atnasyan-gdz-10-2001 (546292), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Значит, это невозможно.1942.KE || AB, AB || CD ⇒ KE || CD (теорема п. 5).У четырехугольника, в который можно вписать окружность,суммы длин противоположных сторон равны.PABEK = 2 · (KE + AB) = 2 · (22,5 + 27,5) = 2 · 50 = 100.43.Соединим все вершиныпространственногочетырехугольника.НЕ – средняя линия ∆BAD,HE || BD; GF – средняя линия∆BCD, GF || BD.Значит, НЕ || GF.GH – средняя линия ∆АВС, GH || AC;EF – средняя линия ∆ADC, EF || AC. Отсюда EF || GH.4-угольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом, следовательно, EFGH –параллелограмм (из параллельности сторон также следует, что четырехугольник плоский).44.Проведет СА’ || OA.По теореме об углах с сонаправленными сторонами (п. 8) имеем:∠АОВ = ∠A’CD – искомый.а) ∠АОВ = 40о.б) Согласно п.
9, искомый угол равен 180о – 135о = 45о.в) ∠АОВ = 90о.45.а || BC, значит, a || пл. АВС.20CD не параллельна ВС, то есть CD скрещивается с а.а) ∠В = 50о.Угол между а и CD равен углу между ВС и CD, значит, острому∠В.∠В = 50об) Если ∠С = 121о, значит, согласно п. 9 углом между а и CD будет являться острый угол ADC.∠ADC = 180о – 121о = 59о.46.1.m || BDиз теоремы I m || пл. αBD ⊂ пл. α 2.3.4.АС пересекает BD, то есть m и АС скрещиваются.AD пересекает BD, то есть m и AD скрещиваются.Угол между m и АС – равен углу между BD, параллельной m и АС.Угол между m и АС равен 90о в силу перпендикулярности диагоналей ромба.5.Угол между m и AD – равен углу между BD, параллельной m и AD.BD – биссектриса (т.к.
ABCD – ромб).21∠BDA =11∠ADC = ⋅ 128o = 64 o .2247.Соединим точки D и B, А и С.Проведем в пл. α (или пл. АВС) KL || AB, в пл. BDC KN || DC.Соединив точки N и М, точки L и М, рассмотрим MNKL.В ∆АВС LK || AB, BK = KC, поэтому LK – средняя линия в ∆АВС;LK =1AB .2В ∆BDC KN || DC, K – середина ВС, поэтому KN – средняя линияв ∆BDC.В ∆ADB т. М – середина AD, т. N – середина BD, поэтому MN –средняя линия в ∆ADB;1MN || AB, MN = AB .2В ∆ADC AM = MD, AL = LC, поэтому ML – средняя линия в∆ADC;1ML = DC , ML || DC.2Значит, LK = MN =1DC .2Из условия, АВ = DC, значит, LK = MN = KN = ML; ML || NK иMN || LK. 4-угольник MNKL – ромб, MK – диагональ, а в ромбе ибиссектриса.
Но углы NKM и LKM – искомые.2248.Нет. Если бы такая плоскостьсуществовала, то они имела бы с пл.α общую точку В, то есть не былабы ей параллельна.50.Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.α || β по условию, то есть у α и β нет общих точек.m ⊂ α, поэтому и у m с пл. β нет общих точек. То есть m || β. Утверждение доказано.51.Пусть α и β пересекаются, и m – линия их пересечения.a || m и b || m, т.е.
лежат в одной пл. α и не пересекаются.Значит, в пл. α через т. А проходят две прямые, параллельные m,что невозможно по аксиоме из планиметрии.Предположение неверно, α || β.52.Пусть ВС || α и AB || α.Если две пересекающиесяпрямые пл. АВС параллельныпл. α, то пл. АВС || пл. α. Поэтому АС || α.2353.Возьмем пару отрезков А1А2 и В1В2. А1А2 и В1В2 по следствию изаксиомы А1 (п. 3, теорема) они лежат в одной плоскости.А1В1А2В2 – параллелограмм (диагонали 4-угольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам).А1В1 || A2B2.Возьмем вторую пару отрезков А1С1и А2С2.Аналогично получим, что А1С1 || A2C2.По теореме п.
