atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Найдем РН(рис. 95). Рассмотрим ~АСН: ~АНС = 90', к'.НАС= д, АС = ль Тогда нз МОНС Рис У5 по теореме Пифагора (т. к. РС.). СН, т, е, к'.С = 90') оа'-ас' сн =. ° ';~;„,,, он-,7,7 Гю № 157. а) Провалам высоты 07., ОМ, ОН, ОР треугольников ОАВ, ОВС, ОСР, ОРА соответственно. ОР— является проекцией КЬ на плоскость АВСР, т. к. ОР .(.
АВ, то, по теореме о трех перпенликулярах, КР .ь АВ и следовательно длина КР есть расстояние от точки Кдо прямой АВ. Аналогично КМ, КН, КР— расстояния от точки К до прямых ВС, Рис 96 СР, РА соответственно. ЬОК(. — п ямоугольный (т. к. КО (.АВСР, то КО (. ОР, значит Ю. = ОК' ОА', КМ = 'КО'+ОЬ'.КИ КО'+0%', к~=,'70 О~ . Но заметим, что ЛАОВ = тхВОС = ~хСОР = ЛРОА по трем сторонам (т. к. диагонали точкой пересечения делятся пополам и АВ = = ВС= СО = АР, т. к. АВСР— ромб).
Следовательно, и высоты этих треугольников равны ОМ = 00 = ОФ = ОР. Тогда КР = КМ = КН = КР. б) Чтобы найти это расстояние, надо найти ОР. Рассмотрим сзАОВ: 2. Пе пендик ля и наклонные Рмс. 97 1 1 АО = — АС = 3 дм, ВО = — В2) = 4 дм. 2 2 л'.ВОА = 90', т. к. диагонали ромба перпендикулярны.
По тсорсме Пифаго а А АВ = ОА'+ ОВВ АВ = з/9+ 16 = 25 = 5 дм. 3 3 Тогда яп лАВО = —. 5 Рассмотрим сзОЫ: В нем а|п к.к.ВО = —. 02 О В ОВ Значит ОЕ = яп к.'ЕВО ОВ. Таким 3 12 образом, ОЕ=- 4= —. 5 5 2 44= ОК' 04'-Д5' ° 24'- 22555 52. КЕ = КМ = КН = КР = 5,1 дм № 158. Проведем высоту ВН в тре- М угольнике АВО. Заметим, что Н попадает на АО, т. к.
АВ2) — равносторонний, т. к. к'.А=60' иАВ=АР1рис. 98). Из этого треугольника найдем ВИ: ВН а|п КВАН= —, следовательно В АВ ВН = з|п 60 АВ = — 25. /3 2 Так как ВН является проекцией МИ и ВН 3. АК то из теоремы о трех перпендикулярах слелуст, что МН 3 АО. Таким образом МН вЂ” есть расстояние от точки Мдо прямой АВ. В Ь МВН ЕМВН = 90'. Значит по теореме Пифагора МО МВ'+ВО' = 52 5' — 25' =25 2 3 2 4 С Рис. 9О 52 Глава П. Пе пендик ля ность и ямыхиплоскасгей № 159.
Пусть прямая, по которой пересекаются плоскости АОМ и ВСМ это прямая а (рис. 99). Так как ВС 11 АО, следовательно, ВС 11 АМОи т. к. прямая ВСлежит в плоскости ВМС, то прямая а параллельна ВС (утв. Г, п. б). Таким образом, а 11 ВС, а!1АО. Так как ВС .1 АВ (АВСΠ— прямоугольник) и ВС.). МВ(т. к. МВ~.АВСО), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что ВС.) АМВ. Следовательно, а.1.АМВ(потеоремс и. 1б). Рис 99 № ! бб.
Пусть даны плоскости а и () и точка А лежит на плоскости а, а точка Влежит на плоскости Д (рис. 100). Рассмотрим проекции АВ, и ВА, отрезка АВ на плоскости а и 1з соответственно. АА, .Е )3 и ВВ, .ь сс Значит, т. к. расстояние между плоскостями равно г(, то АА, = ВВ, = Д. Тогла ЛАА,В и АВВА равны по катету и гипотенузе (АА, = ВВ, и АВ— Рис. Ид обшая сторона). Слеловательно, ВА, = АВ„что и требовалось доказать. АВ; св' — ВВ,'-469 — 25-12 № 161. Так как к.АВС< 90', то прямая АВ не перпендикулярна плоскости ВСО, значит се проекцией будет прямая ВА, (рис.
