atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ли( лага нала иравссги чсрс) Л С илоскасп, (пр:(.(лс.(ьную С,О. ')(з пл~)скасть Л В СО. !(аилсч рзссто>шис ат СР, ло (паскасн( Л.В СО. Оно 1", виа рзсстоя~нио а) то (ки 0 ла (поскас~ и А В С/). Провслсм ныс(лу /) //и '~Л О /). Гоги и)тана. па /) П,(0 и 0 П ' Л В (так кзк АВ всриснго!Кул(гроз иг!оскастн ЛЛ 0 О) слслусн что 0 П вЂ” рзсстаяннс от)очки 0 ло плоскости Л,!/СО, (зк кзк ОП 'ЛИС/). Н,шлсм l),П; Пусть А,П =х, тогла О// =-.А /) — Л //' = ОО' — /)П'= б' — л'='зг — (10 — х/';х= 3,6.
Татка О,П =,/)б — 12.96 = 4,Х. Дополнительные запани 97 Поэзочу в ~сА ОВ все стороны равны и, поэтому кА ОВ = =- 6()', что и требовалось показать. ЛЪ 294. Указав!!с: Полученное ссчсиис шглястся прячоуголыпч ком. причем сторона,,!сапная в скиоввппи призмы. равна и н/?.
Сугсюла силом!гоп боковое ребро. В С Ж 295. а) Так как '.С СВ ! = 'С,СО, го проскпия С. !очки С, иа и.!ослоссь АВСО поивпк! сы биссек- А! !рису:ВС'О(рис.!Кб). По биссектриса сслз ВС/) — ло,СС и 3!и !ит СС? В/У. ! ! о! ю по тсо!хс!с о Пзск псриспги!к)с!я- ,л, р,!т с;сс/!ус!, !то С'С .! ВО б) ВВ, О, Π— параллелограмл! и ВВ 2 ВО(саккак ВВ !(СС, иСС ?ВО). Вас /88 гиачит ВВ О,Π— прямоугольник. в) ВО?А,С (так как ВО?т1Скаклиаго!юли ромба) и ВО?АЛ. (так квк ВО )! СС ).
Тогла по прививку псрпепликулярс!сга и прямой и плоскости слслуст, что ВО 2 АА.С,. г) П:юскость ВВ,Е) ирс!ло/сит через прямую В,Он псрпс!слику- ляриук! к плоское! и АА С,. так как ВО )! ВО и ВО 2 ААС, Поэтому по теореме и. 23 следует, что АА,С, 2 ВВ Он и, !зЪ?96. Л/ — серели ив А В; Н вЂ” ссрелипа ВС провезем споскость через Л1Н и А,С, (рис. !К7). Провслсч высоту ВН и 7зАВС. ВП пересекает Л/Н в !очке Л; ВК Л/Н.
так как Л/К (( АС' и провслсч высоту //П. призмы. Так квк призчв правплысая.зо //, — серслипа А,Сн так как // — серслииа АС. Такич образом к.'// К// = вч ИИ, = /! НП, Ь Тогла П,К = а(п ~Н, КИ в(сзч! Рссс, /87 КП = /1 с!к ср З Фмеск !О-!! сз 98 Глава Ш. Многог анники Заметим, что ВН = 2 КН = 2 й сзй <р, ВС = ВН 2й с!8 ~р 4 I 3 ; ВС= = — Ьсгййз и ВС=А,СгТаким з!и РВСН ~Г3 3 2 ! 2/3 образом МФ = -АС= — л с!8 ах Заметим, что Н КЗ. МФ.
Так как 2 3 А,С,НМ вЂ” трапепия, А,С, !! МН, то Я„г„„= — (А,С, + М/Ч) Н,К=я'Зле!йгр— ! 6 Ь'ч'3 соагр ноем 5!пф 5!и йз й' 43 СО5Я> Оглвеак — — —, зго ф № 298.Указание: Найти высоту Г, а' боковой грани. Она равна !'Ь' — —. 4 Риг. /88 Л,ГЗ, №299.5 „= — т е — = — е'.Я =3 — и т),гдел— 2 2 4 !,2 З,ГЗ, ГЗ высота боковой грани. Таким образом — л гл = — а', л = — ль То- 2 2 3 № 297. а) АС, .Е В0, так как А С ~ АС и АС!.
