atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 9
Текст из файла (страница 9)
6 № 195. Хд!цдийд: Воспользоваться тем, что; 1) Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, поэтому В,Р = 12 см. 2) Угол между В,Р и гранью — это х.В,ОАс Откуда находятся АА, и АР. АВ находится из теоремы п. 24. Вопросы к глава У бб № 196. ») .А,С ) В,у), (г. к. А,ВСА)— кввлрлг) иАС ' ВВ., !!ропстемп нтскос>ьчсрс>АА иАС.. А, ')~г> и есть искомая плоскосп, >ак как онл прокол>г чсрс> приму>о А.С. псрпснлик>лярнук> к плоскости ВВлрс Позтому искомос сечение АА СС (рис. !25). с> б) Дналопн>но п, а). Р>; Ггл Дополнительные задачи № 197.
Так как >МВ2АВСР>г> ВЧ) СВ ит. к.АВС — г>ря»ругон н>гк.тоС()л ВС (рис. !26). По пришаку перпендикулярности прямои и плоскости прямая СВ перпендикулярна плоскости МВС. А № 198. Пус>ь точка В, — проек>пгя Рис. !26 шчки В, а точка М, — проск»ия точки М на плоскостью а (рис. 127), Тогда ММ, л'.
ВВ„и значит Вопросы к главе !1 1. 11ег. неверно, Они мг>гу> лсжпь в разных плоскосзягм но если о>ш лежа г в олной и:никос го. го они параллельны. 2. а) >>(г>, верно. 6) 11е г, првмвя а может лежать >>со 3. 1(с>,так как ина >еЛ.!.и, 4. Верно, г. к. прямая Л исрисн;шкулярна любой прямой плоскости а. а шачит и прямой параллельной прямой и. 5. >(а, >го прямая плоск>жги сь псрпенликулярная к и. 6. Па. 7. а) Да. б) Да, например, пол и лве смсжнь>с стены. 8.
Та, см. 7 9. Вторая лиагональ параллельна этой плоскости. 10. а) б, б) ! 2. 66 Глава )!. Пе пендик ля ность п ямыхи плоскостей ~АММ = ~АВ,Ви ГРАММ, = ЛАВВс Следовательно, треугольники 2уАМЛ(, и !уАВВ, подобны. Тогла АМ 4 ММ, 4 так как — =-,то ' =-, откуда АВ 9 ВВ, 9 4 ММ = — 9= 4см.
9 № 299. Обозначим треугольник: Рис. !27 2.'зАВС и пусть с'.В= 90'. Так как 5А = 5С, го медиана 5М треугольника А5Сявляется и высотой (рис. ! 28). Значит 5М1АС Потеорсме Пифагора 5С = 5ЛР+ МС' Но 5С= 5В(по условию), а ВМ = МС = = АМ, так как ВМ вЂ” медиана прямоугольного к трсугольника, провсденпая к гипотенузе. Таким образом 5(Г = 5М'+ ВМ, но зто оз- начает, что сзВЛ(5 — прямоугольный и угол Рис.
(28 с'.5МВ = 90'. Значит 5М 1 ВМ и так как 5М 1 АС, то 5М 1 АВС, что и требовалось доказать. № 200. Хкаланил: Расстояния от иснтра описанной окружности до вершин многоугольника равны. И по теореме Пифагора угвсржлсние слслуст сразу. Р (2 № 201. Обозначим М вЂ” ссрслина АВ (рис.
129). Тогда ОМ вЂ” мслиана, а з~~ачит и высота равнобслрсьпюго треугольника В А(3В. Таким образом, (2М1АВ. А М Аналогично РМ 1 АВ. Значит Рис. (29 прямая АВ перпснликулярна к плоскости РОМ. Тогда АВ 1 РС2. И значит угол между РЦ и А В равен 90'. № 202. ллазание: Воспользоваться задачей )99.
Дополнительные задачи № 203. Указанщ; Воспользоваться йюрмулой для радиуса вписанной окр жности: (р-а)(р-Ь)(р-с) а+Ь +с , гле р =— р ' г № 204. а) Заметим, что по задаче 200 МС = МА = МВ (рис. 130). Найлем МС: а!и х.МСО = —. МО М МС Т. о. МС=— а а!Пгр а МВ= МС= —, з|пу б) Заметим, что ОС вЂ” ралиус описанной окружности. Найдем ОС: ОС С!Ь~р МО=сгд~р а.
