atnasyan-gdz-10-2001 (546292), страница 4
Текст из файла (страница 4)
АВС) пересекаются по прямой OK.Поэтому продолжим OK до пересечения с DC в т. L.Соединим точки K и L – ведь они лежат в однойплоскости.Противоположные грани АА1В1В и DD1C1C секущаяплоскость пересечет по параллельным прямым (потеореме II), поэтому в плоскости DD1C1C проведемLP || NM.Соединим т. Р и т. М.MNKLP – искомое сечение.41б)1.2.3.4.5.6.7.ПостроениеСоединим т. K с т. М.Точка N ∈ грани AA1D1D и секущей плоскости.Секущая плоскость, проходя через т. N, пересечетпараллельные грани AA1D1D и ВВ1С1С по параллельным прямым; поэтому в пл.
AA1D1D проводимNP || KM.Проводим РМ.Секущая плоскость проходит через т. K и пересекает противоположные грани АА1В1В и DD1C1C попараллельным прямым; поэтому в пл. грани АА1В1Впроводим KL || MP.Соединим т. L и т. N.KLNPM – искомое сечение.ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ I1.Верно ли утверждение: если две прямые не имеютобщих точек, то они параллельны?Нет. Параллельные прямые должны еще и лежать в одной плоскости.2.Точка М не лежит на прямой а.
Сколько прямых, непересекающих прямую а, проходит через точку М? Сколько изэтих прямых параллельны прямой а?а) Бесконечное несчетное множество;б) одна (п. 3, теорема).3.Прямые а и с параллельны, а прямые а и b пересекаются. Могут ли прямые b и с быть параллельными?Ответ: нет, иначе через точку пересечения а и b проходило быдве прямые, параллельные с.4.Прямая а параллельна плоскости α. Верно ли, чтоэта прямая: а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α; б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α;в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости α?а) Да; б) нет; в) да.425.Прямая а параллельна плоскости α. Сколько прямых, лежащих в плоскости α, параллельны прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости α?а) Бесконечное множество;б) да.6.Прямая а пересекает плоскость α.
Лежит ли в плоскости α хоть одна прямая, параллельная а?Нет.7.Одна из двух параллельных прямых параллельнанекоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?Нет. Вторая прямая может лежать в этой плоскости. По определению, если прямая параллельна плоскости, то они не должныиметь общих точек.8.Верно ли утверждение: если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу?Нет (прямые могут пересекаться или скрещиваться).9.Две прямые параллельны некоторой плоскости.Могут ли эти прямые: а) пересекаться; б) быть скрещивающимися?а) Да (см. предыдущую задачу);б) да (см. предыдущую задачу).10.Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с?По отдельности – да, вместе нет (если так, то a || b, а они, по условию, скрещивающиеся).11.Боковые стороны трапеции параллельны плоскостиα.
Параллельны ли плоскость α и плоскость трапеции?Да. Боковые стороны пересекаются, а через две пересекающиесяпрямые проходит плоскость, и притом только одна.Раз каждая боковая сторона параллельна пл. α, то и плоскостьтрапеции будет параллельна пл. α (по известному признаку).12.Две стороны параллелограмма параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость параллелограмма?43Да.АВ || α; DC || α, но пл. ABCD не параллельна α.Ответ: Не обязательно (возможны оба случая).13.Могут ли быть равны два непараллельных отрезка,заключенные между параллельными плоскостями?Да. Например, здесь ABCD – равнобедренная трапеция.14.Существует ли тетраэдр, у которого пять угловграней прямые?Нет, так как граней всего 4, они являются треугольниками, а треугольника с двумя прямыми углами (это – по счету 5-й угол) не существует.15.Существует ли параллелепипед, у которого:а) только одна грань – прямоугольник; б) только две смежныеграни – ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы гранейпрямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всехтупых углов граней?а) Нет (противоположные грани – равны);б) нет (по той же причине);в) нет (таких параллелограммов не существует);г) да (прямоугольный параллелепипед);д) нет (в каждой грани два острых и два тупых угла), либо всепрямые.16.Какие многоугольники могут получиться в сечении: а) тетраэдра; б) параллелепипеда?а) Треугольники и 4-угольники; б) 3-, 4-, 5-, 6-угольники.44ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I88.а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость α в некоторойточке Е.
