atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (546290)
Текст из файла
УДК 373.167.1: 514 ВБК 22.15)я72 <Р)е Фадеев ВПО. Ф15 1!одробный разбор заданий из учебника по гсомс грин авторов Л.С, Азанасяяа, В.Ф. Бу<33<таа и дрл !О-11 классы. 34.: ВАКО, 2008. 304 с, - (Сим ссбс репе пи ар). ! 5 ВН 978-5-94665-662-7 Посооис с<тлсря<г<~ ~<гт;цт<т<тиый разбор ггссч зо:шний и чсшшки ио геометрии .<ля 1О 11 классов ив<опав П.С. Лпишсянв.
В Ф. Еег)- )авв н лр. <Асг Драскеи<снис). О<вшы и ранения представлены в соответствии со с<р)кгурпй учсйаикв, ио значи<слыло об иш ч<и поиск иеп<тьо <<<ягой и<н!гарта<~инг. УДК 373.167.1:5!4 1тБК Зт 15!я72 БПК ')7Н-5-')4<т<т5-<т<т2-7 С ООО «!)ЛКО». 200Н \ чегзггоюг<ггггтгиг'гссьтгс иыаппе Свм себе репетитор Е) Фвлссн Вячсс:шв Юрьеиич ПОДРОБНЫЙ РАЗБОР ЗАДАНИЙ ИЗ УЧЕБНИКА ПО ГЕОМЕТРИИ П.С. Атанасяна, В.Ф. Бутувова и др. <М.: Просеаи<ание) + РГДНЕНИН ВСЕХ 3АДЛ'1 ПОВ!т1П!ГННОЙ ТРУДНО<"ТИ 10-11 классы )ыъчавш<.и гтия - ОКП 005л)3-)53 (йи герм) ри Н ~<<чьи ).
Излюе.и,ство ВЛКО» 1ыл шсию к кчвти с я~и<ппг<~<шюв то ОМ2<НП, г1<арчят 70'100<32, Печки пФсси<ля. Гц ши)рв Тгымс Уел, ис ~ л. 15.4Н '!ирин 120<Ю зкз. Звкш ГЕ 19540, <) < неч гпша с гат<гви т лп и от <и,пюв в ОАО «Сврв~ьггсьии попп рвфк<тт~<т<и<я<. 41ЕН)4. г. С<риаз. Нл, '!срн<и<~евсктт|а. 59. «ккмгрй.п< Содержание Глава 1.
Параллельность прямых и плоскостей ° ° ° ° ° ° 5 0 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости 5 6 2. Взаимное расположение првмых в пространстве 12 Глава П. Перпенднкулярность прямых и плоскостей ° 39 $ !. Перпенднкуллрность прямой и плоскости 39 0 2. Перпендикуляр и наклонныс.... 45 $ 3. Двугранный угол. Пепспдикулярность плоскостсй54 Вопросы к главе!!....... 65 Дополнительные задачи.... 65 107 !07 129 !96 $ 3. Параллельность плоскостей з 4.
Тстраздр и параллслспнпел. Вопросы к главе 1: Дополнительные задачи Глава П1. Многогранники в !. Понитнс многогранника. Призма 02. Пирамила . й 3. Правильныс много~ ранники Вопросы к главе 11! Дополнительные задачи Глава 1Ч. Векторы в пространстве 0 1. Понятно вектора в пространстве в 2. Сложение н вычитание векторов. Умножение на число 0 3. Конпланарные вектора Вопросы к главе 1Ч Дополнительные задачи ° Глава Ч. Метод координат в пространстве 0 1. Координаты точки и координаты вектора . 0 2, Скалярное произвеление векторов ° ° ° в 3. Движение Вопросы к главе Ч Дополнительные задачи !6 2! 29 30 72 72 92 95 95 !09 !!5 !22 123 129 !59 !82 !92 Глава Ч1.
Цилиндр, конус и шар ° 9 1. Цилиндр $2. Конус 9 3. Сфера . Вопросы к главе Ч1 Дополнительные задачи Разные задачи на многогранник, пилиндр, конус и шар 216 21б 224 233 244 24б 265 Глава Ч11. Объемы тел . 287 9 1. Объем прямоугольного параллелепипеда ° 287 9 2. Объем прямой призмы и нилиндра 291 9 3. Объем наклонной призмы, пирамилы и конуса 298 9 4.
