atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. 7зМВР прямоугольный (хМВР= 90 ). й Пе лендик ля ность п ямой и плоскости МА'= МВ'+ ВА', МА = /и'+и' мВ= ( у )мс= тсВ'+се та+ ' МР' = МВ' + ВФ= МВ* + ВС' + СР' (т.. ~хВСР— прямоугольный, с'.С = 90'). Значит МР'= т'+ 2и'. б) По залаче 129 МО 2 АС, Π— точка пересечения диагоналей, значит схМВΠ— прямоуюльный, а расстояние от точки Мдо прямой АС вЂ” это МО. МО'=МВ'+ ВО'= ~в'+ —,т.к. ВР= — ВР=- Г2и и' 1 1 2 2 2 Расстояние от точки М по ВΠ— это МВ = а (по условию), № 131. Так как АВ = АС, то йВАС— равнобедренный, АМ вЂ” его медиана, следовательно АМ вЂ” ею высота, т.
е. А М.~ ВС (рис. 78). схВРС-также равнобедренный. РМ— его медиана, а следовательно и высота. Таким образом, ВС 2 М0. Таким образом, ВС перпендикулярна пересекающимся прямым АМ и МР, Значит прямая ВС перпендикулярна к плоскости АМР. Рис. 78 № 132. Пусть а 11 б и а 2 и. Докажем, что а 2 (). Пусть прямая а пересекает плоскости а и() в точках А и В. Проведем в плоскости а прямые Ь и с через точку А. ЧерезточкуВпровсдем прямые Ь' и с', параллельные прямым Ь и с соответственно (рис, 79). Прямые Ь' и с'лежат в плоскости () (см.
задачу 56). Рис. 79 44 Глава д. Г(е пандик ля ность и ямыхи плоскостей Таккакада,тоа.).сиад Ь,тогда полеммеп. 15 следует, что а .!. с' и а Х Ь'. Но следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что а э'. !3, что и требовалось доказать. № 134. Проведем через точку М прямые (з и с, перпендикуляр- Ь ные к прямой а. Через прямые Ь и с проведем плоскость .
Тогда а 1 по признаку перпендикулярности прямой и плоскости а.~ а. Докажем, что прямая А перРис 80 пендикулярная к а, лежит в плоскости а (рис. 80). Предположим, что это не так. Проведем плоскость р через пряные а и 4. Плоскость !5 пересекается с плоскостью а (т, к. есть общая точка М). Обозначим прямую пересечения буквой г/. Тогда, так как гР и а, а и Х а, то а .1. И'. Но таким образом, в плоскости р есть две прямые В и сп, проходящие через точку М, перпендикулярные к прямой а.
Но это невозможно. Значит прямая И лежит в плоскости а. № 135. Обозначим точку пересечения прямой а и плоскости а буквой А. Проведем через точку А прямую Ь', параллельную прямой Ь. Тогда а 5. Ь' (рис. 8!) По задаче ! 34 следует, что д' лежит в плоскости а. Таким образом Ь 11 Ь' и Ь' в о„следовательно Ь 11 а. Рис, й! № 136. Заметим, что точка Х лежит на середине перпендикуляра ОХ к АВ. Но прямая ОХ лежит в плоскости, перпендикулярной к отрезку АВ и проходящей через точку О (по задаче 134). Значит и точка Хлежит в этой плоскости. № 137. Обозначим наши прямые а и Ь.
Докюкем, что через прямую а проходит плоскостью а, такая что Ы.а. Р 8. Пе пендик ля и наклонные 45 Возьмем точку М на прямой а и проведем через точку Мпрямуюс,такуючтос)Ь.Тогда,т. к. Ь 1си Ы а, слелует из леммы п. ! 5, что с 3. а (рис. 82). Значит прямая а лежит в некоторой плоскости, прохоляшсй через точку Ми перпегщикулярной прямой с. Назовем эту плоскостью а.
Докажем, что Ь) и. Действительно, т. к. Ь1с, а с3.а,тоизтеоремы и. )бследует,что Ысь Рис 82 $2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью № 138. а) Обозначим данную точку А. Основание перпендикуляра В. Основание наклонной С (рис.83). Тогда угол 4САВ = гр, а кА ВС = 90', т. к. А В 5. и, слеловательноАВ.ЕАС, т. е. 2зАВС вЂ” прямоугольный . АВ И АС= — = —; ВС=(яо АВ саяр саяр Ркс. 83 б)АВ=м саяр; ВС=лг яп<р. № 139. а) Обозначим наююн- А ные АВ и А0, а перпендикуляр АС (рис.
