atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (546290), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Проверим: АС' = АВ'+ВС'. 6 = 4+ 2. Значит, треугольник АВС вЂ” прямоугольный разносторонний, г))АВ~= ( — 5+4)1+(2 — 3) ь(0-0)1 = /1+1-ьО= /2, )ВС1= ( — 4+ 5) +(3 — 2)1+(0+ 2) =1/1+1+4 = /6, )АС)= ( — 5+5) +(2 — 2)1+(О+2)' =1/О+О-;-4 =1/2. !ВС! ) )АС! ) (АВ!. Проверим: ВС' = АС+АВ, 6 = 4+2. Значит, треугольник АВСв прямоугольный равносторонний. М 432. Дано: А 1 — 3; 4; — 4), значит, точка А, — проекция точки Л на Оху — имеет координаты А, ( — 3; 4; 0); А, — проекция точки А на Оус — имеет координаты: А, (О; 4; — 4); А, — проекция точки А на Охе — имеет координаты Л, (-3; 0; -4).
По формуле расстояния между двумя точками (п. 45 в) учебника) е(= Найдем АА, = /ОеО+4' = 4, АА, = /3'+Оч-0 = 3, АА, = чгбч-4' = 4, то есть для А (х; у; с) расстояниями до координатных плоскостей булут )т), )у и )г). 152 Глава(/.Метадкоо динатв и ест анстве б) На ось Ох проекция А, точки А имеет координаты А, ( — 3; 0; 0), на Оу: А,(0;4;0), на ба А,(0;0;-4). АА,- 5+4'+4' =сл. сс = 3' ° 0 с =Я+О=5, АА, = /3'ч4' = 5. /ье 433. Для точки А (-1; 2; -3) проекция А, на координатную плоскость Оху имеет координаты А, (-1; 2; 0), на Оупвс А, (О; 2; — 3), на Охв А,(-1; 0; -3), Ж 434.
Наименьшим расстоянием булет длина перпендикуляре, опушенного из атой точки на ось координат, то есть расстояние межлу точкой и ее проекцией на ось координат. Координатами проекций точки на координатные оси будут абсцисса, ордината и аппликата атой точки. Значит, лля В (3; -4;.Г7 ) проекция В, на ось Ох булет иметь координаты В, (3; 0; О), на Оу: В, (О; — 4; 0), на Ов В, (О; 0; ~Г7). л/а 435. Найдем длины сторон ЛАВС по формуле расстоянии межлуд (АВ! = Сг с ф — Зс= /ВС/= (0+ 1) +(0-2) +(1 — 3) = ~Г1~-444 = ~/9 3, чс- О-ог"(о-от"+о-~)'-,Е.с~-ф Треугольник будет равнобедренным, если: 1) АВ= ВС, или 2) АВ = АС, или 3) АС = ВС. ПЖИ-3» -1, Н,6.(~-Ц'-3 8+ (/! - 3) '= 9, 1+ (/с — 1)' = 9 (/с — 3)' =1, (/с — !)' = 8 /с — 3 =1,/с = 4, /с — 1 = 2~Г2, /с = 2~Г2 + ! /с — 3 = — 1, /с = 2. /с — 1 = — 2~Г2, /с = 1 — 2 /2.
763 В д Кос динаты точки и кое динатыаекто а 31 18 (2-11' /3 3(8 — 35, 8+(/с — 3)' =1+ (К вЂ” 1)', 8 + /(2+ 9 — 6/с = 1 + /с' — 2/с + 1, 17 — 2 = 4/с, 15 15 = 4/с, /с = — = 3,75. 4 А В Рис, 245 № 436, (рис, 245). По формуле расстояния между двумя точка- ми найдем длины сторон трапеции АВС/): Щ-Я4-~)' (8-0!'т0-,50 30 с22-4 2.
(80( (О (3-0( (8-0( = 9+18= 25 5, !С/(= (1-0) +(4 — 3)'+(4-4) = /Г+!+О=;/2, !/)А! = /9+0+16 = 5. Т.к. (А с( = !СВ) = 5, то АВС/) — равнобедренная трапеции, если мы сможем доказать, что /)С(! А В„то ссть, что /)С и А В колл и неар н ы. Если сугцествует такое число /с, что Ь = /са и /с 08 О, то а и Ь коллинеарны (и. 38 учебника). АВ (-4;-4;0), С/) (1;1;О). Ясно, что АВ = — 4С/), т, е.