Объем шара и плошадь сферы .. 32! Вопросы к главе Ч11 .. 32б Дополнительные задачи 329 Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар . 344 Задачи повышенной трудности 357 Глава У. Метод координат в пространстве В 1. Координаты точки и координаты вектора Х 400. а) на оси абсцисс лежит точка С (2; 0; 0); б) на оси ординат — точка Е(0; — 1; 0); в) на оси аппликат — точка В (О; 0; — 7); г) на плоскости Оху — точки А (3; -1 0), С (2; 0; 0) Е(0; -1;0) и и( — Г5; ГЗ; О); д) на плоскости Оуг-точки В(0; 0; — 7), Е(Р; — 1;0) и 6(О; 5; -7); е) на пяоскости Охс — точки В (О; 0; — 7), С(2; 0; 0) и 2) (-4; 0; 3). № 401. Координаты проекций точки А (2; -3; 5) на: а) плоскость Охж А„(2; 0; 5), Оху: А, (21-3; 0); Оус А, (О; — 3; 5); б) ось Ох: А„(2; 0; 0), Оу: А, (О; — 3; 0), Ос А,(0;0;5).
1 Координаты проекций точки В (3; -5; — ): 2 ! 1 а) на Охс: В, (3; 0; — ), на Оху: В, (3; — 5; 0), на Оус В, (О; — 5; --); 2 ' ' 2 6) на Ох В, (3; 0; 0), на Оу: В, (О; — 5; 0), на Ож В,(0;0; — ). 1 Координаты проекций точки С (-ГЗ; — —; 45 - ~ГЗ); 1Г2 2 а) на Охн С, ( ГЗ; 0; Г5 — ГЗ), на Оху; С,(-~ГЗ; — —; 0), на Оук Г2 С, (О- —;,ГЗ-,ГЗ); Г2 6) на Ох: С„(-~ГЗ;0;0), на ОуС, (О; —; Г2 0), на Ос С, (О; 0; ~Г5- ГЗ). № 402. Если А (О; 0; 0), В (О; 0; 1), 2) (О; 1; 0) и А, (1; 0; 0), то стороны куба равны 1, три ребра совпадают с тремя осями координат. Три грани являются плоскостями, Ряс 239 1ЗО Глава )/.
Метод кое дунет в и с анствв перпендикулярными к осям координат, отсекаюшими иа осях едипичныс отрезки (рис. 239). Следовательно по рисунку имеем: С (0„1; 1) В, (1; 0; 1) С, (1; 1; 1), О, (1; 1; 0). №403.Для а=Зс + 2/-5/сх= 3,у= 2, х=-5; координаты вектора а: й (3; 2; — 5). Для Ь=-Зси+ 3/' — /сх=-5;у =3;е=-1;Ь( — 5; 3; — !). Дляс=с -/х=1,у=-!,сиО;с(1;-1;О) Для с/=уз+/сх=Оу=!,а=1;с/(О; 1„'1). Для т = /с -с' х = -1, у = О, с =1; йс( — 1; 0; Ц Дляй=07/сх=О у =О,а=07;й(0;0;О 7).
№ 404. Для а (5; -1; 2) коэффициентами х, у, е в формуле а =х/ + ус + Й будут его координаты х = 5, у = — 1, х = 2; то есть а=5/ -)/+ 2Ь =Зси-)/+ 2/с Для Ь (-3; -1; 0) х=-З, у=-1, с=О; то есть Ь =-Зс -1уи+Ое =-3/ -3. Ддя с (О; — 1; О) х = О, у = — 1, г = 0; с =Оси -1уз+ О/с = -/.
Для с/ (О; 0; О) х = О, у = О, г = 0 и разложение будет выглялеть так: с/ = Ос + О/з + О/с = 0 № 405. Согласно п. 44 координаты точки равны соответствуюшим координатам радиус-вектора. Соот- ветственно для радиус-вектора ОА, рассмотрим точку А, (рис. 240). Проходяшие через нее плоскости отсекают на осях отрезки: ОА = 2 на оси Ох, 00 = 0 иа осн Оу и 00, = 2 на оси Ов Значит,ОА, (2; 0; 2).
Для точки В, это будут отрезки: )З) В й Коо дннатыгочкиикоо динагывекто а 00 = 0 на оси Ох, ОВ = 3 на Оу и ОО, = 2 на Ос. Значит,ОВ, (О; 3; 2). № 40б. Рассмотрим общий случай. Примем АВ и ОС вЂ” лва нскомпланарных вектора, нс имеюгцис обгцнх точек. Перенесем вектор ОС с помощью параллельного переноса так, чтобы точка О, его начала совпала с точкой В конца В, В первого вектора. Получим вектор О,С, или, что то же самое, вектор ВС„со направленный с вск- Рис.