10 плоскости А1В1С1 иА2В2С2 параллельны.54.а) В ∆АВС: MN – средняя линия, MN || AC, MN =1AC .21CD .2По теореме п. 10, плоскости MNP и ACD параллельны.∠NMP = ∠CAD – как углы с соответственно параллельнымисторонами.б) ∆NMP ~ ∆CAD (из предыд. пункта)В ∆BCD: NP – средняя линия, NP || CD, NP =S ∆NMP =1MN ⋅ NP ⋅ sin ∠NMP,2S ∆CAD =1CA ⋅ AD ⋅ sin ∠CAD,2111MN ⋅ MP ⋅ sin ∠NMPCA ⋅ AD1S ∆NMP 2MN ⋅ MP 22==== ,1⋅⋅4S ∆CADCAADCAADCA ⋅ AD ⋅ sin ∠CAD2S ∆NMP = 12.55.Решение приведено в учебнике.2456.Пусть а || β, A ∈ α, A ∈ a. Докажем, что а ⊂ α.Мы знаем, что если некотораяпрямая а пересекает плоскость α, тоона пересекает также любую плоскость, параллельную α.Если а не параллельна пл.
β, то она пересекала бы пл. β, а, значит, и плоскость α, а по условию а || β.Значит, а не может пересекать пл. α и, раз она имеет с пл. α общую точку А, то а ⊂ α.57.А || α, a || β.Пусть а не параллельна пл. β, тогдаона пересекает пл. β, а, значит, пересекает пл. α, но по условию а || α. Значит,предположение неверно, а не пересекает пл.
β, то есть или a || β, или а ⊂ β.58.Пусть α || β, но пересекается с γ. Докажем, что β пересекается с γ.Пусть γ пересекает α по прямой а.В пл. γ проведем прямую b, пересекающую а.b пересекает α → b пересекает β, но b ⊂ γ, следовательно, γ пеα || βресекает β.2559.Решение приведено в учебнике.60.Если α не параллельна β, то αпересекает β. Но если плоскость пересекает одну из параллельныхплоскостей, то она пересекает и другую плоскость; поэтому, α пересекает γ, а γ || β. Противоречие.Значит, предположение неверно,α || β.61.А проходит плоскость, параллельная прямым а и b, и только одна.а и b пересекаются по условию, следовательно, по следствию изаксиомы А1, эти прямые единственным образом определяют плоскость α.Известно, что через точку А ∉ α проходит единственная плоскость, параллельная α, то есть параллельная а и b.62.Инструмент надо регулировать в двух измерениях.Если установить уровни на параллельных прямых, то можно регулировать только наклон прибора, но установить диск со шкалойпараллельно поверхности не получится: если прибор слегка наклонится вперед или назад, то вещество в уровнях никуда не сместитсяи, значит, нарушение параллельности плоскости диска уровни непокажут.63.а) АА2 и АВ2, если А1А2 = 2А1А, А1А2 = 12 см, АВ1 = 5 см;б) А2В2 и АА2, если А1В1 = 18 см, АА1 = 24 см, AA2 =263A1 A2 .2α || β.Плоскость ВАС пересекает пл.
α и β.По свойству параллельных плоскостей, А1В1 || A2B2 (п. 11,1о).В плоскости ВАС ∆А1АВ1 ~ ∆А2АВ2.а) А1А2 = 2 · А1А = 12 см, АВ1 = 5 см.A1 A AB11=; A1 A = ⋅ A1 A2 = 6 (см);A2 A AB 22АА2 = АА1 + А1А2 = 6 + 12 = 18 (см);65=, АВ2 = 15 (см). Итак, АА2 = 18 см, АВ2 = 15 см.18 AB 2б) А1В1 = 18 см, АА1 = 24 см, AA2 =3A1 A2 .2A1 AABAB1 2418= 1 1 ==,;A2 A A2 B 2 AB 2 AA2 A2 B 2АА2 = АА1 + А1А2 = 24 + А1А2,2 ⋅ AA2 1; AA2 = 24,AA2 = 24 +33АА2 = 72 (см);2418118=, =, А2В2 = 54 (см).72 A2 B 2 3 A 2 B 2Итак, А2В2 = 54 (см), АА2 = 72 (см).Ответ: а) АА2=18 см, АВ2 = 15 см; б) А2В2=54 (см), АА2=72 см.2764.Две пересекающиеся прямыеединственным образом задаютплоскость.Прямые А1А2 и В1В2 пересекаются и задают плоскость А1В1В2.По свойству параллельныхплоскостей (п.