б) Найдите отрезок ВЕ.ABCD – трапеция, CD пересекается с АВ, АВ ⊂ α, потому CD пересечет в некоторой т. Е.Рассмотрим плоскость трапеции.∆AEC ~ ∆BED;AE EC AC==;BE ED DB8AB + BE AC AB=+1 = ;;6BEDB BEAB 1= ; ВЕ = 12 (см).BE 389.1.Через М1 и М2 проводим медианы АЕ и DE.2.DM 2 =22DE , AM 1 = AE .33453.общий;Проверим, будет ли ∆AED ~ ∆M1EM2. ∠Е у нихAEDE=– тождество, значит, соответствующие стороны11AEDE33пропорциональны, поэтому ∆AED ~ ∆M1EM2.4.Из подобия треугольников следует, что ∠1 = ∠2 и∠3 = ∠4.5.Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:AD || M1M2.90.а)Раз АВ ⊂ α и DC || AB, то CD || α (по известной теореме).б)CD не параллельна АВ ⇒ CD пересечет АВ, т.е.
и плоскость α.91.a || bИз аксиомы А3 (п. 2) следует существование прямой с, проходящей через т. М, параллельной а и b.46α — плоскость, в которой лежат а и с;β — плоскость, в которой лежат с и b;с ⊂ α, с ⊂ β, то есть эта прямая и есть прямая пересечения α и β.А по построению она параллельна прямым а и b.Утверждение доказано.92.Доказательство дано в п. 6, 2о.93.Так как MN не параллельнаb и MN не пересекает b, то MNи b скрещиваются.94.Пусть скрещивающиеся прямые аи b.Через т.
В и b можно провестиединственную пл. α - следствие аксиомы А1. Аналогично через т. В и а.т. В – общая пл. α и пл. β. Плоскости пересекаются.Ответ: да.4795.В пл. α всегда найдетсяпрямая b || a; раз β пересекаетсяс а, то и b пересекается с β,значит, β пересечется с α.96.Соединим точки А и В.А, В, С, D лежат в одной плоскости, что следует из факта m || n.AB || CD (по известной теореме).Рассмотрим 4-угольник ABCD:AC || DB – по условию;AB || CD – по доказанному;ABCD – параллелограмм.По свойству параллелограмма АС = DB (как противолежащиестороны).97.АО || O1A1 и OB || O1B1.48Доказательство дано в п.
8По теореме п. 10 α || β. В пл. β из т. О проведем ОС1 || OB.OB || O1B1 || O1C1Согласно теореме п. 4 через т. О1 может проходить только единственная прямая, параллельная ОВ. Поэтому, точки В1, О1, С1 лежатна одной прямой В1С1.∠В1О1С1 = ∠В1О1А1 + ∠А1О1С1 = 180о.98.Да, существует; такая плоскость только одна.Выберем на прямой а || α произвольную т. А. Тогда через т.
Аможно провести единственную плоскость, параллельную α (задача59, решена в учебнике).Пусть через а можно провести другую пл. β; β || α. Тогда черезпроизвольную т. А ⊂ а проходит сразу две плоскости, параллельныеданной плоскости α. А это противоречит доказанному утверждению.99.Согласно п. 11, 1о АА1 || BB1 || CC1Рассмотрим плоскость ОАА1. В ней по теореме о пропорциональных отрезках выполняется доказываемое утверждение.49Замечание. Если две параллельные прямые пересекают 3 плоскости, то согласно п. 11, 2о, длины отрезков между двумя плоскостямиравны, поэтому их отношения тоже равны.100.а и b – скрещиваются, а ⊂ α.По теореме о скрещивающихся прямых (п.
7, теорема вторая),через прямую а можно провести единственную плоскость β || b.Докажем, что через т. А можно провести плоскость γ, такую что γ || β.Через точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости β не проходящей через т. А.Проводим в пл. β через некоторую т. В две произвольные прямые BD и ВС. Строим две вспомогательные плоскости: плоскостьМ – через т. А и прямую ВС и плоскость N – через т. А и прямую BD.Искомая плоскость, параллельная пл. β, должна пересечь пл. М попрямой, параллельной ВС, а плоскость N – по прямой, параллельнойBD (п.
11, 1о). Отсюда способ построения пл. γ: через т. А проводим50в пл. М прямую АС1 || BC, а в пл. N прямую AD1 || BD. Через прямыеАС1 и AD1 проводим пл. γ. γ – искомая, так как стороны ∠D1AC1,расположенного в пл. γ, параллельны сторонам ∠DBC, расположенного в пл. β. Значит, γ || β.Так как в пл. М через т. А можно провести лишь одну прямую, параллельную ВС, а в плоскости N через т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