АВ и СЮ колл инеарны. Тогда, А В (! С/) н А ВС/) — равнобедренная трапеция. № 437. Имеем с) = из п. 45, тогда: а) Примем С (х; 0; 0) — точка на оси Ох, равноудаленная от то- чек А и В. Значит, СА = СВ, или в координатах: ( — 2-х)'+(3-0) +(5-0)' = (3-х)'+(2-0)'+( — 3-0)', 08 0г ' 9+25-09-8* ' 8 9, 8*+38 - 0Б'-Б 22 х' + 4х+ 38 = х' -бх+ 22, 10х = — 16, 154 Глава (у'.
Метод кос динатвл ест анстве х — 1,6; С( — 1,6; 0; 0). Равноудаленной отточекА и Вбудет точка С( — 1,6; 0; 0). б) Примем 13(0; у; 0) — точка на оси Оу, равноудаленная от А и В, АР= РВ. (-2-0)'+(3-у)'+(5-0)' = (3-0)'+(2-у)'+(-3-0)' 2)4+9-бу+у'+25= 9+4-4>+уб+9, Гу -бу'28- у'-бу у' — бу + 38 = у' — 4у + 22, 2у =!6, у = 8; (9 (О; 8; 0). в) Примем Е(0; 0; к) — точка навои Ое, равноудалснная отА и В. (-2 -0)' + (3 — 0)' + (5 — е)' = ,/(3 -0)' + (2 -0)' + (-3 — е)' 1 9 2920 ' (9 9 9 ° б (7-тб 28 ( ' б 22 е' — (0е+ 38 = г + бе + 22, 16е =!6, е = 1; Е(0; 0; 1). № 438. а) Примем на координатной плоскости Оху точка М (х у; 0) равноудалена от А, В и С. С помощью формулы (п. 45 учебника) - ((*, -*, т (у, -у, т (*, †,(' составим систему уравнений: ! АМ =ВМ АМ =СМ (равенство ВМ = СМ в таком случае вь(полняется а((тоыатически).
(АМ!= ( — 1-х)'+(2 — у) +(3-0) = Рис 24б 0 2 у' 2 — 99+2299. (Вбб(- (-2- ( (2-у( (2-0( - 1 9* 9 9-22+у' 9= = 4х'+у'+4х — 2у+9, 1оо тк~- 29-*9 2-2-9!' ° 22-9т-,%;Т 29'7+2- Р у' ° 2у 2 2Р у' 2* — 99 29= Р у' ° 2*-2у+9 9*' у'+2*-99+22=9е'ьу' 29 2 < х'+у'+ 2х-4у+14=х'+у'+4х — 2у+9 х'+у'+ 2х -4у +14 =х'+ у'+ 2у+ 2 < 2х+ 2у= 5 бу 2х+ 12 1 у=2+-х 3 1 у=2+-х 3 2 2х+4+ — х=5 3 3 х=— 8 1 3 у=2+-— 3 8 8 -х =! 3 3 !7 равноудаленаотто- 6) Примем на координатной плоскости Оуе точка 2У(0; у; е) равноудалена от А, В и С, следовательно А 222' = В2у (откуда следует, что и В)ч' = С2У).
А229 =СУ ~АУ)= ( — 1-0)'+(2-у)'+(3-е)' = !+4-4у+у'+9-бе+Г = - Гу'+ '-уу — 6 29. 1В222<= ( — 2-0) +(1-у) +(2-г) = 4+1-2у+у'+4-4т+т' = - 2у' '-2у-9 9, <СЛ21= (0-0) +( — 1-у) +(1-е) = О+!+2у+у.у+1 — 2с+е ° е= -922+У+229 у — — 2 2 + +22. б 1. Кое динаты точкии кое динатывекто 1 у=2+-х 3 2х+ 2(2+ -х) = 5 ! 3 1 у=2+-х 3 Точка М(-; —; О) лежит на плоскости Оху и 8 8 чекА, В и С.
2 2 — х=( 3 3 х=— 8 17 у=— 8 Глава К Метод кос динат в и ест анстве (ту' '-6699 -— 66++2266= Уу' '-2у-6 9 92'+ '-66у 2 — — 6 6+226 6(у' ' 2у — 2 2 ! у'+ т' -4у -ба+14 =у'+ д' — 2у -4т+ 9 у'+ с'-4у -бс.(.!4 =у'+ с'+ 2у — 2с+ 2 ! 2у+ 2д=5 бу+4с=!2 5 ! 2 — -бт+4с =12 б 5 2 < 5 3 2 2 (т(0; 1; -) 2т= 3 у=! 2 в) П римом на координатной плоскости Отх точка Р (х, 0; х) равноудалсна от точек А, В и С, слсдоватсльно АР=ВР (откуда слсдуст, что и ВР= СР). АР =СР !А)~ (-1-х)' +(2-0)'+(3-С) = !+ 2х+х' +4+9-ба+ау = 9*' т 1*-6 2266 !Вт( = ( — 2 -х)' + (1 -0)' + (2 - х) = 4+ 4х + х' + 1+ 4 -4т + ду = тл- (9-*т (-2-6(' (2-('-~2+2-1,° +т '- 977 '-2 2 (,9+7 1 -6 26-,Р 7+т':6: 9 9*'+л ьу* — 6 2266= (7 '-2 1 ! х'+ ау+ 2х-бд+!4=ху+ту+4х-4с+9 х'+ д' + 2х -ба+ 14 =х' + т' — 2д+ 2 < 2х+ 2х=5 2х =4д -12 157 1.