В0, и А О 3. А С, так как А О Л АС и АС~ А Сг Поэтому по признаку перпсндикулярнссти прямой и плоскости А,С, .!. 0А,В. Значит по теореме п. 23 следует, что АА С, 3. А В0. / б) Аналогично и. а) ВС.Е АА,О. По- А, Сз зтому по теореме п. 23 АА,О 3. ВВ,С. в) АΠ— проекция АА, на плоскость АВС и АО 3. ВС. Следовательно по тео- '.4В реме о трех перпендикулярах АА, 1 ВС и, так как АА, !! ВВ„то ВВ, .!. ВС.
Значит параллелограмм ВВ,С,С А 0 С является прямоугольником. 99 ололнигельные задачи (! гда высота И) пирамиды ОАВС равна /)О = РН' ~ -АН~, гдс 1,3 Н вЂ” ссрслина стороны ВС основания пирамиды. Т. о. И) = Ь' — -лг — = -Рл' — — /и' !3 2! 3 12 )! 4 2 № 300. Прямая АС параллельна плоскости сечения, поэтому линия псрсссчсния плоскостей АСО и РРЕ параллельна АС. Провсдсм прячую РН !! АС. Таким образом Н вЂ” середина /)С. РГЕ// искомос ссчснис, РР|!! В/), НЕ !! ОВ и РГ= НЕ = — /)В, 2 поэтому РРЕ// — параллслограчм.
РЦ /)В; РН)!АСи АС2 ВР !по задачс 261), поэтому РР.1. РП. Значит РГЕН— прямоугольник. 1 1 1 ! 1 РН=-АС= — а; РР= — ВО= — Ь; 5, = — а 2 2 2 2 ' 2 С Рис. /89 1 аЬ вЂ” Ь = —. 2 4 № 302. Рассмотрим пирамиду РАВСИ Пусть АВ = 3 см, ВС = 7 сч, АС = 6 см. Так как АВС вЂ” параллсло трам ч, то АС + В/) = АВ ч ВС" .)- С/У + А/У. Отсюда ВР = $0 = 2 /20.
Таким образомАО=ОС=Зсм. ВО=О/)=./20см По тсорсмс Пифагора РА = РС = Л' + 4' = 5 см РВ= РВ /б'2+ +!222) б Рид /90 № 30!,Хддзадысс. Провссти высоту ВМв грани В/)А. Тогда СМв высота б"б ОСА и значит ОВМС = 120'. Тогла из /ь ВМС нахолится ВС, так как ВМ = МС = 16 см.
Дюбсс из ЛАМВ находится сов 4 ВАМ. И из /бА/)В нахолится /)К, глс К вЂ” ссрсдина А В. 100 Глава 111. Многог анники № 303. Кказ |ш<е: Воспользона| ься теч. что прямая по коз орочу псрссскак>тся лвс боковыс грю|и. осрнсидику.нци|ые к плоскости основания, псрнснликулярно к ос|юнанню. а иычит олин из углов ромба ранен 120'. и № 304. Рассли>грим пира>ншу 1Л ВС!). Π— гочка пересечения .шю о| пален квадрата ЛВСО (рис 191). Ч— М | ссрслина РС. Ю вЂ” ссрелинн СО, Так как '.СРО = 60*, то раннобсл- > . |, О рснньш трсу|олы|ик СР!) >н|.шс|ся ))а.--, ч — = раншюп>ронним, Поэтому нес ребра пирам" ия 1" нны мс*'|у соб» ВМ = Л1)), |юэпому мелинна МО Л !) шсистся биссск|рисой з>ВМ1). Рнс. 1<>1 лОЛ10 = — л1)Л)В.
2 Докажем, что ззОМО= ззУуО 2)сйстн|аельно, РФ= Ч!) — как 1 1 чслианы раннос герон|им о 2з ОРС, ВО= — Л!), МО = -ЛР, как срсд- 2 2 ние линии треуголышков СЛВ и СРЛ. Поэтому Д<0 = МО. Тогда <>ОМО = !зРЧО но кате |у и гнно|снузс. Значит ~Р><0 = лОЛ!О = 1 = — лОМВ, Но лР<УΠ— угол между боковой гранью и ос| |ованием. 2 а к'.ОМ — линсиный угол з|нугранного угла при боковом ребре. Таким образол<, требусчос утверждение доказано. № 305. По задаче 256 и. а).
