atnasyan-gdz-10-2001 (546292), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Потеореме п. 10 пл. MNP || пл. BCD.3071.а) Точки M, N, B, C ∈ пл. DBC. M и N выберем так, чтобы MN небыла параллельна ВС, иначе не будет пересечения с АВС.ПостроениеПродолжим отрезки MN и ВС до пересечения их в точке Х. ТочкаХ – искомая.б) KN в некоторой точке пересечет DB, BD ⊂ пл. ABD, значит,KN пересечет в этой точке пл. ABD.ПостроениеПродолжим отрезки KN и DB до пересечения их в точке Y. ТочкаY – искомая.72.ПостроениеСпособ построения сечения:проводим MK || AC и MN || AB;соединяем т.
K и т. N.По признаку параллельности плоскостей пл. MNK || пл. АВС.31ПостроениеРаз сечение параллельно пл. АВС, то плоскость сечения параллельна АВ, ВС, АС.Секущая плоскость пересечет боковые грани тетраэдра по прямым,параллельным сторонам ∆АВС. Отсюда способ построения сечения.а) через т. М проводим PQ || BA;б) через т. Р проводим PR || AC;в) соединим т. Q и т. R;г) ∆PQR – искомое сечение.73.Найдем точки пересечения пл. MNPс ребрами тетраэдра.NP – средняя линия ∆DBC, NP || BD.BD ⊂ пл. ABD, поэтому NP || пл.ABD (теорема I).Плоскости ABD и MNP имеют общуюточку М, значит они пересекаются по прямой, проходящей через т. М в пл. ABD.Эта прямая параллельна NP, а раз NP || BD, то эта прямая параллельна BD.Пусть K – точка пересечения этой прямой с ребром AD (раз BDпересекает AD, тогда прямая, параллельная BD пересечет AD).∆MAK ~ ∆BAD;AK MA MK==;AD BA BD1 MK AK==, поэтому точка K –2 BD ADсередина AD.Утверждение доказано.Аналогично получаем, что PK – средняя линия в ∆ADC, поэтомуPK || AC.NP || BD → MK || BD || NP;ML || BD MN || AC → MN || AC || PK .PK || AC 4-угольник MNPK – параллелограмм по определению.11PMNPK = 2 ⋅ (PK + MK ) = 2 AC + BD = AC + BD;22PMNPK = 22 см.3274.Пусть т.
О – точка пересечениямедиан ∆BCD.Плоскость сечения имеет с гранью ADC общую т. N, значит, обеплоскости пересекаются по прямой,проходящей через т. N.Плоскость сечения и параллельная ей пл. АВС пересекаютсяплоскостью ADC, значит линии пересечения параллельны, NP || AC.Аналогично, PM || AB, MN || BC.∠MNP = ∠BAC, ∠MNP = ∠BCA, ∆MNP ~ ∆BAC (по первомупризнаку).Утверждение а) доказано.б)MO =22BE , NO = EC , потому что: ∆MDO ~ ∆BDE и33∆NDO ~ ∆CDE.MO DO MO 2== .;BEDE BE 32MN = MO + ON = BC .3Отношение площадей подобных фигур равно отношению квадратов соответствующих линейных размеров.S MNP MN 2 S MNP 4== .;S ABCBC 2 S ABC 975.33а) Проведем AK и AL. ∆AKL – искомое сечение.б) В ∆AMK: OF – средняя линия, OF || AK;в ∆MLK: EF – средняя линия, EF || KL.По теореме п.
10 пл. OFE || пл. AKL.Площади подобных треугольников ∠OFE = ∠AKL как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами; OF =11AK , FE = KL , поэтому ∆OFE ~ ∆AKL относятся как22квадраты, значит, соответствующих линейных размеров.2S LKAS EOFLA LA =4.= =1 EO LA22SEOF = 6 (см2).76.В силу свойств параллелепипеда АА1С1С – параллелограмм, отсюда А1С1 || AC; B1D1BD – параллелограмм, поэтому B1D1 || BD.77.У параллелепипеда боковые ребра равны.5AB 4 BC 5= ,= .