11, 1о), А1В1 || А2В2.Аналогично: А1С1 || А2С2; В1С1 || В2С2;∆ОА1С1 ~ ∆ОА2С2(∠1 = ∠2 – как вертикальные, ∠3 = ∠4 как накрест лежащие);A1C1OA1 OC1==; ∆ОА1В1 ~ ∆ОА2В2;A2 C 2 OA2 OC 2A1 B1OA1 OB1BCOB1 OC1===; ∆ОВ1С1 ~ ∆ОВ2С2; 1 1 =A2 B 2 OA2 OB 2B 2 C 2 OB 2 OC 2Учитывая полученные соотношения, получимA1C1ABBC= 1 1 = 1 1 .A2 C 2 A2 B 2 B 2 C 2Значит, ∆А1В1С1 ~ ∆А2В2С2 по третьему признаку подобия (пропорциональность сторон).65.По свойству 2о п.
11 А1А2 == В1В2 = С1С2.Если в 4-угольнике противоположные стороны равны и параллельны, то 4-угольник – параллелограмм.А1В1В2А2, В1С1С2В2, А1С1С2А2 –параллелограммы.28В параллелограммах: В1С1 = В2С2, А1В1 = А2В2, А1С1 = А2С2.Значит, ∆А1В1С1 = ∆А2В2С2 по трем сторонам.66.В тетраэдре три пары скрещивающихся ребер:АС и DB; АВ и DC, AD и СВ.67.Рассмотрим грань ABDИз теоремы косинусов:АВ2 = AD2 + BD2 – 2 · AD · BD · cos54o ≈ 400 + 324 – 2 · 20 · 18 ·· 0,05878 = 724 – 720 · 0,5878 ≈ 300,784;AB ≈ 300,784 ≈ 17,343 ≈ 17 (см).По теореме Пифагора AC2 = AD2 + CD2;AC = 400 + 441 = 841 = 29 (см).СВ2 = CD2 + DB2 – 2 · DC · BD · cos72o;CB2 = 441 + 324 – 2 · 21 · 18 · 0,3090 = 765 – 233,603 = 531,396;CB = 531,396 ≈ 23 (см).11AD ⋅ DC = ⋅ 20 ⋅ 21 = 210 (см2).2211= AD ⋅ DB ⋅ sin 54 o ≈ ⋅ 20 ⋅18 ⋅ 0,8090 = 180 ⋅ 0,8090 = 145,62 ≈22S ADC =S ADB≈ 146 (см2).29S DBC =11DC ⋅ DB ⋅ sin 72o ≈ ⋅ 21 ⋅ 18 ⋅ 0,9511 = 189 ⋅ 0,9511 = 179,75 ≈22≈ 180 (см2).Итого: а) ≈ 17 см, ≈ 23 см, 29 см; б) 210 см2, ≈ 146 см2, ≈ 180 см2.68.MN параллельна прямой, лежащей в пл.
BCD (прямой ВС), поэтому она параллельна всей плоскости.69.Плоскость SBC и плоскость, проходящая через прямую MN параллельноребру SB, пересекаются по прямой,проходящей через точку N.По теореме II линия пересечения параллельна SB.В плоскость SBC через т. N проходитNQ || SB.Плоскость SAB и плоскость MNQпересекаются по прямой, проходящейчерез т. М (прямая МР).По теореме II линия пересечения параллельна SB.PM || SB →PM || NQ.NQ || SB Утверждение доказано.70.MP, MN – средние линии в ∆ABD и∆ABC, значит, MP || BD и MN || BC.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