84). Тогда АС 3. СВ и АС 3. СР. Тогда сзАСВ и ЛАСО прямоугольные. АВ = АР, АС вЂ” общая сторона 2зАСР и ПАСВ. Следовательно, по признаку раРис 84 венства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе) Л~А РС = ЛАВС, РС = СВ. б) Аналогично п. а). в) Предположим, что АВ > АР. Тогда ВС" = АВ' — АС"„СФ = А)У вЂ” АС' Так как АВ > АР следует, чтоАВ' > АК тогда АВ' — АС' > АР'— — АС'. Значит ВС" > СР', т. е. ВС > СР, что и требовалось доказать. 40 Глава (1.
17е пенди ля ностьп ямыхи плоскостей № 140. Так как КВАС вЂ” равнобелренный (АВ =АС), а с.ВАС= 60, то этот треугольник равносторонний. Значнг, АВ= ВС Найдем АВ: сЗАОВ— прямоугольный. Значит АО АО АВ= соз ~ВАО соз60 АВ 2 1,5 =- 3 см, т. е. ВС = 3 см (рис. 85). Рис, 85 № 142. дкаазаннбд: Доказать, что перпендикуляр СС,, где С— середина отрезка АВ, сеть средняя линия трапеции АВВ Ас Тогла и СС, = — (АА, + ВВ ). 1 № 143. Докажем, что О проекция точки М на плоскость сЗАВС.
Это точка пересечения медиан сзАВС(рис. 87). Действительно, т. к. МА = МВ = МС, то А по задаче 139а) слелует, что ОА = ОВ = ОС. Рис. 87 т. к. АВ = ВС=АС, тогда бзАОВ= .'ОВОС= = сЗ СОА (ло трем сторонам). Значит БРАВО = лСВО = к'.ВСО = к.ОСА = НОАС = к'.ОАВ.
Т. с. ВО, СО, АΠ— биссектрисы углов А, В, Стреугольника АВС. Но сЗАВС вЂ” правильный, значит АО, ВО, СΠ— медианы. Обозна- № 141. Обозначим данный отрезок АВ. И пусть точка А лежит в плоскости а. Тогла ВВ, =. 6 см, где В, — проекция точки В (рис.86). Пусть точка М вЂ” середина АВ, тогда М е АВ„М, — проекция точки Рис. 88 М, Так как М е АВ (см. и.
21). Тогла ММ,)) ВВ„т. к. ММ,ьссиВВ,2а. Тогда АМ: МВ = АМ,: М,В, = 1:! по т. Фалеса, т. е. М,— середина АВ„т. е. ММ, — средняя линия САВВ, и, следовательно, ММ = —.ВВ = Зсм. 1 2 42. Пе пендик ля и наклонные 47 чим точки пересечения этих медиан с противоположными сторонами А„В„С, соответственно. Рассмотрим ЬМВС. МА, — мелиана, а следовательно и высота (т. к.
МВ= МС).т.с. МА,З.ВСи ВА, = — ВС 3 ем. ) Значит МА,' = МВ' — ВА,' = 7, МА, = ~Г7 см. Рассмотрим Л АВС: АА, — медиана и высота. АА,' = А В' — ВА,' = 27, АА, = 3 /3 ем. Но точка О это точка пересечения медиан, значит ОА = — АА =зГЗем. ! 3 Тогда из Г МОА, слсдуст что МО' = МА,' — ОА,' = 7 — 3 = 4, т. с. МО = 2 см. М 145, а) Так как ОА 3. (АВС), то ВА .'ь СВ, но СВ 3. АС, значит по признаку псрпеидикудярности прямой и плоскости СВ перпендикулярна плоскости АОС, значит СВ .( ОС, т. е. ~ОСВ = 90', т.
е, сз 1)С — яр ям оу гол ьн и й. 0) ВΠ— гнпотснуза ПОСВ, значит А ВО'= ОС'+ СВ'ВО= а'+ Ь'. Рис 88 Ы 146. Рассмотрим прямую Ь, которая является проекцией прямой д на плоскость а (рнс. 89). Через точку М в плоскости сг проведем прямую с, перпендикулярную к Ь. Тогда по теореме о трех перпенликулярах с Л.а. Докажем елин- ственность прямой с. Пусть сушествуетпрямаяа,такчтоаеа иаз.а. Ь Тогла, т. к. пряиыс а и с перссекаются в точке М, то по признаку пер- сс ае с пендикулярности прямой и плоскости следует, что а 3. а.
