежат в одной плоскости.ГЛАВА IПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ1016.Так как М ∈ α, N ∈ α; М ∈ с, N ∈ с, поэтому MN ⊂ α, ⇒ с ⊂ α.17.Поскольку∆ADB: PM средняя линия, то PM || AD;∆ADC: QN средняя линия, то QN || AD.Из условийPM || AD по теореме п. 5 получим: PM || QN.QN || AD Отсюда следует, что P, Q, M и N лежат в 1 плоскости.Получим, что MN и PQ – средние линии в ∆BDC и ∆ABC, значит,MN || BC и PQ || BC.
Имеем из теоремы п. 5 MN || PQ.Значит, 4-угольник MNPO – параллелограмм по определению(т.к. является плоским четырехугольником).PMNPQ = 2 ⋅ PM + 2 ⋅ PQ = 2 ⋅11AD + 2 ⋅ BC = 12 + 13 = 26 .22Ответ: 26 см.18.Так как BB1 || CC1, то эти отрезкилежат в одной плоскости β (из определения). Тогда С ∈ β и В ∈ β, поэтому ВС ⊂ β. Значит, прямые ВВ1, СС1,АВ ⊂ β.Рассмотрим треугольник АВ1В в плоскости β.∆САС1 ~ ∆ВАВ1 (по 2-м углам)Из подобия имеем:CC1 AC CC1 1== ; СС1 = 3,5;72BB1 ABб) АналогичноCC1 AC AC 32== , AB = AC + CB = AC + AC ,,203AB CB 211CC1=20AC33= , CC1 = 20 ⋅ = 12 .5 2 5AC 1 + 3Ответ: а) 3,5 см; б) 12 см.19.По лемме п.
5 CD пересечет α, т.к. CD || AB, а АВ пересекает α.По лемме п. 5 AD пересечет α, т.к. AD || BC, а ВС пересекает α.20.По свойству средней линииBC || MN, MN ⊂ α, а по теореме IBC ||α, следовательно, не пересекает.AD || MN, MN ⊂ α, по теореме IAD||α, следовательно, не пересекает.21.Допустим, прямая l || DC.DC пересекает пл.
ADB, l || DC,значит, (по лемме п. 5.1) l пересечетпл. ADB;DC пересекает пл. АВС, l || DC,значит, (по лемме п. 5.1) l пересечетпл. АВС.Утверждение доказано.22.В ∆АВС: MN – средняя линия.MN || AB. Значит, по теореме IMN || α.1223.По теореме I СВ || ABM, т.к. CD || AB, а АВ ⊂ пл. АВМ.Утверждение доказано.24.Из теоремы I AD || пл. ВМС, т.к. AD || BC, а ВС ⊂ пл. ВМС.25.Из теоремы I l || α, т.к.
l || MN, а MN ⊂ α.Из теоремы I l || β, т.к. l || MN, a MN ⊂ β.26.АС ⊂ АВС (АС || α), и АВС пересекает плоскость α, линия пересечения MN параллельна прямой (АС) (по теореме II).Значит, MN || AC.13AC || MN.∠1=∠2, как соответственные углы, ∠АВС – общий, отсюда∆АВС~∆МВN (по двум равным углам).27.AB 4= , CD || α, CD = 12. Найдем ВЕ.BC 3Т.к.
В – общая точка, то плоскости АВЕ и α пересекаются.Из теоремы II CD || BE.∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 как соответственные, значит, АВЕ ~ ∆ACD подвум углам. Из подобия имеем:AB BE AB − BC 123 12==,, 1− =, ВЕ = 48.AC CDABBE4 BE28.DE = 5,14BD 2= ;DA 3DE || αпо утверждению из учебника DE || BC.DE ⊂ пл. ABC ∆ВАС ~ ∆DAE (по двум углам).
Из подобия имеем:BC ABDB== 1+;DE ADADBC2 51= 1 + = , BC = 8 .53 3329.По теореме I AD || BMC (т.к. ВС ⊂ ВМС, AD || BC);по утверждению из учебника пеAD || пл. BMCресечение плоскостей ВМС и ADK –AD ⊂ пл. ADK прямая KH – параллельна AD.ADK ∩ BMC = K Рассмотрим плоскость ВМС:Н – середина МС (по теореме о пропорциональных отрезках)KH – средняя линия ∆ВМС;1KH = BC = 6 .21530.Плоскость ABCD пересекает α попрямой, проходящей через т. С.По доказанному в учебнике утверждению линия пересечения проходит через т. С и параллельна ВА, а,значит, совпадает с основанием трапеции CD.Значит, CD ⊂ α.MN || CD, поэтому MN || α (по теореме I).Утверждение доказано.31.BC || α.По утверждению, доказанному в учебнике, MN || BC.ВМ = МА, значит, MN – средняя линия ∆АВС (по теореме о пропорциональных отрезках), и плоскость α проходит через серединустороны АС.32.Решение приведено в учебнике.33.Пусть а не параллельна b, тогда a пересекается с b в некоторойточке K.K ∈ γ, K ∈ α.16Тогда плоскость γ пересекается с плоскостью α не только попрямой с, но еще по второй прямой, проходящей через т.
К.То есть точка K ∈ c. Получили, что либо плоскости имеют общую точку K (т.к. K ∈ a, K ∈ b, K ∈ c), либо наше допущение неверно, то есть a || b. Если a || b, то a || α ⇒ а не пересекается с с, но лежит с ней в одной плоскости γ. Тогда по определению a || c || b.В случае, когда плоскостиимеют общую точку, они попарно пересекаются, образуяфигуру, называемую трехгранным углом.34.а) ND ∩ AB = т. В;б) PK ∩ BC, поскольку PK не параллельна ВС;в) MN || AB, поскольку MN – средняя линия;г) MP || AC, поскольку МР – средняя линия;д) KN и АС – скрещиваются, так как не параллельны и не пересекаются;е) MD и ВС – скрещиваются, так как не лежат в одной плоскости.35.Так как прямые не имеютобщих точек с а, то они либопараллельны ей, либо скрещиваются с ней.
Но обе они параллельны а быть не могут, таккак имеют общую точку. Значит, по крайней мере одна изних скрещивается с а.1736.Т.к. a || b, то существует пл. α, что а ⊂ α, b ⊂ α.Пусть с пересекает а в т. М. а || b, значит, М ∉ b.По признаку скрещивающихся прямых, c и b скрещиваются.37.а)Так как АС и m не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, то АС || m; так как АС пересекается с ВС, то и m пересекается сВС.б)ВС и m скрещиваются, потому что т.
М ∈ АВ, М ∉ ВС (по теореме п. 7).38.a) а || BD;BD и CD – пересекаются;а ⊂ α, BD ⊂ α.18Следовательно, а не параллельна BD, а, значит, пересекает ее.б) а ∈ α;а и b не лежат в одной плоскости, b ∩ α = С, С ∉ а.Следовательно, а и b скрещиваются (по признаку).39.Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости (т.к. АВ и CDскрещиваются). Следовательно, AD и ВС тоже не лежат в однойплоскости, то есть не параллельны и не пересекаются ⇒ скрещиваются.40.а) Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Следовательно, b ⊄ α.б) α и β имеют две общие точки: М и N, значит, прямая MN –общая для плоскостей α и β, значит, это линия их пересечения (поаксиоме А2).Ответ: а) b ⊄ α; б) MN – прямая, по которой плоскости α и β пересекаются.41.Пусть а и b скрещиваются.Предположим, a || c и b || c,тогда а || b, но а и b – скрещиваются.Предположение неверно.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