24! тором ОС и равный ему по ллинс. По правилу сложения векторов АВ+ ОС = АВ+ ВС, = АСс Примем АВ (х,',у,; г,), ВС, (х,;у„'г,).Доказать, что АС, (х, ~-х,; у,+у-;с, +г,), Отрезок ОО, = 2, вектор ОО, лежит на оси Об Поэтому 00, (О; 0; 2). Для точки С имеем: ОА = 2 на Ох, ОВ = 3 на Оу и 0 на Ос; Значит, ОС (2; 3; 0). Для точки С, имеем: ОА = 2 на оси Ох, ОВ = 3 на Оу, 00, = 2 на Об Значит,ОС,(2; 3; 2). Вектор ВС, есть разность векторов ОС', и ОВ. ВС,= ОС вЂ” ОВ; ОС, (2; 3; 2), ОВ (О; 3; 0). Тогда ВС, (2 — 0; 3 — 3; 2 — О), ВС, (2: 0; 2). АС, =ОС, — ОА;ОС,(2; 3; 2),ОА, (2;0;О).
АС, (2 — 2; 3 — 0; 2 — 0), АС, = (О; 3; 2). О,С = ОС вЂ” И~,; ОС (2; 3; О), 00, (О; 0; 2). О,С (2 — 0; 3 — 0; Π— 2), О,С (2; 3; — 2). Глава К Метод коо динатвп ест анстве 132 Для доказательства выразим координаты этих векторов через координаты их начала и конца. АВ(х,— х„;у,— у„;с,— е„), ВС, (х<. -х„у, -у (ес -с,), ВС, зах„у,ивето х =х — х, »» х =х — х, с, » У У У У» =Ус, У» сд Вычислим суммы координатх, + х„у, + ум е, + с, х +х,=х,-х +х, -х,=х, -х У~+У» =У» У, +Ус, У» =Ус, У» Суммы координат соответствуют координатам вектора АС, равного сумме наших двух векторов АВ и ВС, ч. т.
д. № 407. а) Примем а+ Ь = р, х, у, =у, +у„у, =-5;у„=7 х,= 3+0= 3;у,= — 5+ 7= 2; р (3; г; 1) б) Примем а+ с = е х, =х„+ х, у, =у, +у, =-5+0=-5 т, =с, +е, =2+0=2 2 е(3-; -5; 2) 3' =х, +х„х„= 3;х, =0 с =2 — 1=1 » 2 2 =3+-=3— 3 3 2 2 в) Примем Ь+с =у',х, =х,+х, =О+ — =— Ус =У, +у, =7+0=7 3 3 =е, +с, =-1+0=-! с 2 .т=( —;7; — 1) 3 г) Примем В+ Ь=с,х, =х, +х„= — 2 7+0=-2 7 АС, (х, -х„;ус -у„;с, -е„), т.к. мы обозначили координаты вектора АВ за х„у, и г, а вектора В !.
Коо динаты точки и коо динаты векто а 1ЗЗ У, =У,+У,=З,(+7=101 Е, =Еь+сь =05-1=-05 г (-2,7; 10,1; — 0,5) д) Примем ьь'+ а=У,к, =х„+х, =-2,7+ 3=0,3 у, =у„+У,=31-5=-19 е, = е, + х, =0,5 + 2 = 2,5 к = (О,З; — 1,9; 2,5) 2 2 е) Примем а+ Б+ с =ь(х, =х„+ х, + х, = 3+ О+ — = 3-; У =У. еуь+У, =-5+7+0=2 3 3' е,=е„+ е, +е, =2 — 1+0=1 ьт=(3 —;2;Ц 2 3 ж) Примем Л+ а+ с( = (с, х, =-х, . х„+ х, =О+ 3-2 7 =0 3 У, =У, + У„+ у, = 7 — 5+ 3,1 = 5,1 еь =еь" е.+хь=-!+ 2+05=15 Iс = (0,3; 5,1; 1,5) з) Примем а+ (ь+ с+ аь =ль 20 27 3 20-81 61 29 х =х +х +х +к„=3+ — — — =3+ =3 — — =— 30 30 30 30 30 У.