1| = а>)соьи / 2 яп —, где а сторона 2 <к г— основания. Отсюда и = 21|ми — / ~сони. Д>за>опель основании равна а Г2. Тога,| боконос ребро равно: Г >а Г . >и |а 2Ь'яп>-- <со>а+ 2яп> — ,.сонг< — 1+)ь2мп' <~сони з-1-сова В =)> ~ =-- =. Тогда сони з)сони Дополнительные задачи 1 Ь< 5',.„.. = 4 Я,„, „.„, = 4 — — — мп и = 2 Ь< (0 <с. 2 семи )чь 306. Пусть М вЂ” середина ребра СО пирамиды Р<(//С!). 1о)ла проскиия О, )очки О иа п.иыкосп, /<С/) попа)ые < ~ <а пря чуго РЛ1( г.л. С'/) 1. /К)Л1 и иначе чсре) <очку Р про)лаяло бы ляс плоскости, перпеиликуляриыс к прямой С'!)). Такач обре гоч.:ЛОРМ = <р.
1 Тог, и) ОЛ/ = — Л!) =- Л <й о; 2 /< ЛП = ? В (0 чк /Ч/ = †. -. 1акич со' Ч< !Ч /<)2 обре')оч, Л ','и <з 5„„,,„-' 46'<К«а'2 .—. 20 ср<р= 4 Л сй <() + 4! со,/ с < )тля 307. а) Пусть ) очка Л' — серели< я М МС. Таиса/)К/ИМ. гас<о ю <о кз Л'.<сжпт и плоское и< и. //Л'/) — искомое ссчспие. ВК = ОК (г.к. /).Л///С = <(,Л/ОС').
к Поэточу ОЛ'» ///). < Из ~<СЛЛ/: ЛΠ— срс:икая линия, значит 1 ОК= — АМ. ВО = /2и. О 2 1 Ь вЂ” аЬч'2 Рл<. /ЗЛ б) Рассмогрит< ММ вЂ” перпендикуляр к плоскости ВКО и проведем плоскость М МС По <сорече <).?3 аи с- иоСММ, Л В1)К, полом> СТ,', — нерпе)клик).ир к ВОКзакьслс кис а плоскости ММС. Таким образом С, К, Л1, — лс'кз< из о.инги прямой.
Но тогда дМКМ, =- дСЛС (как вергикзльиыс) и Л,МЛЛ/ -.= = с»СКС, (по гипотенузе и ос) рому угл)). Значит ММ, = ССо по и требоыыось,сока кпь. 102 Глава И Многог анники № 308. Анвлогично задаче 239. № 309. Пусть М// — высота пирами- лы МАВСР. 0 — середина МН. Проведем 1У сечение чсрез сторону АВ = 6 дм и точку О.
Так как точки А, О, Н, М, Сложат в г В Аг'...к С одной плоскости МАС, то прямая АОлежит и в плоскости сечения и в плоскости МАС Поэтому точка Л/ — точка пересечения АО и МС, также лежит в плоскости сечения, Рис. /У4и /тналогично точка К вЂ” точка пересе- чения ВО и МР тоже принадлежит сечснию Таким образом АВЕК вЂ” искомос сечение (рис. !94а). Докажем, что /зАОВ - ЛФОК. Действительно: кАОВ = МОК. АО 3 д ОЮ 1 Рассмотрим ЬЛ/АС(рис. !946). Проведем00' — срсднююлинию /эМ//С и ОŠ— параллслыю АС. Тогла из того, но к.ОАО' = = к'./тОГг АО АО' и к'.АОО' = к.ОНЕ следует, что /ьАОО ' — /эОЛ/Е.
Значит — = — —, ОФ ОЕ ! но ОЕ = 0'С (так как ОЕСО' — параллелограмм), а О'С = — СН= 2 ! ! АО АО' 3 = — АН= — АО'. Поэтому — = — = —. Аналог ично рассматривая 2 3 О/У О'С ! ВО 3 М /ьМВР получаем, что — = —. Поэтому ОК ! Н /ьАО — /ьЛ/ОК и коэффициент подобия ра- О Е вен 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