Пусть ВВ1 = х, тогда BC = x,6BC 5 BB1 6AB =445 2BC = x = x.556 3Из условия задачи:4 ⋅ АВ + 4 ⋅ ВС + 4 ⋅ ВВ1 = 120, или АВ + ВС + ВВ1 = 30;3425x + x + x = 30; 4х + 5х + 6х = 180;3615х = 180, х = 12 (см).ВВ1 = 12 см; AB =25⋅12 = 8 (см), BC = ⋅12 = 10 (см).36Ответ: 12, 8, 10 см.78.ABCD – параллелограмм по условию, AB = CD.AB – AM = CD – CN, то есть BM = DN.НоBM || DN → по признаку параллелограмма,BM = DN MBND – параллелограмм.Аналогично получим, что N1B1M1D1 – параллелограмм.∠NDM = ∠N1D1M1 – как углы с соответственно параллельными иодинаково направленными сторонами.Параллелограммы MBND и M1B1N1D1 равны, так как равны ихсоответствующие стороны (МВ = М1В1, M1D1 = MD) и угол междуними (п.
5).А1М1 = АМ, поэтому А1М1МА – параллелограмм, M1M || A1A || B1B.Аналогично, C1NN1C – параллелограмм, С1С || NN1 || DD1.Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны, поэтомуММ1 = ВВ1 = СС1 = NN1 = DD1.По признаку параллелограмма 4-угольники МВВ1М1, BNN1B1,DNN1D1 и MDD1M1 – параллелограммы.По определению (п. 13) MBNDM1B1N1D1 – параллелепипед.79.а) Сечение плоскостью АВС1.Пл. ВВ1С1С || пл. AA1D1D по свойству параллелепипеда, отсюдаВС1 || пл.
AA1D1D.Точка А общая для плоскостей АВС1 и АА1D1D – плоскости пересекаются по прямой, проходящей через т. А и параллельной ВС1(п. 11.1о), очевидно, это AD.Искомое сечение – четырехугольник ABC1D1. AB || CD AB = CD (т.к. ABCD – параллелограмм),CD || C1 D1CD = C D (т.к. CDD1C1 – параллелограмм).1 1Отсюда AB || C1D1 и AB = C1D1.35Значит, ABC1D1 – параллелограмм, т.к. его противоположныестороны параллельны и равны.б) Сечение плоскостью АСС1.Плоскости граней В1С1СВ и A1D1DA пересечены плоскостьюА1С1СА, линии пересечения параллельны, АА1 || CC1.АА1 = СС1 (п. 11, 2о).AA1 || CC1 по признаку параллелограмма, АА1С1С – параллелоAA1 = CC1 грамм.80.а) Сечение плоскостью АВС1.Пл. ВВ1С1С || пл.
AA1D1D по свойству параллелепипеда, отсюдаВС1 || AA1D1D.Тогда А – общая для плоскостей АВС1 и AA1D1D – плоскости пересекаются по прямой, проходящей через т. А и параллельной ВС1(п. 11, 1о).Плоскости граней АА1В1В и DD1C1C пересечены плоскостьюABC1D1, значит, их линии пересечения параллельны, AB || C1D1.Вывод: плоскость пересекает грань AA1D1D по прямой AD1; AD1|| BC1.Искомое сечение ABC1D параллелограмм по определению.б) Сечение плоскостью DCB1.Точка D – общая для плоскостей DCB1 и AA1D1D – плоскости пересекаются по прямой, проходящей через т. D и параллельной прямойСВ1 (п.
11, 1о). В пл. грани AA1D1D проводим такую прямую. Это будет DA1 (4-угольник DCB1A1 – параллелограмм, поэтому DA1 || CB1).Искомое сечение DCB1A1.36в) PQ – отрезок, по которому пересекаются построенные сечения(Р ∈ плоскостям сечений и Q ∈ плоскостям сечений, PQ – линияпересечения плоскостей), где Р и Q – центры граней AA1D1D иВВ1С1С.81.а) Пусть MN не параллельна ВС, тогда MN пересечет пл. АВС.ПостроениеПродолжим отрезки ВС и MN до пересечения в точке Х.Тогда Х – искомая.б) АМ не параллельна А1В1, АМ пересечет А1В1,А1В1 ⊂ пл.