! О1). Проведем прямые АЕи АО, перпендикулярные к ВСи ВО. Тогда АР проекция АР а А О проекция АО на плоскость ВСО соответственно. Значит по теореме о трех перпендикулярах АВ.1 ВЕ, а АО.). ВО. Таким образом, ЕВРА и ьзВОА — прямоугольные. Но кА ВС = САВО и у этих треугольников общая гипотснуза АВ, Таким образом, по признаку равенства прямоугольных треугольников йАВС = БРАВО. 2. Пе пен ик ля и наклонные Тогда А,Г = А,О.
Аналогично доказывается, что любая точка, являющаяся проекцией точкой прямой ВА, равноудалена от прямых ВСи ВР, а следовательно, лежит на биссектрисе угла СВР. Т.е. проекция АВ и является биссектрисой с.'СВР. Рис. 00 № 163. Пусть проекция точки А— этоА,.ТогдаАА, перпендикулярнак данной плоскости. й частности АА,З. А,М. Таким образом, с'АМА, — прямоугольный и ~АМА, =<р. Это и есть угол между прямой АМ и плоскостью, (рис.
032) а) 1р= 45',тогда А М=соа45*-АМ= — И. Л 2 б, в) Аналогично п, а). Рис. (02 № 164. Хиаэдб33й: Найти сощ. № 165. Пусть проекция точки А это точка О. Тогда ОВ и ОС вЂ” проекции АВ и АС соответственно. Таким образом, кАВО= ~АСО=ЗО'(по условиюю). Тогда сэАВО = сэАСО, т. к. эти треугольники прямоугольные и они равны по катету и острому углу. Р . )ЕЗ Тогда ОВ = ОС, Таким образом, сзВОС вЂ” равнобедренный. Причем ОВ = сга ~АВО АО = 3 В = ОС. Найдем ВС по теореме косинусов: ВС' = ОВ'+ ОС' — 2ОВ ОС соа к'ВОС ВС' = ЗИ'+ 3 И' — 2 Зс" (- -) = 9И'. Таким образом, ВС = ЗИ. 1 2 54 Главе И.
Пе пенди ля настыл ямыхиплоскосгей 8 3. Двуграниый угол. Перпепдпкулярпость плоскостей № 166. Точка С вЂ” это проекция точки А на плоскость а. Таким образом, С — проекция АВ на плоскость а. Так как АВ). МФ, то по обратной теореме о трех перпендикулярах СВ 5. МФ. Но это и означает, что СВА -линейный угол двухгранного угла СМй1А ( рис.! 04). Рис !04 № 167. Так как ЬРАС вЂ” равносторонний, значит медиана .РМ является высотой МР3 АС Аналогично ВМ 1. АС.
Таким образом, 4'.ВМР— линейный угол двухгранного угла ВАСР (рис. 105). № 168. Пусть грани двугранного угла — это а и В. Данная точка — это точка А и Риг. 705 лежит в грани а. Проведем псрпендикуляр АС к грани В. Тогда АС = г). Проведем перпендикуляр АВ к ребру двугра нного угла. Тогда АВ и сеть расстояние от точки А до ребра двугранного угла. По задаче 166 ~АВС вЂ” линейный угол двугран ного угла. Таким й' образом ~зАВС = га. Тогда, так как ПАСВ = 90', то АВ =— ейп <р № 169. Обозначим общее ребро МХ Общая грань пусть будет МУВ, а остальные грани МХА и МФС (рис. 106).
Возьмем точку Г на прялюй МФ и проведем перпендикуляры ГР, Гй, ГЗ в гранях Мй1А, М)УВ, МФС. 3. в г анный гол. (7е пенди ля ность плоскостей 55 Так как прямые РР и РЯ лежат в одной плоскости АМ%С, то Р, Я, Рлсжат на одной прямой, перпендикулярной к МФ. Тогда ЕЯГР и ~ЯРВ— линейныс углы двугранных углов ВМНА и ВМНС соотвсгсгвенно. Но ~ЯГХ+ ~ВРР = 180', следовательно и сумма лвугранных углов равна 180'. Ряс !Оо № 170. Проведем прямую ВН, В перпендикулярную к АС.
Точка Н лежит на прямой АС (рис.!07). Тогда НВ, проекция НВ на плоскость а. Таким образом ЛВНА прямоугольный (хВНА = 90'). Так как х.ВАС= 150', то ЕВАН = 30'. Тогда Рьг. !О7 1 ВНг а!п~ВАН АВ=- 2=1см. 2 Так как АН 3. ВН, то по теореме о трех перпендикулярах следует, что В,НЗ.АН. Таким образом, ЛВНВ, — линейный' угол двугранного угла ВАСВо Таким образом ЕВНВ, = 45', ~ВНВ,— прямоугольный (САВВ,Н= 90'), поэтому чГ2 Г2 ! ВВ, = яп к'.ВНВ ВН = — 1 = — см. 2 2 сГ2 Таким образом, от точки В до плоскости а — — см, а 2 расстояние отточки Вдо пряной АС вЂ” ! см. № 171. Обозначим данный треугольник АВ17, где ~А = 90', а проекцию точки А на плоскость а„за точку С. Проведем высоту А Н треугольника ВА2). Так как Е ВАР равнобедренный, то Н вЂ” середина В!7 (рис. 108).