Но по условию это не так. Следовательно, с — единствен- ная такая прямая. 48 Глава ГС (7е пендик ля ность и ямых и плоскостей № 147. Ж(аздцие; Аналогично задаче !45 доказать, что ОС ь МВС и ОА Е А ВМ. № 148. Так как ЛАВС вЂ” правильныйй, а АМ вЂ” медиана, то АМ вЂ” также и высота. Значит, АМ 3. ВС (рис. 90). Так как АК перпендикулярна плос- костнАВС,тоАК3 ВС.
Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что ВС 3. А КМ. Тогда ВС Л. КМ, что н требовалось доказать. Рис 9Р № !49. Пусть Е - середина ВС Тогда АЕЕ ВС т. е. ЕА — расстояние от точки А до прямой ВС. Заметим, что ЕА — проекция РЕ на плос- 0 В кость АВС. Значит нз того, что АЕ3. ВС следует, что РЕ3 ВС(по теореме о трех перпендикулярах). А Е Таким образом, РŠ— расстояние от точки Одо прямой ВС(рис, 91).
Найдем АЕи РЕ: ВЕ = — ВС 3 см. 1 С 2 Рие 91 .6АВŠ— прямоугольный, тогда по теоре- ме Пифагора АЕ' = АВ' — ВЕ' = 25 — 9 = 16, т. е. АЕ = 4 см. Е~РАŠ— прямоугольный, т. к. ОА.~ АЕ, значит ОЕ' = ОА'+ АЕ', ОЕ= ч(44+16 =4 /ГО ем. № 150, а) Так как АК перпендикулярна к плоскости АВСО, то АКЕ АО (рис. 92). А — проекция КВ на плоскость АВСР.
КВ 3. ВС по теореме о трех перпендикулярах. По теореме Пифагора: ВС = /81-49 = 4 Г2 ВС= А О, т. к. АВСО прямоугольник. Таким образом, АО = 4~Г2. Тогда из х".хАОК по теореме Пифагора следует, что АК = К1У вЂ” АО', АК = Лб — 32 = 2 см. 2. Ле пендик ля и наклонные 49 б) Заметим, что СО 11 АКВ, т. к. СО 11 АВ. Значит, расстояние между СО и А Кость расстояние между СР и плоскостью АВК. т.
е. длина перпендикуля- раАО. НоАО= 4~(2 (см. п,а)). № 151. а) Возьмем произвольную точку М треугольника АОВ, Построим точку М вЂ” проекцию М на АВС Докажем, что ЛГ лежит в г'.ьАВС. Действительно, т. к. ММ, ь АВСи РС(АВС, то ММ, 11 РС (рис. 93). Следовательно, ММ, 11 ВОС и ММ, 11 АРС. Значит ММ, не может О пересекать грани АОС и ВОС. Таким образом, она пересекает ЬАВС, т, е. М, я,лАВС Аналогично доказывается, что любая точка сзАВС является проекцией точки треугольника АРВ.
б) Если СН вЂ” высота с'.гАВС, то С АВ.ь СН. Но СН есть проекция ОН на плоскость АВС. Тогда по теореме о трех перпендикулярах следует, что АВ 2. ОН. Таким образом, РН вЂ” высота МАРВ (рис. 94). Рис. 93 № 152. Х(Гада: Доказать, что расстояние отточки Гдодиагоналей квадрата — это отрезок, соединяюший Гс точкой О пересечения диагоналей квадрата, а далее аналогично задаче 150. № 154. Халда)(щ: Аналогично задаче 149. Рис.
94 № 155. Хаздщщ: Так как 4.С 90', то зто угол при вершине равнобедренного треугольника. Значит АС = СВ. По теореме Пифагора найти АВ и палее аналогично задаче 149. 50 Глава И. Г)е пендик ля ность п ямыки плоскостей № 156. ПустьАС=гл их.'ВАС= =ох Проведем высоту СН в схАВС. А В) СН. Тогда СН вЂ” проскпия РН, следовательно по теореме о трех перпендикулярах АВ ). РН. Таким образом, длина 0Н и есть расстояние от точки Р до прямой АВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