Кое динатыточкиикоо динатыаекто а с х=2с-6 4е -12+ 2х = 5 !7 гав б ! х=2с-6 бе =17 1 !7 Р( —;0; — ) 3 6 1 х= —— 3 № 439. а) Примем точка Р— центр окружности, описанной около ЬАОВ, следовательно ! АР= ВР=г , где г — радиус окружности; АР=ОР=г точки А, О, В и Р должны лежать в одной плоскости.
Но точка О(0; О; 0) совпадает с началом координат, А (4; 0; 0) лежит на оси Ох; В (О; 6; 0) лежит на оси Оу, значит (хАОВ лежит в координатной плоскости Оху, и тогла центр описанной окружности должен лежать в той жс плоскости. Значит, коорли наты центра: Р (х; у; 0). По формуле п. 45 учебника (4 — *) (Π— у) +(Π— О) 26-2* *'+у' 1ОЛ (О-*) (6-у) + (О-О) ~2 ЗБ-Туу у', ОУ( 4(О-*) (Π— у)' - (*' у'. Запишем систему: 1' (,ЯЬ *' уу:О,-Я '7-Т22 26 ,Ой *' уу-у*-,й' у' < 16+ х'+у' -8х =х'+у' -12у+ 36 16+ хг + у2 -8х =х' + у2 ! 8 =12у - 20 <к=2 8х =16 Координаты центра окружности, описанной около ЬАОВ: В (2; 3; 0). Радиус описанной окружности равен АР= ВР=ОР= г, г=,/х'+у' = /4+9= /ГЗ.
158 ОАВС, то ! ОР=АР АР =ВР ВР =СР Р11 = яп (*-ф ь-О) +( — О) «7-8* ° !б ° у' !Вт"! = )С)~ =- Запишем систему: (,г,у °, =~ ':ь у' +м Зг:ь у'' г ч= *' ° у' — lь+ ' 16= Т ум ь 4 х' + у' + с' =х' -8х+ у' + е' + !6 х'-8х+у'+ е'+ !б=х'+у' — 12у+ с'+ 36 х'+у'-!2у+ с'+ Зб=х'+у'+,"' ь4 +4 ! 8х=!6 12у =8х+ 20 12у +4х=32 х=2 12у =36 Зб ь4е= 32 х=2 у=3 е= — ! № 440. Примем прямоугольную систему коорлинат с началом в точке С и с осями: Ох — совпадаюшсй с отрезком СА, Оу — совпадаюшсй с отрезком СВ, следовательно точка 1) будет лежать на оси О;. Примем точка Ф вЂ” середина отрезка АВ. В нашей системс координат А (Ь; 0; 0), В (О; и; 0), С(0; 0; 0), О(0; 0; т).
Ряс 247 Глава К Метод кос динвтв и ест анстве б) Если точка Р (х; у; е) равноудалсна от вершин тстраздра В. Скаля ноеп оизведениевекго ов 159 ю(*"*' 2 2 2 (по формуле п. 45 учебника). (Ь а Подставив координаты точек А и В, получим: ДГ~ —; —;О), =~ ~2 2 Ь2 О2 10Л1 = — + — + гл'. 4 4 $2. Скалярное произведение векторов № 441. Сделаем рисунок (рис.
248). а) Векторы В,Ви В,Ссовпадают с катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника ВВ,С, значит, ВВ,*В,С = 45'. б)ВР=В,О,,т. к.онисонаправлены и имеют олинаковую длину. ВО=В,О, = — ОВ. Рис 248 в) А,С, и А, В совпадают со сторонами равностороннего треугольника А,ВС, (отрезки А,В, А,С, и С, — диагонали граней куба), н эзи векторы отложены изолной точки. Значит, А С, "А, В = 60'. г) ВС= АР ВС" АС = АС АР= 45'(какуголмеждустороной и диагональю квадрата). д) ВВ, = АА,; ВВ, АС = АА " АС = 90'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