В Тоглаллина окружности ! = 2п сгй<р а. Рис. !ЗО в) Воспользовавшись Формулой площади треугольника, через радиус описанной окружности получасы АВ+ ВС+ АС В= , тле К вЂ” радиус описанной окружности, а 4Я АВ, ВС, АС находятся из теоремы синусов: АВ ВС АС вЂ” — — = 2Я. з!и 60' а| и 60' а|в 60' 2) Тогда Гз АВ= 2 с!0(р.а — = ВС=АС, 2 откуда (, Б.ст) За'4З сге'р 4асгрр 4 С Рас !Зl № 205.
Проведем высоту СН треугольникаа А ВС. Тогда по теореме о трех перпенликулярах из того„что СН— проекция РН на плоскостью треугольника АВС следует, что РН З. АВ. Таким образом РН вЂ” высота !зАВР (рис. 13! ). ев Глава 11. Перпендик ля ность п ямых и плоскостей Найззсм СП: ЛВ= ягЛС'+СВ' =чГЗллг. 1(лои(а гь /з ЛВГ рвана; 5„к = — ЛГ СВ = - СН . Л В. откула ГП = — —. 1 1, я!С(В 2 2 ЛВ 6 Тзкич обратом Г//= —. лч. ,/13' Ззчегилл !то,'.ОГ// — прямоугольный, то!лз — — 36 ГП/ =. с'/ЗСг ьГП' = 1(ь — — =.— лм. 1' 13 /(3 Тоны Вил =--/3/1 ЛВ= — — е13 = 3,5;ю, 2 2 /(3 Ув 206. Тзк как нрозиа ченьиано у!ла летки ~ чей ! и!зг! с нгронз, нг ВС вЂ” 8 сч.
Провеземч высоту.ЛП и уы!ВС(рис. 1321. '1шлз ло гсорече о ~рек нериен,шкулярзт 411/ ВГ [!. к. ЛН 3. ВГ1. з сле.ннлнслыш, В Л/// — рзсстшишсог тонки 1/ло гпчки //Г. 1(зйлсм ЛП и г ехЛВС: нус!ь.1В = 17 сч, а ЛГ = 15 ем, Обзоии1 шч ВП:- х. !ог:(и СП -- 8 — х. По теореме П|н(яг!орз нчесч: С ЛН' = Лà — СН' = Л — ВП, о~к>.ш Вяе. /33 17'-х = 15' — (8-л/ 289 — х' =- 225 — 64+ (бх — х', нгачит (бх = 128, х = 8. Таким образом В// =- 8 сч. 0нзоюаязег, что /П/= ВСи нса шт !Г ' ВС т, с Л//сои иш1ст с Л('. ЛГ = 15 см, т! 1/-" 20 сч. Гак как ГС/Лà — нрячоуг ольныи, то ЛП/ = л/1/ ! г ЛП = лГ?25 з 400 = ~/625 =- 25сч Овтвегзк 25 сч. :тЪ 207.
Ук;Няшин:,(олзгзгл. инз н рос к ни я изнли .1/ из плоское ~ ь ~ резтзьниигла — з~о ~генгр анисзннззй и треуто.и ник икр!тениста. М?08. Пус!ь Л' — ироскйия.!ояко Л'!и н.нгекос~ь ы (ршл 133). Рае. /33 Дополнительные задачи 1о<ла кК!.К, = 45". и ~КМА'. = 30", и КА' = 9 сч. '1ак как грс«ельники АА !. и АА Л! нрячо)<олынзс, .о К!. = — — — '-, А'М =- — — — —. КК,, АА' ыи ЛК!.К, ып дА',()А', Таким образоч К!.
=9 )2 сч. АМ = )К сч. Так как <3А!.А! — нрячо«ольныи,то ио <сорсчс Пн<,'<з< рз СА! = )КА< ь КМ =9./6 ем. № 209. Построим приск<гни В, и С, <о'<ск В и С на н.юскос<ь ы (рис. 134). Тоглз ВВ, = АВ ай< дВАВ = т1В а<и 40" СС = АС ып дСАС, = АС ми 50'. Т. к. айз 40" < ыо 50, а АВ =- АС, то ВВ < СС',, Знач<п рзссзогшис о<' точки Вло плоское< и и чсньюе, чсч расс<о<и<ис от точки Сло э<он нлоскос ги. !'нс, )34 № 2!О.
Возьмем точку С <ю нрячойАВи построим нерненликулнрь< СЦ, ГРс СП, к прячои АВ. лежа<вне в <п<зскос< як А В0, АВР, АВН соогвстс<асино. Эти ирячьюлсжн воиюй плоское<и и коС!', = кРСН„поэтик<у СР, югляс<си <лиссск<рисой угла ЦС)1,. Л и<к как расс<оянис от гочки нрнчой СР ло н юскос< и АВС) ссгь расстояние от эюй ~очки ло нрячои СО, (по признаку периснликуляр<юсги нрямой и плоское< и), то все точки прямой СР равноулалснной от плоскости АВС) и АВН. !ак как точкз С вЂ” любви, то любая <очка плоскости АВРравно)лалсна от плоскостей ЛВП и АВС). Раг. !)5 № 212.