=У, +У, +У, +У, =-5+ 7+04 31=51 е„=е,+х, +е, +хь=2-1+0+05=1,5 29 «ь=( —; 5,1; 1,5), 30 М 408. Иэ и. имеем: АС (х, — х„ус — У*' т — еь) Согласно рисунку 4 имеем: * А (4; 0; 0); В (О; 9; 0); С (О; 0; 2). Ус-У„=О-О=О т„— е„= 2 — 0 = 2 АС ( — 4; 0; 2); СВ(х,-хс У,— Ус Хь — т,) х — х =0 — 0=0 ь с уь — ус = 9 — 0 = 9' т., — т,. = Π— 2 = — 2; Рис. 242 134 Глава К Метод кое инат а п ост нстве СВ(0;9;-2). АВ (х, — хл, у, — у„; гл — ел). х — х =0 — 4=-4; л у — у =9 — 0=9' г -г =0 — 0=0; л л АВ( — 4;9;О).
МЛ' (Хм Хмл Ум Ум) Гм Хм). Координатй точек М, Ю и Р совпадагот с координатами векторов ОМ, Ол! и ОР соответственно. ! 1 1 1 Олт' = — ОС. Тогда ОФ(-х,; — у,; — г ); 2 2'2'2 1 1 ! ОФ(- 0; — ° 0; — *2); 2 '2 2 ОМ (О; 0; 1); Дг (О; 0; 1). Вектор ОМ: точка М вЂ” середина отрезка АС. Тогда 1(— ОМ м-~ОА+ОС~, 2~ х = -(х + х ) = — (4 + О) = 2; ! 1 2 " ' 2 1 1 у = -(у + у ) = — (0+ 0) = 0; м 2 л а 1 1 е„= — (г + т) = — (О ч-2) = 2; 2 " 2 М (2; 0; 2); ОМ (2; 0; 2). Млт' х — х = 0 — 2 = -2; м м у,-ум=о-о=о; — = 1 — 2 = — 1', м м МЯ вЂ” 2„0; -!). 11' —- Точка Р— се реди на отрезка ВС.
Тогда ОР = — ~ОВ+ ОС), 1. Коо динаты точки и кос инаты ввкто а 1 1 х = -(х + х.) = -(О + О) = 0; 2 ' 2 1 1 1 У =-(У +У)=-(9еО) 4-; 2 ' в 2 2' 1 1 е =-(х +т)=-(О+2)=1. 2 2 Р (О; 4-; 1); ОР (О; 4 —; 1). 2' 2 ВМ (х„— х„у„— у„; е„— х,), х — х =2 — 0=2; и в у — у =0 — 9= — 9; и в д„— е,=2 — 0 2; ВМ (2; — 9; 2). Ь7Р (х„— хв, ӄ— У ! е, — е,)' х — х =Π†0; в у„-у; — 4- — О =4 —; 2 2 †, =! †1; ч и гвр (О; 4 —; 0). 2 130 № 409, Координата разности двух векторов равна разности соотвстствуюших координат этих векторов. х„5; у„= -1; е, = 1 х, = О; у, = 0,2; х, = О 1 2 1 х = — 2 У=1вв =0 3 ' 5 ' 7 а) й-Ь=р б) Ь вЂ” а=г р (х, — х„'у, — у„е — г,) г (л; — х„; у, — у„; г, — Хи) р (5 — (-2); — 1 — 1; 1 — 0) г (-2 — 5; ! — (- 1); 0 — 1) р(7; — 2; 1) г( — 7;2; — !) в) а-с =ц г) гв'-й=е г) (х„— хй у„— уй к, — е,) е (х, — х,; у, — у„и вв — с ) 1 2 1 ву (5 — 0; — 1 — 0,2; 1 — 0) е ( — — 5; 2 — — ( — 1); — — — 1) 3 5 7 1ЗЕ д (5; — 1,2; 1) Глава К Метод кос динатв и ест анстве 1 2 ! е (-5-; 3-; -! -) 3 5 7 д)с-ьт'=У Г(х,— х,;у, — у,;с,— сь) ,Г' (О -( — ); 0,2 — 2-; 0 — ( — )) 3 5 7 1 1 у'(-; -2,2; — ) 3 7 е) а-Ь+ с: обозначим а-6 =йь, а — Ь+ с = йь+ с =й, следовательно т (х„— х,; у„- у,; с„— т„) й ((х, — х,) + х,; (у.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