А1В1С1.ПостроениеПродолжим отрезки А1В1 и АМ до пересечения в точке Y.Точка Y – искомая.82.а)ПостроениеПлоскость сечения по условию || пл. ABCD, следовательно, онапересекает грани параллелепипеда по прямым, параллельным АВ, DC,BC и AD (это следует из теоремы II). Отсюда способ построения:1.через т. М проводим PQ || AB;2.через т. Q проводим QR || BC;3.через т. Р проводим PS || AD;4.соединим точки S и R;PQSR – искомое.37б)По теореме II, плоскость сечения пересечет боковые грани попрямым, параллельным АА1 и DD1, а плоскости оснований – по прямым, параллельным A1D1 и AD.
Отсюда:1.через т. М проводим PQ || AA1;2.через т. Q проводим QR || A1D1 и через т. Р проводим PS || AD;3.соединим точки R и S;4.сечение PQRS – искомое.в)1) Построим плоскость BDD1; она пересечет плоскости верхнегои нижнего основания по параллельным прямым. BD || B1D1 (соединив В1 и D1, получим параллелограмм BB1D1D).2) Плоскость сечения по условию параллельна пл. BB1D1D, значит, она параллельна BB1D1D.По теореме II получим, что если плоскость боковой граниАА1В1В проходит через прямую ВВ1, а ВВ1 параллельна плоскостисечения и пересекает плоскость сечения, то линия пересечения боковой грани с сечением параллельна прямой В1В, получим построение:1.2.3.4.5.38через т.
М проводим PS || B1B;через т. Р проводим PQ || B1D1;через т. S проводим SR || BD;соединим т. Q и т. R;сечение PQRS – искомое сечение.83.а)ПостроениеЧерез т. О проведем MN || D1D (MN || D1D, CC1 || DD1, поэтомуСС1 || MN); соединим М с С1 и N с С.
сечение МС1CN – искомое.б)Построение:через т. О проводим ML || AB;через т. М проводим MN || A1B1;через т. N проводим NK || B1C1;соединим точки K и L;сечение MNKL – искомое сечение.84.Т. Р – середина ребра CD.По теореме II, плоскость сечение пересечет основания A1B1C1D1и ABCD по параллельным прямым.39Проведем BD; BD || B1D1. Из точки Р проводим PQ || BD. Поэтому PQ || B1D1.
Соединим точки В1 и Q; D1 и Р. Сечение B1D1Q – искомое.В 4-угольнике B1D1PQ имеем B1D || PQ, значит, B1D1PQ – трапеция (по определению).85.По теореме II, плоскость BKL пересечет противоположные боковые грани по параллельным отрезкам. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.Этого достаточно для построения сечения.Соединим т. K с т. В1; точку L с т. D1.A1 K = LCA1 D1 = BC ∆ KA1D1 = ∆LCB, следовательно, KD1 = LB.∠KA1 D1 = ∠LCB Аналогично, ∆KAB = ∆LC1D1, следовательно D1L = BK.В 4-угольнике BKD1L KB = LD1 и KD1 = BL.Этот 4-угольник является параллелограммом, а сам 4-угольник –искомое сечение.86.Плоскость сечения параллельна BD1, если она проходит черезпрямую, параллельную BD1 (теорема I).
В плоскости BD1D проводим ОМ || D1B; проводим отрезки АМ и СМ.40АМС || BD1 по построению, значит, АМС – искомое сечение.Если основание – ромб и ∠ABB1 = ∠СВВ1 = 90о, AD = DC, то ∆ADMи ∆DMC – прямоугольные. MD – общий катет. ∆DMA = ∆DMC, такимобразом МА = МС. В ∆АМС МА = МС, значит, ∆АМС – равнобедренный.87.а)1.2.3.4.5.6.7.8.9.ПостроениеДопустим, что MN не параллельна АВ.Продолжим MN и АВ до пересечения их в т. О.ОК ⊂ пл. АВС (т.к. О ∈ АВС и K ∈ АВС).Соединим точки K и N.Плоскости ONK и ОАK (то есть пл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