Провален высоту СН и г<АВС (рис. 130). Тоглз. так как СН нвлястся ироскнисй !)П на нлоскос< ь АВГ, то но тсорсчс о <рст № 211. ~казан~се< Воспользовавшись эалачсй )тв'.гоказат<ь ч из Р,!)М)у' — прямоугольный (дМ =. <)0'). перпендикулярах ОН.~ АВ, а значит ОИ высота ЕХАЯО и к.'О//С= а. ио Е~///)С вЂ” прямоугольный, поэтому СИ 5, СН Он = —, — = — = соатх.
сомх 5„,„ОН 5 Значит.7„„„= —. соха Риг. /За Ме 213. Пуль О, — ироскиия точки 0 на плоскос~ь АВС. Тогда О,— точка пересечения мслиаи ххАВС (рис. !37). Пусть Н вЂ” середина ВС. Тогда А П, 2 О, Н вЂ” =-, отк)ла — ' О// 1 АЛ 3 Причем Ан 3 ВС и Он 2 ВС(по теореме стрех перпендикулярах) и значит кА//О— угол мсжцу олоскостями треугольников. Очевидно, ОН = АН (ЯА ВС = Ь/)ВС).
О,Н 3 1 Значит, сох д'.О,НО = — ' ОН ОН 3 1 Слпнеп: соа к.'О,//О = —. 3 Риг. /37 № 214. Указание: Доказать, что х'.СВС, и есть искомый угол, /(алас найти соа йСВС. Ме 215. Обозначим плоскости <х и (). в которых лежат пряиыс АВ и СО соотвсзсгвсиио. И прямая с— ребро лвуграниого угла. Тогда по ути. 1 и.
б следует, что АЯ,~ г и С/) (( с, а зиачиз, ясс точки прямой АЯ равиоулалсны от прямой с. Риг, /ЗК 70 Глава В. Г/е лендик ля ность п ямыхиллоскостей 71 Дополнительные задачи )чгз 216. з'ил)ание: Провести ВО, нараллелынз АС, так побы АВОС вЂ” квалрат(т. е. ВО, а).Тогла «'.0,ВО -- 120' (рнс. 139).
Доказ;и ь, что и()О,С = 90' н но теореме !)гнфагггра найти СО, найля ОО, из О О, В13 но теореме косинусов. Рис. !ЗУ В, )ьь 217. Обозначим нараллслснннел АВСОА,ВС,О, и пусть АВ = Зи, АО = 7и, ЛА, = Яи. Злачнг 24 и' + 56 а' + 2! и' = 404 10! а =404,гг'=4,и=2. Такни образом измсрепия нараллслснннела равны 6, 14,!бам. АС = ч(6' + 14' +16' = 24 22 лм. Оиьтеги: 2 гт(22 лм. Рис. /40 Возьмсьг точку К на прямой с и построим перпендикуляр КМ и КК к прямым А В и СО.
Тогла г'МКФ = 60' (но условию), а КМ = 8 ем и Кйг = 6,5 см. По теореме косинусоьч МКР= КМ'+ Кйг' — 2 КгУ КМ.сов 60 МХ' = 64 + 42,25 — 8 13 — = 54,25, откупа МФ = — /2!7. ! 1 2 2 Нозаметим,чгоЛВ).МКй)иСО) МКЛГ,таккакс).МКйг,аАВ))с и СО )! с. Таким образом Мй(ь А В и ММ 3. СО, значит Мгг и есть расстояние межлу нрямымн АВ и СО. 1 Отвисал — /217. 2 Глава Ш. )ч1ногогранниии ф !. Понятие многогранника.
!!ризма М 218. а) Вокгтые гр:и(и иринам — (юраллелограммы, а так как олш( и ~ у(лои иря чаи, так как ребра иср(ю(лик)лир((ы ос кааии(о, (о мо ирямоу(ильинки. б) Т;т как боковые ребра ~(ри(чы раины, а ребра осиовашгя прш(илыюи.(ри(чы гик;корины. (обоковые гргиш — рип(ыс ирямиыоль( ики, М 219. 11) с(ь ((В = 5 сч. и() = 12 сч (рис. 14! ). То(ла ЛГ =- = ~'12' 5 -- 13 сч. 1(о ЛС' — ироскиия ЛС иа илоскосп ЛВС(), иол~ очу ~.'СЛС, = 45'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