Тогда СН проекция АН на плоскость а и по теореме о трех перпендикулярах СНЕ В2) (т. к. АН 3. В27). Таким образом ~А НС вЂ” искомый угол. Так какАСь сг, тоАС3. ВС. Таким образом ЛАВС вЂ” прямоугольный и т. к. ВС вЂ” зто проекция ВА на плоскостью а, то к.'АВС = 30'. (левал. Пе пендик ля остыл ямыкиплоскостей Обозначим АВза а, т.
с. АВ = а Тогда ВС= а соз~АВС= — и. чт3 2 а АС= з!и 30 и = —. Тогда из с'.ь4В2) 2 В2) = ч'а' + а' =,Г2а. ч'2 Значит ВН = — а, Так как 2 СН.~ В0, то 1зВСН вЂ” прямоуголь- 3 н ый, тогда СН' = ВС' — ВН' = — а— 4 Рис 108 2, 1 а —.-а = — а. Таким образом, СН= —.
4 4 2 Значит в гХАНС: кС = 90' и АС =СН = —. Таким образом, ЛАНС = 45'. № 172, Пусть. гочка В, — проекция точки В на плоскосп сс Тогда СВ, — проекция СВ на плоскость а (рис. 109). В Но СВ .~ АС (т. к. к.'АСВ = 90'). Следовательно, СВ, 2 АС(по теореме о трех перпендикулярах). Значит к'.ВСВ, — угол между плоскостями АВС ихс Таким образом к'.ВСВ, = 60'. Заметим, что так как ВВ, 3.
а, то ~ВВ,С= 90. Поэтому В,В = ВС з!и ~ВСВк Рис /09 йАВС вЂ” прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора ВС'=АВ' — АС'= !69 — 25 =!44ВС= 12 ем. Отсюда ВВ, = !2 51п 60' = 6 ГЗси. № 173. Плоскость 0АС перпендикулярна к плоскости АВС, т. к, она проходит через прямую ВС, перпендикулярную к АВС (по теореме п. 23) (рис. 110). Поэтому двугра нный угол 2)АСВ равен 90 . Заметим, что ~ьВБС и Ь А2)С вЂ” прямоугольные (т. к. ВС~.
ВС и ВС 3. АС), и АС= ВС, а катет 1)С вЂ” общий. Поэтому эти треугольники равны. Стедовательно, А2) = В2). 93, е г енный гол. Пе пен ик ля ность плоскостей 57 Проведем медиану СНв ПАСВ. Так как 5АВС вЂ” правильный, то СНявлястся высотой СН1 А В. Но РЙ вЂ” медиана, а следовательно, и высота равнобедренного треугольника АРВ. Поэтому ЮН1АВ. Значит ~ЮНС вЂ” линейный угол двугранного угла РАВС. Найдем ЮС из ЛьВЮС: ЮС'= РВ' — ВС'= 9 7 — 36 = 27. ЮС= Зч3.
Найдем РН из 1~РВИ: к'.РНВ = 90' и Рос РО ВН вЂ” АВ=3.Таким образом РН =РВ' — НВ=63 — 9=54, РН= 1 2 = Зчгб. Тогда из ЭРНС: гйп Е 0НС = — = ЮС ЗЛ 1 Г2 РН 376 )2 2 ' Значит к'.ЮНС = 45'. Линейный угол двугранного угла ВЮСА — это кАСВ, т. к. ВС 1 ЮС и АС1 РС(т. к. ЮС перпендикулярна к плоскости АВС), но ПАСВ = 60', т.
к. йАВС вЂ” правильный. № 175. Указание: Воспользовавшись задачей 167, доказать, что треугольники, которые возникают при том построении равны, а следовательно и равны углы. С Рис. !Н № !74. Так как РА 1 АС и РА 1АВ, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости РА 1 АВС. Поэтому АС проекции ЮС на плоскость АВС (рис. 111). Тогда по теореме о трех перпендикулярах из того, что АС 1 ВС следует, что ЮС 1 ВС. Таким образом сАСР— линей- А ный угол двугранного угла АВС0. Найдем СР из ЛВЮС: С2У = В2У- ВС'= 125-25 = 100.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
